Funkcionális egyenlet

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2021. december 3-án felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 2 szerkesztést igényelnek .

A funkcionális egyenlet egy olyan egyenlet , amely kifejezi a kapcsolatot egy függvény értéke egy pontban és értékei között más pontokban. A függvények számos tulajdonsága meghatározható a függvények által kielégített funkcionális egyenletek vizsgálatával. A "funkcionális egyenlet" kifejezést általában olyan egyenletekre használják, amelyek egyszerű módon nem visszavezethetők algebrai egyenletekre . Ez az irreducibilitás leggyakrabban abból adódik, hogy az egyenletben szereplő ismeretlen függvény argumentumai nem maguk a független változók, hanem a függvény néhány adata belőlük.

Példák

Funkcionális egyenlet:

f(s)=2^{s}\pi ^{s-1}\sin \left({\frac {\pi s}{2}}\right)\Gamma (1-s)f( 1-s)

ahol az Euler-gamma-függvény , kielégíti a Riemann-zéta-függvényt . $\Gamma(z)$ $\zeta$

A gamma-függvény az egyetlen megoldás erre a három egyenletrendszerre:

{\displaystyle f(x)={f(x+1) \over x))

f(y)f\left(y+{\frac {1}{2}}\right)={\frac {{\sqrt {\pi }}}{2^{{2y-1}}}}f( 2 év)

{\displaystyle f(z)f(1-z)={\pi \over \sin(\pi z)))

( Euler-féle komplementer képlet )

Funkcionális egyenlet:

f\left({az+b \over cz+d}\right)=(cz+d)^{k}f(z)

hol vannak az egyenlőséget kielégítő egész számok , azaz: $a,b,c,d$ $ad-bc=1$

{\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}}\,=1

moduláris rendelési formaként határozza meg . $f$ $k$

Funkcionális Cauchy-egyenletek:

$f(x+y)=f(x)+f(y)$ — kielégíti az összes lineáris homogén függvényt , $f(x)=ax$
$f(x+y)=f(x)f(y)$ — minden exponenciális függvényt kielégít , $f(x)=\exp \left(\alpha x\right)=a^{x}$
$f(xy)=f(x)+f(y)$ — minden logaritmikus függvénynek megfelel , $f(x)=\alpha \log \left(x\right)=\log _{a}\left(x\right)$
$f(xy)=f(x)f(y)$ — minden teljesítményfunkciót kielégít . ${\displaystyle f(x)=\exp \left(\alpha \log \left(x\right)\right)=x^{a))$

A Cauchy-féle funkcionális egyenletek egymásra redukálódnak. Tehát az egyenlet a csere utáni egyenletre redukálódik (ehhez persze az kell, hogy ne legyen egyformán nulla). A folytonos függvények osztályában és a monoton függvények osztályában a degenerált megoldás kivételével a megadott megoldások az egyedüliek . A függvények szélesebb osztályaiban azonban nagyon egzotikus megoldások is lehetségesek, lásd a "Hamel alapjai" című cikket . $f(x_{1}x_{2})=f(x_{1})f(x_{2})$ $g(y_{1}+y_{2})=g(y_{1})+g(y_{2})$ $g(y)=\log \left|f(\exp y)\right|$ $f(x)$ $f(x) \equiv 0$

Egyéb:

$f(x+y)+f(xy)=2[f(x)+f(y)]$ másodfokú egyenlet vagy paralelogramma azonosság , kielégíti , ${\displaystyle f(x)=kx^{2))$
$f\left({\frac {x+y}{2}}\right)={\frac {f(x)+f(y)}{2}}$ a Jensen-egyenlet, minden lineáris függvényt kielégít , $f(x)=ax+b$
${\displaystyle f(x+y)f(xy)=f(x)^{2))$ a Lobacsevszkij-egyenlet (a Jensen-egyenlet változata), kielégíti , ${\displaystyle f(x)=ac^{x))$
$f(x+y)+f(xy)=2[f(x)f(y)]$ a d'Alembert-egyenlet,
$f(h(x))=f(x)+1$ – Abel-egyenlet ,
$f(h(x))=cf(x)$ a Schroeder-egyenlet , a megoldás a függvényhez tartozó Koenigs -függvény . $\textstyle h(x)$

Ismétlődő kapcsolatok

A funkcionális egyenletek egy speciális típusa a rekurzív reláció , amely egész számok ismeretlen függvényét és egy shift operátort tartalmaz .

