Fibonacci számok
Fibonacci számok (helyesírás - Fibonacci [2] ) - egy numerikus sorozat elemei
3 _ az
OEIS -ben ),
amelyben az első két szám 0 és 1, és minden további szám egyenlő az előző két szám összegével [3] . Nevét a középkori Pisai Leonardo ( Fibonacci néven ismert ) matematikusról kapta [4] .
Igaz, egyes könyvekben, főleg a régebbiekben[ mi? ] , a nullával egyenlő tag kimarad – ekkor a Fibonacci-sorozat [5] [6] -kal kezdődik .


Formálisabban a Fibonacci-számok sorozatát egy lineáris ismétlődési reláció adja meg :


,
ahol .
Néha a Fibonacci-számokat negatív értékekként is figyelembe veszik, mint egy kétoldalú végtelen sorozatot, amely kielégíti ugyanazt az ismétlődési relációt. Ennek megfelelően a negatív indexű kifejezések könnyen beszerezhetők a megfelelő "visszafelé" képlet segítségével :


n
|
… |
−10 |
−9 |
−8 |
−7 |
−6 |
−5 |
−4 |
−3 |
−2 |
−1 |
0 |
egy |
2 |
3 |
négy |
5 |
6 |
7 |
nyolc |
9 |
tíz |
…
|
|
… |
−55 |
34 |
−21 |
13 |
−8 |
5 |
−3 |
2 |
−1 |
egy |
0 |
egy |
egy |
2 |
3 |
5 |
nyolc |
13 |
21 |
34 |
55 |
…
|
Ezt könnyű belátni .

Eredet
A Fibonacci-szekvencia jól ismert volt az ókori Indiában [7] [8] [9] , ahol sokkal korábban használták a metrikai tudományokban ( prozódia , más szóval versifikáció ), mint ahogy Európában ismertté vált [8] [10] [ 11] .
Egy n hosszúságú mintát úgy állíthatunk elő, hogy S -t hozzáadunk egy n − 1 hosszúságú mintához , vagy L -t egy n − 2 hosszúságú mintához, és a prozódisták kimutatták, hogy az n hosszúságú minták száma az előző két minta összege. számok a sorozatban [9] . Donald Knuth ezt a hatást tárgyalja A programozás művészete című könyvében .
Nyugaton ezt a szekvenciát a Fibonacci néven ismert pisai Leonardo tárta fel The Book of the Abacus (1202) [12] [13] című munkájában . Egy idealizált (biológiailag irreális) nyúlpopuláció kialakítását tartja szem előtt, ahol a feltételek a következők: kezdetben egy újszülött nyúlpárt (hím és nőstény); a születésüket követő második hónaptól a nyulak párosodni kezdenek, és minden hónapban új nyúlpárt hoznak létre; a nyulak soha nem halnak meg [14] [15] , és az egy év alatti nyúlpárok számát adja meg a kívánt értéknek.
- Az első hónap elején csak egy újszülött pár van (1) .
- Az első hónap végén még csak egy pár nyúl, de már párosodtak (1).
- A második hónap végén az első pár új párt szül és újra párosodik (2).
- A harmadik hónap végén az első pár újabb párat szül és párosodik, a második pár csak párosodik (3).
- A negyedik hónap végén az első pár újabb párt szül és párosodik, a második pár új párt szül és párosodik, a harmadik pár csak párosodik (5).
A hónap végén a nyúlpárok száma megegyezik az előző havi párok számával plusz az újszülött párok számával, ami megegyezik a két hónappal ezelőtti párok számával, azaz [16] . Ez a probléma is lehet az első, amely exponenciális népességnövekedést modellezett .


A "Fibonacci-szekvencia" nevet először a 19. századi teoretikus, Eduard Lucas használta [17] .
Binet képlete
Binet képlete kifejezetten kifejezi az értéket n függvényében :

ahol - az aranymetszés és a és a karakterisztikus egyenlet gyökerei
Általában hasonló képlet létezik bármely lineáris ismétlődő sorozatra , amely a Fibonacci sorozat.




Indoklás
[tizennyolc]
Alakítsuk át a karakterisztikus egyenletet alakra, szorozzuk meg mindkét részt : - -vel, és cseréljük ki ebben az összegben -vel , amit a karakterisztikus egyenlet alapján tehetünk meg. Azt kapjuk , hogy ezután az eredeti egyenletet követve
folytatjuk a szorzást és a transzformációt :








Így egy általános egyenlet jön létre: Ahhoz, hogy ezt az egyenletet valódi egyenlőséggé alakítsa, és innen fejezzük ki magukat a Fibonacci-számokat, be kell cserélni a gyököket és

Következmény és általánosítás
A Binet képletből következik, hogy az összes szám egy kerekítés , azaz
különösen az aszimptotikumok


