Fibonacci számok

Fibonacci számok (helyesírás - Fibonacci [2] ) - egy numerikus sorozat elemei

3 _ az OEIS -ben ),

amelyben az első két szám 0 és 1, és minden további szám egyenlő az előző két szám összegével [3] . Nevét a középkori Pisai Leonardo ( Fibonacci néven ismert ) matematikusról kapta [4] .

Igaz, egyes könyvekben, főleg a régebbiekben[ mi? ] , a nullával egyenlő tag kimarad – ekkor a Fibonacci-sorozat [5] [6] -kal kezdődik . $F_{0}$ $F_{1}=F_{2}=1$

Formálisabban a Fibonacci-számok sorozatát egy lineáris ismétlődési reláció adja meg : $\{F_{n}\}$

{\displaystyle F_{0}=0,\quad F_{1}=1,\quad F_{n}=F_{n-1}+F_{n-2))

, ahol .

\ n\geqslant 2,\ n\in \mathbb {Z}

Néha a Fibonacci-számokat negatív értékekként is figyelembe veszik, mint egy kétoldalú végtelen sorozatot, amely kielégíti ugyanazt az ismétlődési relációt. Ennek megfelelően a negatív indexű kifejezések könnyen beszerezhetők a megfelelő "visszafelé" képlet segítségével : $n$ $F_{n}=F_{n+2}-F_{n+1}$

n	…	−10	−9	−8	−7	−6	−5	−4	−3	−2	−1	0	egy	2	3	négy	5	6	7	nyolc	9	tíz	…
$F_{n}$	…	−55	34	−21	13	−8	5	−3	2	−1	egy	0	egy	egy	2	3	5	nyolc	13	21	34	55	…

Ezt könnyű belátni . ${\displaystyle F_{-n}=(-1)^{n+1}F_{n))$

Eredet

A Fibonacci-szekvencia jól ismert volt az ókori Indiában [7] [8] [9] , ahol sokkal korábban használták a metrikai tudományokban ( prozódia , más szóval versifikáció ), mint ahogy Európában ismertté vált [8] [10] [ 11] .

Egy n hosszúságú mintát úgy állíthatunk elő, hogy S -t hozzáadunk egy n − 1 hosszúságú mintához , vagy L -t egy n − 2 hosszúságú mintához, és a prozódisták kimutatták, hogy az n hosszúságú minták száma az előző két minta összege. számok a sorozatban [9] . Donald Knuth ezt a hatást tárgyalja A programozás művészete című könyvében .

Nyugaton ezt a szekvenciát a Fibonacci néven ismert pisai Leonardo tárta fel The Book of the Abacus (1202) [12] [13] című munkájában . Egy idealizált (biológiailag irreális) nyúlpopuláció kialakítását tartja szem előtt, ahol a feltételek a következők: kezdetben egy újszülött nyúlpárt (hím és nőstény); a születésüket követő második hónaptól a nyulak párosodni kezdenek, és minden hónapban új nyúlpárt hoznak létre; a nyulak soha nem halnak meg [14] [15] , és az egy év alatti nyúlpárok számát adja meg a kívánt értéknek.

Az első hónap elején csak egy újszülött pár van (1) .
Az első hónap végén még csak egy pár nyúl, de már párosodtak (1).
A második hónap végén az első pár új párt szül és újra párosodik (2).
A harmadik hónap végén az első pár újabb párat szül és párosodik, a második pár csak párosodik (3).
A negyedik hónap végén az első pár újabb párt szül és párosodik, a második pár új párt szül és párosodik, a harmadik pár csak párosodik (5).

A hónap végén a nyúlpárok száma megegyezik az előző havi párok számával plusz az újszülött párok számával, ami megegyezik a két hónappal ezelőtti párok számával, azaz [16] . Ez a probléma is lehet az első, amely exponenciális népességnövekedést modellezett . $n$ ${\displaystyle F_{n}=F_{n-2}+F_{n-1))$

A "Fibonacci-szekvencia" nevet először a 19. századi teoretikus, Eduard Lucas használta [17] .

