Fibonacci számok

Fibonacci számok  (helyesírás - Fibonacci [2] ) - egy numerikus sorozat elemei

3 _ az OEIS -ben ),

amelyben az első két szám 0 és 1, és minden további szám egyenlő az előző két szám összegével [3] . Nevét a középkori Pisai Leonardo ( Fibonacci néven ismert ) matematikusról kapta [4] .

Igaz, egyes könyvekben, főleg a régebbiekben[ mi? ] , a nullával egyenlő tag kimarad – ekkor a Fibonacci-sorozat [5] [6] -kal kezdődik .

Formálisabban a Fibonacci-számok sorozatát egy lineáris ismétlődési reláció adja meg :

, ahol .

Néha a Fibonacci-számokat negatív értékekként is figyelembe veszik, mint egy kétoldalú végtelen sorozatot, amely kielégíti ugyanazt az ismétlődési relációt. Ennek megfelelően a negatív indexű kifejezések könnyen beszerezhetők a megfelelő "visszafelé" képlet segítségével :

n −10 −9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 0 egy 2 3 négy 5 6 7 nyolc 9 tíz
−55 34 −21 13 −8 5 −3 2 −1 egy 0 egy egy 2 3 5 nyolc 13 21 34 55

Ezt könnyű belátni .

Eredet

A Fibonacci-szekvencia jól ismert volt az ókori Indiában [7] [8] [9] , ahol sokkal korábban használták a metrikai tudományokban ( prozódia , más szóval versifikáció ), mint ahogy Európában ismertté vált [8] [10] [ 11] .

Egy n hosszúságú mintát úgy állíthatunk elő, hogy S -t hozzáadunk egy n  − 1 hosszúságú mintához , vagy L -t egy n  − 2 hosszúságú mintához, és a prozódisták kimutatták, hogy az n hosszúságú minták száma az előző két minta összege. számok a sorozatban [9] . Donald Knuth ezt a hatást tárgyalja A programozás művészete című könyvében .

Nyugaton ezt a szekvenciát a Fibonacci néven ismert pisai Leonardo tárta fel The Book of the Abacus (1202) [12] [13] című munkájában . Egy idealizált (biológiailag irreális) nyúlpopuláció kialakítását tartja szem előtt, ahol a feltételek a következők: kezdetben egy újszülött nyúlpárt (hím és nőstény); a születésüket követő második hónaptól a nyulak párosodni kezdenek, és minden hónapban új nyúlpárt hoznak létre; a nyulak soha nem halnak meg [14] [15] , és az egy év alatti nyúlpárok számát adja meg a kívánt értéknek.

A hónap végén a nyúlpárok száma megegyezik az előző havi párok számával plusz az újszülött párok számával, ami megegyezik a két hónappal ezelőtti párok számával, azaz [16] . Ez a probléma is lehet az első, amely exponenciális népességnövekedést modellezett .

A "Fibonacci-szekvencia" nevet először a 19. századi teoretikus, Eduard Lucas használta [17] .

Binet képlete

Binet képlete kifejezetten kifejezi az értéket n függvényében :

ahol  - az aranymetszés és a és a karakterisztikus egyenlet gyökerei Általában hasonló képlet létezik bármely lineáris ismétlődő sorozatra , amely a Fibonacci sorozat.

Indoklás

[tizennyolc]

Alakítsuk át a karakterisztikus egyenletet alakra, szorozzuk meg mindkét részt : - -vel, és cseréljük ki ebben az összegben -vel , amit a karakterisztikus egyenlet alapján tehetünk meg. Azt kapjuk , hogy ezután az eredeti egyenletet követve folytatjuk a szorzást és a transzformációt :

Így egy általános egyenlet jön létre: Ahhoz, hogy ezt az egyenletet valódi egyenlőséggé alakítsa, és innen fejezzük ki magukat a Fibonacci-számokat, be kell cserélni a gyököket és

Következmény és általánosítás

A Binet képletből következik, hogy az összes szám egy kerekítés , azaz különösen az aszimptotikumok

Binet képlete analitikusan a következőképpen folytatható:

Ebben az esetben a reláció bármely z komplex számra érvényes .

Identitások

Bizonyíték

A képletet indukcióval igazoljuk n -en :

Az indukció alapja:

Az indukció lépése: legyen igaz a for állítás :

Akkor bizonyítanunk kell az állítást

Kiterültünk és _ Mindkét részt lerövidítjük

Q.E.D.

Bizonyíték

A képletet indukcióval igazoljuk n -en :

Az indukció alapja:

Az indukció lépése: Legyen igaz az állítás:

Akkor bizonyítanunk kell az állítást

Kiterültünk és _ Mindkét részt lerövidítjük

Q.E.D.

Ez az azonosság úgy igazolható, hogy az elsőt a másodikból kivonjuk:

És általánosabb képletek:

ahol a mátrixok mérete van , és ahol i  a képzeletbeli egység .

Tulajdonságok

a nem negatív x és y egész számok halmazán [30] .

Változatok és általánosítások

Más területeken

Van olyan vélemény, hogy szinte minden olyan állítás, amely Fibonacci-számokat talál természeti és történelmi jelenségekben, téves - ez egy általános mítosz, amely gyakran kiderül, hogy pontatlanul illeszkedik a kívánt eredményhez [34] [35] .

A természetben

A művészetben

A költészetben gyakrabban fordul elő az „aranymetszet” (arany arány) aránya, amely a Binet-formula révén kapcsolódik a Fibonacci-számokhoz. Például Sh. Rustaveli "A lovag a párducbőrben" című versében és a művészek festményein [40] .