Binet képlete analitikusan a következőképpen folytatható:
Ebben az esetben a reláció bármely z komplex számra érvényes .
Identitások
[húsz]
Bizonyíték
A képletet indukcióval igazoljuk n -en :
Az indukció alapja:
Az indukció lépése: legyen igaz a for állítás :

Akkor bizonyítanunk kell az állítást
Kiterültünk és _



Mindkét részt lerövidítjük
Q.E.D. ∎
Bizonyíték
A képletet indukcióval igazoljuk n -en :
Az indukció alapja:
Az indukció lépése: Legyen igaz az állítás:

Akkor bizonyítanunk kell az állítást
Kiterültünk és _



Mindkét részt lerövidítjük
Q.E.D. ∎
Ez az azonosság úgy igazolható, hogy az elsőt a másodikból kivonjuk:
És általánosabb képletek:
ahol
a mátrixok mérete van , és ahol i a
képzeletbeli egység .
- Cassini egyenjogúságához kapcsolódik egy általánosabb kijelentés, amelyet Eugène Catalanról neveztek el :


Ez az állítás a Cassini-azonosságból származik a Fibonacci-számok alaparányával:

Tulajdonságok
- Két Fibonacci-szám legnagyobb közös osztója egyenlő a Fibonacci-számmal, amelynek indexe megegyezik az indexek legnagyobb közös osztójával, azaz Következmények:

akkor és csak akkor osztható -vel, ha osztható -val (kivéve ). Konkrétan az osztható -vel (vagyis páros), csak mert -vel osztható csak -vel, csak -vel osztható -val stb.










csak prím lehet prímszámoknál (egy kivétellel ). Például a szám prím, és a 13-as indexe is prím. De még ha a szám prím is, a szám nem mindig prím, és a legkisebb ellenpélda: Nem ismert, hogy a prímszámú Fibonacci-számok halmaza végtelen-e.




- A Fibonacci-számsorozat a reciprok sorozat speciális esete , karakterisztikus polinomjának gyökei és



- Az arányok különösen az aranymetszés megfelelő töredékei ,


- A Pascal-háromszög átlóin lévő binomiális együtthatók összegei Fibonacci-számok a képlet miatt

- 1964-ben J. Cohn ( JHE Cohn ) bebizonyította [29] , hogy a Fibonacci-számok között az egyetlen tökéletes négyzet a 0, 1, 2, 12 indexű Fibonacci-számok:

- A Fibonacci-számsorozat
generáló függvénye :
- Különösen 1 / 998,999 = 0,00 100 100 200 300 500 8 0 13 0 21 … _ _
- A Fibonacci-számok halmaza egybeesik a polinom nemnegatív értékeinek halmazával

a nem negatív x és y egész számok halmazán
[30] .
- Az egytől eltérő két különböző Fibonacci-szám szorzata és hányadosa soha nem Fibonacci-szám.
- A Fibonacci-számok periódusát egy természetes számra modulo módon Pisano-periódusnak nevezzük , és jelöli . A Pisano időszakok sorozatot alkotnak:


1, 3, 8, 6, 20, 24, 16, 12, 24, 60, 10, 24, 28, 48, 40, 24, 36, … ( A001175 sorozat az OEIS -ben ).
- Konkrétan a Fibonacci-számok utolsó számjegyei periódusos sorozatot alkotnak egy ponttal, a Fibonacci-számok utolsó számjegypárja egy sorozatot alkot egy ponttal , az utolsó három számjegy - egy ponttal, az utolsó négy - egy ponttal, a utolsó öt - ponttal stb.





- A természetes szám akkor és csak akkor Fibonacci-szám, ha vagy négyzet [ 31] .



- Nincs 3-nál nagyobb, Fibonacci-számokból álló aritmetikai progresszió [32] .
- A Fibonacci-szám egyenlő azoknak a soroknak a számával, amelyek n hosszúságúak nullákból és egyesekből, amelyek nem tartalmaznak két szomszédos számot. Ebben az esetben egyenlő az ilyen sorok számával nullától kezdve, és - egytől kezdve.



- Az egymást követő Fibonacci-számok szorzata osztható az első Fibonacci-számok szorzatával.