Binet képlete

Binet képlete kifejezetten kifejezi az értéket n függvényében : $F_{n}$

F_{n}={\frac {\left({\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n}-\left({\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n}}{\sqrt {5}}}={\frac {\varphi ^{n}-(-\varphi )^{-n}}{\ varphi -(-\varphi )^{-1}}}={\frac {\varphi ^{n}-(-\varphi )^{-n}}{2\varphi -1}},

ahol - az aranymetszés és a és a karakterisztikus egyenlet gyökerei Általában hasonló képlet létezik bármely lineáris ismétlődő sorozatra , amely a Fibonacci sorozat. $\varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}$ $\varphi$ $(-\varphi )^{-1}=1-\varphi$ $x^{2}-x-1=0.$

Indoklás

[tizennyolc]

Alakítsuk át a karakterisztikus egyenletet alakra, szorozzuk meg mindkét részt : - -vel, és cseréljük ki ebben az összegben -vel , amit a karakterisztikus egyenlet alapján tehetünk meg. Azt kapjuk , hogy ezután az eredeti egyenletet követve folytatjuk a szorzást és a transzformációt : $x^{2}-x-1=0$ $x^{2}=x+1,$ $x$ $x^{3}=x^{2}+x$ $x^{2}$ $x+1$ $x^{3}=x^{2}+x=(x+1)+x=2x+1.$ $x$ $x^{2}$

${\begin{aligned}x^{4}&=2x^{2}+x=2(x+1)+x=\\&=3x+2,\\x^{5}&= 3x^{2}+2x=3(x+1)+2x=\\&=5x+3,\\x^{6}&=5x^{2}+3x=5(x+1)+3x =\\&=8x+5,\\x^{7}&=8x^{2}+5x=8(x+1)+5x=\\&=13x+8,\\&\cponts \end {igazított}}$

Így egy általános egyenlet jön létre: Ahhoz, hogy ezt az egyenletet valódi egyenlőséggé alakítsa, és innen fejezzük ki magukat a Fibonacci-számokat, be kell cserélni a gyököket és $x^{n}=F_{n}x+F_{n-1}.$ $\varphi$ $-\varphi ^{-1}\colon$

${\begin{cases}\varphi ^{n}=F_{n}\varphi +F_{n-1},\\(-\varphi )^{-n}=-F_{n}\varphi ^{-1}+F_{n-1},\end{cases}}$

$\varphi ^{n}-(-\varphi )^{-n}=F_{n}[\varphi -(-\varphi )^{-1}],\qquad \varphi ^{n}+ (-\varphi )^{-n}\cdot \varphi ^{2}=F_{n-1}(1+\varphi ^{2}),$

$\color {Fekete}{\tfrac {1}{\sqrt {5}}}\left(({\tfrac {1+{\sqrt {5}}}{2}})^{n}- ({\tfrac {1-{\sqrt {5}}}{2}})^{n}\right)=F_{n},\qquad {\tfrac {1}{\sqrt {5}}}\ left(({\tfrac {1+{\sqrt {5}}}{2}})^{n-1}-({\tfrac {1-{\sqrt {5}}}{2}})^ {n-1}\right)=F_{n-1}.$

Következmény és általánosítás

A Binet képletből következik, hogy az összes szám egy kerekítés , azaz különösen az aszimptotikumok $n\geqslant 0$ $F_{n}$ ${\frac {\varphi ^{n}}{\sqrt {5}}},$ $F_{n}=\left\lfloor {\frac {\varphi ^{n}}{\sqrt {5}}}\right\rceil .$ $n\to\infty$ $F_{n}\sim {\frac {\varphi ^{n}}{\sqrt {5}}}.$

Binet képlete analitikusan a következőképpen folytatható:

F_{z}={\frac {1}{\sqrt {5}}}\left(\varphi ^{z}-{\frac {\cos {\pi z}}{\varphi ^{z}}} \jobb).

Ebben az esetben a reláció bármely z komplex számra érvényes . $F_{z+2}=F_{z+1}+F_{z}$

Identitások

$F_{1}+F_{2}+F_{3}+\dots +F_{n}=F_{n+2}-1.$ [húsz]

Bizonyíték

A képletet indukcióval igazoljuk n -en :