Lineáris recidíva relációk:

a(n)=\sum _{i=1,k}c_{i}\cdot a(ni)

(ahol a konstansok függetlenek a -tól) a lineáris differenciálegyenletek elméletével analóg elmélettel rendelkeznek. Például egy lineáris ismétlődési relációhoz: ${\displaystyle c_{1},c_{2},\dots ,c_{k))$ $n$

a(n)=3a(n-1)+4a(n-2)

elég két lineárisan független megoldást találni, minden más megoldás ezek lineáris kombinációja lesz.

E megoldások megtalálásához be kell cserélni egy tesztfüggvényt egy határozatlan paraméterrel az ismétlődési relációba , és meg kell keresni azokat , amelyekre ez az ismétlődési reláció teljesül. Az adott példában egy másodfokú egyenletet kapunk két különböző gyökkel , ezért ennek az ismétlődési összefüggésnek az általános megoldása egy képlet lesz (a és a konstansokat úgy választjuk meg, hogy for és a képlet adja meg a kívánt értékeket a mennyiségekre és ). Egy polinom több gyöke esetén a függvények és így tovább további próbamegoldásként szolgálnak . ${\displaystyle a(n)=\lambda ^{n))$ $\lambda$ $\lambda$ $\lambda ^{2}=3\lambda +4$ $\lambda =-1$ $\lambda =4;$ ${\displaystyle a(n)=d_{1}4^{n}+d_{2}(-1)^{n))$ $d_{1}$ $d_{2}$ $n=1$ $n=2$ $a(1)$ $a(2)$ $n\lambda ^{n},$ $n^{2}\lambda ^{n}$

Az egyik jól ismert ismétlődési reláció a , amely meghatározza a Fibonacci-sorozatot . $a(n)=a(n-1)+a(n-2)$

Funkcionális egyenletek megoldása

Van néhány általános módszer a funkcionális egyenletek megoldására.

Különösen hasznos lehet az involúció fogalmának alkalmazása , vagyis olyan függvények tulajdonságainak használata, amelyekre ; a legegyszerűbb involúciók: $f(f(x)) = x$

f(x) = -x

, , , .

f(x)={\frac {1}{x}}

f(x)={\frac {1}{1-x}}+1

f(x)=1-x

Példa . Az egyenlet megoldásához:

{\displaystyle f(x+y)^{2}=f(x)^{2}+f(y)^{2))

mindenkinek és , a következőt tesszük : . Aztán és . Következő : $x,y\in \mathbb {R}$ $f:\mathbb {R} \to R$ $x=y=0$ ${\displaystyle f(0)^{2}=f(0)^{2}+f(0)^{2))$ $f(0)^{2}=0$ $f(0)=0$ $y=-x$

{\displaystyle f(xx)^{2}=f(x)^{2}+f(-x)^{2))

{\displaystyle f(0)^{2}=f(x)^{2}+f(-x)^{2))

{\displaystyle 0=f(x)^{2}+f(-x)^{2))

Egy valós szám négyzete nem negatív, és a nem negatív számok összege akkor és csak akkor egyenlő nullával, ha mindkét szám egyenlő 0-val. Ezért az összes és az egyetlen megoldás erre az egyenletre. $f(x)^{2}=0$ $x$ $f(x)\equiv 0$

Irodalom

Golovinskiy IA Az analitikai iterációk és funkcionális egyenletek korai története. // Történeti és matematikai kutatás. Moszkva: Nauka, vol. XXV, 1980, p. 25-51.
Kuczma M. A φn(x) = g(x) funkcionális egyenletről. Ann. Polon. Math. 11, 161-175 (1961) .
Kuczma M. Bevezetés a funkcionális egyenletek és egyenlőtlenségek elméletébe. Warszawa-Krakow-Katowice: Lengyel Tudományos Kiadó és Sziléziai Egyetem, 1985.
Likhtarnikov LM Elemi bevezetés a funkcionális egyenletekbe. Szentpétervár: Lan, 1997.

Linkek

Funkcionális egyenletek: Pontos megoldások az EqWorldnél: A matematikai egyenletek világa.
Funkcionális egyenletek: Index az EqWorldnél: A matematikai egyenletek világa.
IMO Compendium szöveg a funkcionális egyenletekről a problémamegoldásban.