- A Fibonacci-számok reciprokának végtelen összege konvergál, összege (" a Fibonacci-állandó reciproka ") 3,359884...
Változatok és általánosítások
Más területeken
Van olyan vélemény, hogy szinte minden olyan állítás, amely Fibonacci-számokat talál természeti és történelmi jelenségekben, téves - ez egy általános mítosz, amely gyakran kiderül, hogy pontatlanul illeszkedik a kívánt eredményhez [34] [35] .
A természetben
- A növények filotaxisát (levélelrendeződését) a Fibonacci-sorrend írja le, ha egy éves növekedésen (hajtás, szár) a levelek (rügyek) ún. spirális levélelrendezésűek. Ebben az esetben a spirálban egymás után elrendezett levelek (rügyek) számát plusz egy, valamint a spirál éves növekedési tengelye körüli teljes fordulatainak számát (hajtás, szár) általában az első Fibonacci-számokkal fejezik ki.
- A napraforgómagok , fenyőtobozok , virágszirmok , ananászsejtek is a Fibonacci -szekvencia szerint vannak elrendezve [ 36] [37] [38] [39] .
A művészetben
A költészetben gyakrabban fordul elő az „aranymetszet” (arany arány) aránya, amely a Binet-formula révén kapcsolódik a Fibonacci-számokhoz. Például Sh. Rustaveli "A lovag a párducbőrben" című versében és a művészek festményein [40] .
A Fibonacci-számok azonban közvetlenül a költészetben és a zenében egyaránt megtalálhatók [41]
Kódolásban
A kódoláselméletben stabil, úgynevezett " Fibonacci-kódokat " [42] javasolnak , és ezeknek a kódoknak az alapja egy irracionális szám.
Lásd még
Jegyzetek
- ↑ John Hudson Tiner. A matematika világának felfedezése: az ősi feljegyzésektől a számítógépek legújabb fejlesztéseiig . - New Leaf Publishing Group, 200. - ISBN 978-1-61458-155-0 . (Orosz)
- ↑ Lásd például T. V. Kropotova, V. G. Podolsky, P. E. Kasargin. Bevezetés a felsőbb matematikába. — Kazany Szövetségi Egyetem Fizikai Intézet.
- ↑ Lucas, 1891 , p. 3.
- ↑ Fibonacci-számok // Nagy Szovjet Enciklopédia : [30 kötetben] / ch. szerk. A. M. Prohorov . - 3. kiadás - M . : Szovjet Enciklopédia, 1969-1978.
- ↑ Bona, 2011 , p. 180.
- ↑ Goonatilake, Susantha (1998), Toward a Global Science , Indiana University Press, p. 126, ISBN 978-0-253-33388-9 , < https://books.google.com/books?id=SI5ip95BbgEC&pg=PA126 >
- ↑ 1 2 Singh, Parmanand (1985), Az úgynevezett Fibonacci-számok az ókori és középkori Indiában , Historia Mathematica 12(3):229-244 , DOI 10.1016/0315-0860(85)90021-7
- ↑ 1 2 Knuth, Donald (2006), The Art of Computer Programming , vol. 4. Generating All Trees – History of Combinatorial Generation, Addison-Wesley, p. 50, ISBN 978-0-321-33570-8 , < https://books.google.com/books?id=56LNfE2QGtYC&pg=PA50&dq=rhythms >
- ↑ Knuth, Donald (1968), The Art of Computer Programming , vol. 1, Addison Wesley, p. 100, ISBN 978-81-7758-754-8 , < https://books.google.com/books?id=MooMkK6ERuYC&pg=PA100 >
- ↑ Livio, 2003 , p. 197.
- ↑ Pisano, 2002 , pp. 404-405.
- ↑ Fibonacci Liber Abaci (Számítás könyve) . A Utahi Egyetem (2009. december 13.). Hozzáférés időpontja: 2018. november 28. (határozatlan)
- ↑ Hemenway, Priya. Isteni arány : Phi a művészetben, a természetben és a tudományban . - New York: Sterling, 2005. - P. 20-21 . — ISBN 1-4027-3522-7 .
- ↑ Knott, Dr. Ron Fibonacci számok és arany rész a természetben - 1 . Surrey Egyetem (2016. szeptember 25.). Hozzáférés időpontja: 2018. november 27. (határozatlan)
- ↑ Knott, Ron Fibonacci nyulai . Surrey Egyetem Műszaki és Fizikai Tudományok Kara. (határozatlan)
- ↑ Gardner, Martin (1996), Mathematical Circus , The Mathematical Association of America, p. 153., ISBN 978-0-88385-506-5
- ↑ A problémamegoldás művészete . artofproblemsolving.com . Letöltve: 2021. május 9. (határozatlan)
- ↑ Fibonacci-számok // Egy fiatal matematikus enciklopédikus szótára / Összeáll. Savin A.P. – 2. kiadás. - M . : Pedagógia , 1989. - S. 312-314. — 352 p. — ISBN 5715502187 .
- ↑ 1 2 3 4 5 A tétel ebben a fájlban található . (határozatlan)