Az indukció alapja: $n=0\colon$

$F_{0}=F_{2}-1=0.$

Az indukció lépése: legyen igaz a for állítás : $n$

$F_{1}+F_{2}+F_{3}+...+F_{n}=F_{n+2}-1.$

Akkor bizonyítanunk kell az állítást $n+1\colon$

$F_{1}+F_{2}+F_{3}+...+F_{n}+F_{n+1}=F_{n+3}-1.$

Kiterültünk és _

F_{n+3}

F_{n+2}

F_{n+1}\colon

F_{1}+F_{2}+F_{3}+...+F_{n}+F_{n+1}=F_{n+2}+F_{n+1}-1

Mindkét részt lerövidítjük

F_{n+1}\colon

F_{1}+F_{2}+F_{3}+...+F_{n}=F_{n+2}-1,

Q.E.D. ∎

$F_{1}+F_{3}+F_{5}+\dots +F_{2n-1}=F_{2n}.$ [20] [21]

Bizonyíték

A képletet indukcióval igazoljuk n -en :

Az indukció alapja: $n=1\colon$

$F_{1}=F_{2}=1.$

Az indukció lépése: Legyen igaz az állítás: $n$

$F_{1}+F_{3}+F_{5}+\dots +F_{2n-1}=F_{2n}.$

Akkor bizonyítanunk kell az állítást $n+1\colon$

$F_{1}+F_{3}+F_{5}+\pontok +F_{2n-1}+F_{2n+1}=F_{2n+2}.$

Kiterültünk és _

F_{2n+2}

F_{2n+1}

F_{2n}\colon

F_{1}+F_{3}+F_{5}+\pontok +F_{2n-1}+F_{2n+1}=F_{2n+1}+F_{2n}.

Mindkét részt lerövidítjük

F_{2n+1}\colon

F_{1}+F_{3}+F_{5}+\dots +F_{2n-1}=F_{2n}.

Q.E.D. ∎

$F_{2}+F_{4}+F_{6}+\dots +F_{2n}=F_{2n+1}-1.$ [20] [22]

Ez az azonosság úgy igazolható, hogy az elsőt a másodikból kivonjuk:

{\begin{alignedat}{2}(F_{1}+F_{2}+\pontok +F_{{\color {Red}2}n})-(F_{1}+F_{3} +\pontok +F_{2n-1})&=F_{{\szín {piros}2}n+2}-1-F_{2n},\\F_{2}+F_{4}+\pontok + F_{2n}&=F_{2n+1}-1.\\\end{alignedat}}

$F_{n+1}F_{n+2}-F_{n}F_{n+3}=(-1)^{n}.$ [23]
$F_{1}^{2}+F_{2}^{2}+F_{3}^{2}+\pontok +F_{n}^{2}=F_{n}F_{n+ egy }$ (lásd az ábrát).
$F_{n}^{2}+F_{n+1}^{2}=F_{2n+1}.$ [húsz]
$F_{2n}=F_{n+1}^{2}-F_{n-1}^{2}.$ [húsz]
$F_{3n}=F_{n+1}^{3}+F_{n}^{3}-F_{n-1}^{3}.$ [24]
$F_{5n}=25F_{n}^{5}+25(-1)^{n}F_{n}^{3}+5F_{n}.$
$F_{n+1}=C_{n}^{0}+C_{n-1}^{1}+C_{n-2}^{2}+\pontok$ [25] , ahol a binomiális együtthatók . $C_{n}^{k}$

És általánosabb képletek:

$F_{n+m}=F_{n-1}F_{m}+F_{n}F_{m+1}=F_{n+1}F_{m+1}-F_{n-1 }F_{m-1}.$ [26]
$F_{(k+1)n}=F_{n-1}F_{kn}+F_{n}F_{kn+1}.$
$F_{n}=F_{l}F_{n-l+1}+F_{l-1}F_{nl}.$
A Fibonacci-számokat a folytonosok értékei képviselik egy egységhalmazon: pl. $F_{n+1}=K_{n}(1,\pontok ,1),$ $F_{n+1}=\det {\begin{pmatrix}1&1&0&\cdots &0\\-1&1&1&\ddots &\vdots \\0&-1&\ddots &\ddots &0\\\vdots &\ddots & \ddots &\ddots &1\\0&\cdots &0&-1&1\end{pmatrix}}$ , szintén $\ F_{n+1}=\det {\begin{pmatrix}1&i&0&\cdots &0\\i&1&i&\ddots &\vdots \\0&i&\ddots &\ddots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &i\\0&\cdots &0&i&1\end{pmatrix}},$

ahol a mátrixok mérete van , és ahol i a képzeletbeli egység .

n\szer n

A Fibonacci-számok Csebisev-polinomokkal fejezhetők ki : $F_{n+1}=(-i)^{n}U_{n}\left({\frac {-i}{2}}\jobb),$ $F_{2n+2}=U_{n}\left({\frac {3}{2}}\right).$
Bármely n esetén ${\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}}^{n}={\begin{pmatrix}F_{n+1}&F_{n}\\F_{n}&F_{n- 1}\end{pmatrix}}.$
Következésképpen a determinánsok megszámlálása adja a Cassini azonosságot : [27] [28]

(-1)^{n}=F_{n+1}F_{n-1}-F_{n}^{2}.