A Fibonacci-számok azonban közvetlenül a költészetben és a zenében egyaránt megtalálhatók [41]

Kódolásban

A kódoláselméletben stabil, úgynevezett " Fibonacci-kódokat " [42] javasolnak , és ezeknek a kódoknak az alapja egy irracionális szám.

Lásd még

Jegyzetek

  1. John Hudson Tiner. A matematika világának felfedezése: az ősi feljegyzésektől a számítógépek legújabb fejlesztéseiig . - New Leaf Publishing Group, 200. - ISBN 978-1-61458-155-0 .
  2. Lásd például T. V. Kropotova, V. G. Podolsky, P. E. Kasargin. Bevezetés a felsőbb matematikába. — Kazany Szövetségi Egyetem Fizikai Intézet.
  3. Lucas, 1891 , p. 3.
  4. Fibonacci-számok // Nagy Szovjet Enciklopédia  : [30 kötetben]  / ch. szerk. A. M. Prohorov . - 3. kiadás - M .  : Szovjet Enciklopédia, 1969-1978.
  5. Beck & Geoghegan (2010) .
  6. Bona, 2011 , p. 180.
  7. Goonatilake, Susantha (1998), Toward a Global Science , Indiana University Press, p. 126, ISBN 978-0-253-33388-9 , < https://books.google.com/books?id=SI5ip95BbgEC&pg=PA126 > 
  8. 1 2 Singh, Parmanand (1985), Az úgynevezett Fibonacci-számok az ókori és középkori Indiában , Historia Mathematica 12(3):229-244 , DOI 10.1016/0315-0860(85)90021-7 
  9. 1 2 Knuth, Donald (2006), The Art of Computer Programming , vol. 4. Generating All Trees – History of Combinatorial Generation, Addison-Wesley, p. 50, ISBN 978-0-321-33570-8 , < https://books.google.com/books?id=56LNfE2QGtYC&pg=PA50&dq=rhythms > 
  10. Knuth, Donald (1968), The Art of Computer Programming , vol. 1, Addison Wesley, p. 100, ISBN 978-81-7758-754-8 , < https://books.google.com/books?id=MooMkK6ERuYC&pg=PA100 > 
  11. Livio, 2003 , p. 197.
  12. Pisano, 2002 , pp. 404-405.
  13. Fibonacci Liber Abaci (Számítás könyve) . A Utahi Egyetem (2009. december 13.). Hozzáférés időpontja: 2018. november 28.
  14. Hemenway, Priya. Isteni arány : Phi a művészetben, a természetben és a tudományban  . - New York: Sterling, 2005. - P.  20-21 . — ISBN 1-4027-3522-7 .
  15. Knott, Dr. Ron Fibonacci számok és arany rész a természetben - 1 . Surrey Egyetem (2016. szeptember 25.). Hozzáférés időpontja: 2018. november 27.
  16. Knott, Ron Fibonacci nyulai . Surrey Egyetem Műszaki és Fizikai Tudományok Kara.
  17. Gardner, Martin (1996), Mathematical Circus , The Mathematical Association of America, p. 153., ISBN 978-0-88385-506-5 
  18. A problémamegoldás művészete . artofproblemsolving.com . Letöltve: 2021. május 9.
  19. Fibonacci-számok // Egy fiatal matematikus enciklopédikus szótára / Összeáll. Savin A.P. – 2. kiadás. - M . : Pedagógia , 1989. - S. 312-314. — 352 p. — ISBN 5715502187 .
  20. ↑ 1 2 3 4 5 A tétel ebben a fájlban található .
  21. 23. tétel .
  22. 24. tétel .
  23. Következmény a 36. pontból .
  24. 30. tétel .
  25. 64 .
  26. 55. tétel .
  27. Cassini személyazonosságának igazolása . planetmath.org . Hozzáférés időpontja: 2021. május 30.
  28. A Cassini identitás .
  29. JHE Cohn . Fibonacci négyzetszámok stb ., 109-113. Az eredetiből archiválva : 2010. július 11. Letöltve: 2010. július 1.
  30. P. Ribenboim. A prímszámrekordok új könyve . - Springer, 1996. - S. 193.
  31. Ira Gessel. H-187 probléma  // Fibonacci Quarterly. - 1972. - T. 10 . - S. 417-419 .
  32. V. Serpinsky . 66. feladat // 250 Feladatok az elemi számelméletben . - M . : Nevelés, 1968. - 168 p.
  33. Hutchison, Luke. Growing the Family Tree: The Power of DNA in Reconstructing Family Relationships  //  Proceedings of the First Symposium on Bioinformatics and Biotechnology (BIOT-04) : folyóirat. - 2004. - szeptember.
  34. Fibonacci Flim-Flam . Archivált : 2012. április 23. a Wayback Machine -nél  .
  35. A mítosz, amely nem fog elmúlni  .
  36. Az aranymetszés a természetben .
  37. Fibonacci számok .
  38. Fibonacci számok .
  39. Akimov O.E. A tudomány vége .
  40. Volosinov A. V. Matematika és művészet. Moszkva: Oktatás, 2000. 400 p. ISBN 5-09-008033-X
  41. Matematika a költészetben és a zenében
  42. Sztahov A., Slucsenkova A., Scserbakov I. Da Vinci-kód és Fibonacci-sorozat. SPB. Kiadó: Piter, 2006. 320 p. ISBN 5-469-01369-3

Irodalom

Linkek