- ↑ 23. tétel . (határozatlan)
- ↑ 24. tétel . (határozatlan)
- ↑ Következmény a 36. pontból . (határozatlan)
- ↑ 30. tétel . (határozatlan)
- ↑ 64 . (határozatlan)
- ↑ 55. tétel . (határozatlan)
- ↑ Cassini személyazonosságának igazolása . planetmath.org . Hozzáférés időpontja: 2021. május 30. (határozatlan)
- ↑ A Cassini identitás . (határozatlan)
- ↑ JHE Cohn . Fibonacci négyzetszámok stb ., 109-113. Az eredetiből archiválva : 2010. július 11. Letöltve: 2010. július 1.
- ↑ P. Ribenboim. A prímszámrekordok új könyve . - Springer, 1996. - S. 193.
- ↑ Ira Gessel. H-187 probléma // Fibonacci Quarterly. - 1972. - T. 10 . - S. 417-419 .
- ↑ V. Serpinsky . 66. feladat // 250 Feladatok az elemi számelméletben . - M . : Nevelés, 1968. - 168 p.
- ↑ Hutchison, Luke. Growing the Family Tree: The Power of DNA in Reconstructing Family Relationships // Proceedings of the First Symposium on Bioinformatics and Biotechnology (BIOT-04) : folyóirat. - 2004. - szeptember.
- ↑ Fibonacci Flim-Flam . Archivált : 2012. április 23. a Wayback Machine -nél .
- ↑ A mítosz, amely nem fog elmúlni .
- ↑ Az aranymetszés a természetben .
- ↑ Fibonacci számok .
- ↑ Fibonacci számok .
- ↑ Akimov O.E. A tudomány vége .
- ↑ Volosinov A. V. Matematika és művészet. Moszkva: Oktatás, 2000. 400 p. ISBN 5-09-008033-X
- ↑ Matematika a költészetben és a zenében
- ↑ Sztahov A., Slucsenkova A., Scserbakov I. Da Vinci-kód és Fibonacci-sorozat. SPB. Kiadó: Piter, 2006. 320 p. ISBN 5-469-01369-3
Irodalom
- N. N. Vorobjov. Fibonacci számok . - Nauka, 1978. - T. 39. - ( Népszerű matematikai előadások ).
- A. I. Markusevich. visszatérési szekvenciák . - Asszony. Műszaki és Elméleti Irodalmi Kiadó, 1950. - 1. évf. - ( Népszerű matematikai előadások ).
- A. N. Rudakov. Fibonacci-számok és a szám egyszerűsége 2 127 − 1 // Matematikai oktatás , harmadik sorozat. - 2000. - T. 4 .
- Donald Knuth . The Art of Computer Programming, 1. köt. Basic Algorithms = The Art of Computer Programming, vol. 1. Alapvető algoritmusok. - 3. kiadás - M . : "Williams" , 2006. - S. 720. - ISBN 0-201-89683-4 .
- Donald Knuth , Ronald Graham , Oren Patashnik . konkrét matematika. Számítástudomány alapja = Concrete Mathematics. Számítástechnikai Alapítvány. — M .: Mir ; Binomiális. Knowledge Lab , 2006. - P. 703. - ISBN 5-94774-560-7 .
- Grant Arakelyan. Matematika és az aranymetszés története. — M.: Logosz, 2014. — S. 404. — ISBN 978-5-98704-663-0 .
- Ball, Keith M (2003), 8: Fibonacci's Rabbits Revisited, Strange Curves, Counting Rabbits, and Other Mathematical Explorations , Princeton, NJ: Princeton University Press , ISBN 978-0-691-11321-0 .
- Beck, Matthias & Geoghegan, Ross (2010), The Art of Proof: Basic Training for Deeper Mathematics , New York: Springer, ISBN 978-1-4419-7022-0 .
- Bóna, Miklós (2011), A Walk Through Combinatorics (3. kiadás), New Jersey: World Scientific, ISBN 978-981-4335-23-2 .
- Bóna, Miklós (2016), A Walk Through Combinatorics (4th Revised ed.), New Jersey: World Scientific, ISBN 978-981-3148-84-0 .
- Lemmermeyer, Franz (2000), Kölcsönösségi törvények: Eulertől Eisensteinig , Springer Monographs in Mathematics, New York: Springer, ISBN 978-3-540-66957-9 .
- Livio, Mario . Az aranymetszés: Phi története, a világ legcsodálatosabb száma . — Első kereskedelmi papírkötésben. – New York City: Broadway Books, 2003. - ISBN 0-7679-0816-3 .
- Lucas, Édouard (1891), Théorie des nombres , vol. 1, Párizs: Gauthier-Villars, Théorie des nombres in Google Books , < https://archive.org/details/thoriedesnombr01lucauoft > .
- Pisano, Leonardo (2002), Fibonacci Liber Abaci: A Számításkönyv fordítása modern angol nyelvre , Források és tanulmányok a matematika és a fizikatudomány történetéből, Springer, ISBN 978-0-387-95419-6
Linkek
Szótárak és enciklopédiák |
|
---|
Bibliográfiai katalógusokban |
|
---|