Cassini egyenjogúságához kapcsolódik egy általánosabb kijelentés, amelyet Eugène Catalanról neveztek el : $F_{n}^{2}-F_{nr}F_{n+r}=(-1)^{nr}F_{r}^{2}.$

$F_{n+1}={\frac {F_{n}+{\sqrt {5F_{n}^{2}+4(-1)^{n)))){2)).$
Ez az állítás a Cassini-azonosságból származik a Fibonacci-számok alaparányával: ${\displaystyle (-1)^{n}=F_{n+1}(F_{n+1}-F_{n})-F_{n}^{2))$ $\Hosszú bal jobb nyíl$ $0={\color {Piros}F_{n+1}}^{2}-{\color {Piros}F_{n+1}}F_{n}-(F_{n}^{2} +(-1)^{n}).$

Tulajdonságok

Két Fibonacci-szám legnagyobb közös osztója egyenlő a Fibonacci-számmal, amelynek indexe megegyezik az indexek legnagyobb közös osztójával, azaz Következmények: $(F_{m},F_{n})=F_{(m,n)}.$
- $F_{m}$ akkor és csak akkor osztható -vel, ha osztható -val (kivéve ). Konkrétan az osztható -vel (vagyis páros), csak mert -vel osztható csak -vel, csak -vel osztható -val stb. $F_{n}$ $m$ $n$ $n=2$ $F_{m}$ $F_{3}=2$ $m=3k;$ $F_{m}$ $F_{4}=3$ $m=4k;$ $F_{m}$ $F_{5}=5$ $m=5k$
- $F_{m}$ csak prím lehet prímszámoknál (egy kivétellel ). Például a szám prím, és a 13-as indexe is prím. De még ha a szám prím is, a szám nem mindig prím, és a legkisebb ellenpélda: Nem ismert, hogy a prímszámú Fibonacci-számok halmaza végtelen-e. $m$ $m=4$ $F_{{13}}=233$ $m$ $F_{m}$ $F_{19}=4181=37\cdot 113.$
A Fibonacci-számsorozat a reciprok sorozat speciális esete , karakterisztikus polinomjának gyökei és $x^{2}-x-1$ $\varphi$ $-{\frac {1}{\varphi )).$
Az arányok különösen az aranymetszés megfelelő töredékei , ${\frac {F_{n+1}}{F_{n}}}$ $\phi \colon$ $\lim _{n\to \infty }{\frac {F_{n+1}}{F_{n}}}=\varphi .$
A Pascal-háromszög átlóin lévő binomiális együtthatók összegei Fibonacci-számok a képlet miatt $F_{n+1}=\sum _{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor }{nk \choose k}.$
1964-ben J. Cohn ( JHE Cohn ) bebizonyította [29] , hogy a Fibonacci-számok között az egyetlen tökéletes négyzet a 0, 1, 2, 12 indexű Fibonacci-számok: $F_{0}=0^{2}=0,$ $F_{1}=1^{2}=1,$ $F_{2}=1^{2}=1,$ $F_{12}=12^{2}=144.$
A Fibonacci-számsorozat generáló függvénye : $x+x^{2}+2x^{3}+3x^{4}+5x^{5}+\pontok =\sum _{n=0}^{\infty }F_{n}x^{n }={\frac {x}{1-xx^{2}}}$
- Különösen 1 / 998,999 = 0,00 100 100 200 300 500 8 0 13 0 21 … _ _
A Fibonacci-számok halmaza egybeesik a polinom nemnegatív értékeinek halmazával $z(x,y)=2xy^{4}+x^{2}y^{3}-2x^{3}y^{2}-y^{5}-x^{4}y +2y$

a nem negatív x és y egész számok halmazán [30] .

Az egytől eltérő két különböző Fibonacci-szám szorzata és hányadosa soha nem Fibonacci-szám.
A Fibonacci-számok periódusát egy természetes számra modulo módon Pisano-periódusnak nevezzük , és jelöli . A Pisano időszakok sorozatot alkotnak: $n$ $\pi(n)$ $\pi(n)$ 1, 3, 8, 6, 20, 24, 16, 12, 24, 60, 10, 24, 28, 48, 40, 24, 36, … ( A001175 sorozat az OEIS -ben ).
- Konkrétan a Fibonacci-számok utolsó számjegyei periódusos sorozatot alkotnak egy ponttal, a Fibonacci-számok utolsó számjegypárja egy sorozatot alkot egy ponttal , az utolsó három számjegy - egy ponttal, az utolsó négy - egy ponttal, a utolsó öt - ponttal stb. $\pi (10)=60$ $\pi (100)=300$ $\pi (1000)=1500,$ $\pi (10000)=15000,$ $\pi (100000)=150000$
A természetes szám akkor és csak akkor Fibonacci-szám, ha vagy négyzet [ 31] . $N$ $5N^{2}+4$ $5N^{2}-4$
Nincs 3-nál nagyobb, Fibonacci-számokból álló aritmetikai progresszió [32] .
A Fibonacci-szám egyenlő azoknak a soroknak a számával, amelyek n hosszúságúak nullákból és egyesekből, amelyek nem tartalmaznak két szomszédos számot. Ebben az esetben egyenlő az ilyen sorok számával nullától kezdve, és - egytől kezdve. $F_{n+2}=F_{n+1}+F_{n}$ $F_{{n+1}}$ $F_{n}$
Az egymást követő Fibonacci-számok szorzata osztható az első Fibonacci-számok szorzatával. $n$ $n$
A Fibonacci-számok reciprokának végtelen összege konvergál, összege (" a Fibonacci-állandó reciproka ") 3,359884...

Változatok és általánosítások

tribonacci számok
A Fibonacci-számok a Lucas-sorozatok speciális esetei . $F_{n}=U_{n}(1,-1)$
- Sőt, kiegészítésük a Lucas-számok . $L_{n}=V_{n}(1,-1)$

Más területeken

Van olyan vélemény, hogy szinte minden olyan állítás, amely Fibonacci-számokat talál természeti és történelmi jelenségekben, téves - ez egy általános mítosz, amely gyakran kiderül, hogy pontatlanul illeszkedik a kívánt eredményhez [34] [35] .

A természetben

A növények filotaxisát (levélelrendeződését) a Fibonacci-sorrend írja le, ha egy éves növekedésen (hajtás, szár) a levelek (rügyek) ún. spirális levélelrendezésűek. Ebben az esetben a spirálban egymás után elrendezett levelek (rügyek) számát plusz egy, valamint a spirál éves növekedési tengelye körüli teljes fordulatainak számát (hajtás, szár) általában az első Fibonacci-számokkal fejezik ki.
A napraforgómagok , fenyőtobozok , virágszirmok , ananászsejtek is a Fibonacci -szekvencia szerint vannak elrendezve [ 36] [37] [38] [39] .

A művészetben

A költészetben gyakrabban fordul elő az „aranymetszet” (arany arány) aránya, amely a Binet-formula révén kapcsolódik a Fibonacci-számokhoz. Például Sh. Rustaveli "A lovag a párducbőrben" című versében és a művészek festményein [40] .

A Fibonacci-számok azonban közvetlenül a költészetben és a zenében egyaránt megtalálhatók [41]

Kódolásban

A kódoláselméletben stabil, úgynevezett " Fibonacci-kódokat " [42] javasolnak , és ezeknek a kódoknak az alapja egy irracionális szám.

Lásd még

Jegyzetek

↑ John Hudson Tiner. A matematika világának felfedezése: az ősi feljegyzésektől a számítógépek legújabb fejlesztéseiig . - New Leaf Publishing Group, 200. - ISBN 978-1-61458-155-0 . (Orosz)
↑ Lásd például T. V. Kropotova, V. G. Podolsky, P. E. Kasargin. Bevezetés a felsőbb matematikába. — Kazany Szövetségi Egyetem Fizikai Intézet.
↑ Lucas, 1891 , p. 3.
↑ Fibonacci-számok // Nagy Szovjet Enciklopédia : [30 kötetben] / ch. szerk. A. M. Prohorov . - 3. kiadás - M . : Szovjet Enciklopédia, 1969-1978.
↑ Beck & Geoghegan (2010) .
↑ Bona, 2011 , p. 180.
↑ Goonatilake, Susantha (1998), Toward a Global Science , Indiana University Press, p. 126, ISBN 978-0-253-33388-9 , < https://books.google.com/books?id=SI5ip95BbgEC&pg=PA126 >
↑ 1 2 Singh, Parmanand (1985), Az úgynevezett Fibonacci-számok az ókori és középkori Indiában , Historia Mathematica 12(3):229-244 , DOI 10.1016/0315-0860(85)90021-7
↑ 1 2 Knuth, Donald (2006), The Art of Computer Programming , vol. 4. Generating All Trees – History of Combinatorial Generation, Addison-Wesley, p. 50, ISBN 978-0-321-33570-8 , < https://books.google.com/books?id=56LNfE2QGtYC&pg=PA50&dq=rhythms >
↑ Knuth, Donald (1968), The Art of Computer Programming , vol. 1, Addison Wesley, p. 100, ISBN 978-81-7758-754-8 , < https://books.google.com/books?id=MooMkK6ERuYC&pg=PA100 >
↑ Livio, 2003 , p. 197.
↑ Pisano, 2002 , pp. 404-405.
↑ Fibonacci Liber Abaci (Számítás könyve) . A Utahi Egyetem (2009. december 13.). Hozzáférés időpontja: 2018. november 28. (határozatlan)
↑ Hemenway, Priya. Isteni arány : Phi a művészetben, a természetben és a tudományban . - New York: Sterling, 2005. - P. 20-21 . — ISBN 1-4027-3522-7 .
↑ Knott, Dr. Ron Fibonacci számok és arany rész a természetben - 1 . Surrey Egyetem (2016. szeptember 25.). Hozzáférés időpontja: 2018. november 27. (határozatlan)
↑ Knott, Ron Fibonacci nyulai . Surrey Egyetem Műszaki és Fizikai Tudományok Kara. (határozatlan)
↑ Gardner, Martin (1996), Mathematical Circus , The Mathematical Association of America, p. 153., ISBN 978-0-88385-506-5
↑ A problémamegoldás művészete . artofproblemsolving.com . Letöltve: 2021. május 9. (határozatlan)
↑ Fibonacci-számok // Egy fiatal matematikus enciklopédikus szótára / Összeáll. Savin A.P. – 2. kiadás. - M . : Pedagógia , 1989. - S. 312-314. — 352 p. — ISBN 5715502187 .
↑ 1 2 3 4 5 A tétel ebben a fájlban található . (határozatlan)
↑ 23. tétel . (határozatlan)
↑ 24. tétel . (határozatlan)
↑ Következmény a 36. pontból . (határozatlan)
↑ 30. tétel . (határozatlan)
↑ 64 . (határozatlan)
↑ 55. tétel . (határozatlan)
↑ Cassini személyazonosságának igazolása . planetmath.org . Hozzáférés időpontja: 2021. május 30. (határozatlan)
↑ A Cassini identitás . (határozatlan)
↑ JHE Cohn . Fibonacci négyzetszámok stb ., 109-113. Az eredetiből archiválva : 2010. július 11. Letöltve: 2010. július 1.
↑ P. Ribenboim. A prímszámrekordok új könyve . - Springer, 1996. - S. 193.
↑ Ira Gessel. H-187 probléma // Fibonacci Quarterly. - 1972. - T. 10 . - S. 417-419 .
↑ V. Serpinsky . 66. feladat // 250 Feladatok az elemi számelméletben . - M . : Nevelés, 1968. - 168 p.
↑ Hutchison, Luke. Growing the Family Tree: The Power of DNA in Reconstructing Family Relationships // Proceedings of the First Symposium on Bioinformatics and Biotechnology (BIOT-04) : folyóirat. - 2004. - szeptember.
↑ Fibonacci Flim-Flam . Archivált : 2012. április 23. a Wayback Machine -nél .
↑ A mítosz, amely nem fog elmúlni .
↑ Az aranymetszés a természetben .
↑ Fibonacci számok .
↑ Fibonacci számok .
↑ Akimov O.E. A tudomány vége .
↑ Volosinov A. V. Matematika és művészet. Moszkva: Oktatás, 2000. 400 p. ISBN 5-09-008033-X
↑ Matematika a költészetben és a zenében
↑ Sztahov A., Slucsenkova A., Scserbakov I. Da Vinci-kód és Fibonacci-sorozat. SPB. Kiadó: Piter, 2006. 320 p. ISBN 5-469-01369-3

Irodalom

N. N. Vorobjov. Fibonacci számok . - Nauka, 1978. - T. 39. - ( Népszerű matematikai előadások ).
A. I. Markusevich. visszatérési szekvenciák . - Asszony. Műszaki és Elméleti Irodalmi Kiadó, 1950. - 1. évf. - ( Népszerű matematikai előadások ).
A. N. Rudakov. Fibonacci-számok és a szám egyszerűsége 2 127 − 1 // Matematikai oktatás , harmadik sorozat. - 2000. - T. 4 .
Donald Knuth . The Art of Computer Programming, 1. köt. Basic Algorithms = The Art of Computer Programming, vol. 1. Alapvető algoritmusok. - 3. kiadás - M . : "Williams" , 2006. - S. 720. - ISBN 0-201-89683-4 .
Donald Knuth , Ronald Graham , Oren Patashnik . konkrét matematika. Számítástudomány alapja = Concrete Mathematics. Számítástechnikai Alapítvány. — M .: Mir ; Binomiális. Knowledge Lab , 2006. - P. 703. - ISBN 5-94774-560-7 .
Grant Arakelyan. Matematika és az aranymetszés története. — M.: Logosz, 2014. — S. 404. — ISBN 978-5-98704-663-0 .
Ball, Keith M (2003), 8: Fibonacci's Rabbits Revisited, Strange Curves, Counting Rabbits, and Other Mathematical Explorations , Princeton, NJ: Princeton University Press , ISBN 978-0-691-11321-0 .
Beck, Matthias & Geoghegan, Ross (2010), The Art of Proof: Basic Training for Deeper Mathematics , New York: Springer, ISBN 978-1-4419-7022-0 .
Bóna, Miklós (2011), A Walk Through Combinatorics (3. kiadás), New Jersey: World Scientific, ISBN 978-981-4335-23-2 .
- Bóna, Miklós (2016), A Walk Through Combinatorics (4th Revised ed.), New Jersey: World Scientific, ISBN 978-981-3148-84-0 .
Lemmermeyer, Franz (2000), Kölcsönösségi törvények: Eulertől Eisensteinig , Springer Monographs in Mathematics, New York: Springer, ISBN 978-3-540-66957-9 .
Livio, Mario . Az aranymetszés: Phi története, a világ legcsodálatosabb száma . — Első kereskedelmi papírkötésben. – New York City: Broadway Books, 2003. - ISBN 0-7679-0816-3 .
Lucas, Édouard (1891), Théorie des nombres , vol. 1, Párizs: Gauthier-Villars, Théorie des nombres in Google Books , < https://archive.org/details/thoriedesnombr01lucauoft > .
Pisano, Leonardo (2002), Fibonacci Liber Abaci: A Számításkönyv fordítása modern angol nyelvre , Források és tanulmányok a matematika és a fizikatudomány történetéből, Springer, ISBN 978-0-387-95419-6

Linkek

Az első 300 Fibonacci-szám (angolul) .
Fibonacci számok a természetben (angol) .

Szótárak és enciklopédiák	Nagy orosz Britannica (online)
Bibliográfiai katalógusokban	NDL : 00923391

Sorozatok és sorok
Sorozatok	Numerikus sorozat Alapvető sorrend Lineáris ismétlődő sorozat Fibonacci számok göndör számok Faktoriális Barker sorozat de bruijn sorozat
Sorok, alap	Sor összege A sor többi része Feltételes konvergencia Váltakozó sorozatok Sor több szakasz
Számsorozat ( műveletek számsorokkal )	harmonikus sorozat Leibniz sorozat Inverz négyzetek sorozata Reciprok prímek sorozata Dirichlet sor Mercator sorozat Sor Grandi 1 - 2 + 3 - 4 + ... 1 + 2 + 3 + 4 + ...
funkcionális sorok	Taylor sorozat Laurent sorozat Fourier sorozat Trigonometrikus Fourier sorozat trigonometrikus sorozat Wiener sorozat
Egyéb sortípusok	Neumann sorozat Puiseux sor