Az arányosítás ( németül Proportionierung , latinul pro-portio - ratio, dimenzió ) egy forma harmonizálásának módja a részek mennyiségi viszonyainak egyenlőségén alapul. Az arányosság két vagy több változó arányának egyenlősége (állandósága) . A matematikában az arány a mennyiségek olyan aránya (függősége), hogy ha egy mennyiség többszörösére nő vagy csökken (duplázódik, megháromszorozódik, feleződik, ...), akkor a másik ugyanannyival nő vagy csökken. Például 1 : 2 = 3 : 6. Az ilyen mennyiségek arányát arányossági együtthatónak vagy arányossági állandónak [1] nevezzük .
A művészetelméletben és a művészeti gyakorlatban egy stabil definíció alakult ki: „Az arány a műalkotás részei méretének szabályos aránya egymás között, valamint az egyes részek a mű egészével” [2] .
A kultúra filozófiájában ezt a fogalmat tágabban úgy tekintik, mint egy optimális és holisztikus formai struktúra kialakításának módját a részek és az egész mennyiségi összehangolásának módszerével, de megkülönböztetik ezt a koncepciót az értelmes integritás kategóriájától - a kompozíció [3]. .
Az építészetelméletben ezzel szemben szűkebb definíciót használnak: az arány egy épület, homlokzat vagy részei hosszának, szélességének és magasságának aránya. Az arányok elméleti tanulmányozása az építészetben az arányok elméleteként ismert [4] .
Az arányosítás fogalma a klasszikus művészet történetében
Az arányok meglehetősen összetett elmélete létezett az ókori Egyiptomban , nemcsak a matematikában, hanem a művészetben is [5] . Az egyiptomi papoktól az ókori görögök és rómaiak örökölték az arányok matematikai elméletét. Általánosan elfogadott, hogy az első görög „analógia” szót ( másik görög ἀναλογία ), amely szó szerint „újrakapcsolatot” jelent, felváltotta a lat latin analógja. proportio római szónok Cicero .
A pythagoreusok tanulmányai lehetővé tették az „arányosság” és az „arányosság” fogalmak tartalmának elkülönítését. Az ókori római építész , Vitruvius a „ Tíz könyv az építészetről ” című értekezésében (Kr. e. 13) „egyszerű arányosságnak” vagy metrikus normának, a „szimmetria” szónak szimmetriának, valamint a kompozíció szabályos ismétlődésének, ritmikus vagy dinamikus szerveződésének nevezte. elemek - arány [6] . Vitruvius ehhez tette hozzá a modus fogalmát ( lat. modus - mérték, méret, kiterjedés, pozíció). A modalitás vagy modalitás a forma összes részének konzisztenciája valamilyen elemen, leggyakrabban a modulon (a legkisebb rész mértékegységén) alapul. A modalitás érzelmi színezetet, bizonyos tonalitást ad az arányos szerkezetnek (a modern harmóniaelméletben ezeket a fogalmakat kiterjesztik a szín- és hangviszonyokra).
Az arányosítás gyakorlati módszerei és technikái az "arány" és az "arány" fogalmak megkülönböztetésén alapulnak. A mennyiségek vagy az egész részeinek egymáshoz viszonyított aránya különböző. A legegyszerűbbek az egész számokkal kifejezett többszörösek. Például egy négyzet (1:1) vagy egy két négyzetből álló téglalap oldalainak aránya (1:2). Az irracionális kapcsolatokat egy végtelen tört fejezi ki. Az arányosság a harmóniaelméletben, akárcsak a matematikában, két vagy több arány egyenlőségére utal. Ennek megfelelően az a legjobb arány, amelyben a részek és az egyes részek aránya az egészhez egyenlő. Aranymetszetnek vagy isteni aránynak ( lat. Sectio Aurea; Proportia Divina ) nevezik .
Az ókori görög filozófus , Platón (i.e. 427-347) megemlítette a geometriai módszert, amellyel egy négyzet területét megkétszerezték úgy, hogy egy nagyobb négyzetet építenek az átlójára. A második négyzetben az első négy "fele" van, ezért a területe kétszer akkora [7] . Ez a legegyszerűbb konstrukció fontos szabályszerűséget tartalmaz. A négyzet átlója irracionális mennyiség. Ha egy négyzet oldalát 1-nek vesszük, akkor az átlója egyenlő vagy 1,414... Így egy négyzeten és annak átlóján alapuló mértékrendszer kettősséget, az egyszerű egészek és irracionális számok közötti kapcsolatok polifonikus elvét hordozza.
Az ókori művészet történetében a „négyzet alakú figurák” kifejezés ismert (( ógörögül τετραγωνος ). Az ókori római író , idősebb Plinius (i.sz. 23-79) az Argive iskola bronzszobrait négyszögletesnek nevezte ( lat. signa quadrata ) , különösen a híres " Dorifor " és a " Diadumen " Polykleitos szobrásztól ... Ugyanakkor utalt Mark Terentius Varro (Kr. e. 116-27) enciklopédikusra, utalva arra, hogy a "négyzet" szó lehet nem a szobor sziluettjének jellegét jelöli, hanem az arányosítás módját, amelyet Polykleitos „ Kánon ” elméleti munkája (a mű nem őrzött meg) [8] .
A Polykleitos képében látható sportolók szobrai valóban „négyzet alakúak” (más fordításban „széles arányok”). Arányaik elemzésekor kiderül, hogy az ábra modulja a négyzet oldala, amelynek átlója a nagyobb négyzet oldalaként szolgál stb. Ennek eredményeként a szoborvonal minden része arányosan felfelé a "páros mértékek" rendszerében: racionális és irracionális kapcsolatok. Tehát az egész figura magassága két, négy és nyolc részre oszlik (az ábra feje a magasság 1/8-a). A plasztikus mozgás során azonban (a sportoló az egyik lábán nyugszik, a második láb térdre hajlik és hátra van állítva) irracionális kapcsolatok keletkeznek. Ha egységnek vesszük (egy kis négyzet oldalát) a figura felső részét (függetlenül a tényleges méretétől) - a fejet és a törzset a csípőtarajig (amelyen a ferde izmok fekszenek) - egységnek, akkor a figura alsó része (medencei öv és támasztóláb) 1,618 lesz (a nagyobb négyzet oldala). Ennek megfelelően az ábra teljes magassága 2,618. Ezeket a kapcsolatokat az ókori egyiptomiak által felfedezett „ aranymetszet ” mintája köti össze, amely egyetemes [9] .
Meg kell jegyezni, hogy a népszerű irodalomban gyakran előforduló, állítólag változatlan, legharmonikusabb kanonikus értékekre való hivatkozások nem rendelkeznek kellő tudományos indoklással. Az ókori szobrok mérései, amelyeken ezek az elméletek alapulnak, különösen azok, amelyeket A. Zeising klasszikus tanulmányai tartalmaznak : „Az emberi test arányairól…” (1854) [10] és az „Esztétikai kutatás” (1854 ). ) [11] , véletlenszerű, változó karakterűek és "nagyon hanyagul" [12]
A kiemelkedő műalkotásokban feltehetően előforduló abszolút és változatlan harmonikus számokra vonatkozó következtetések több okból is haszontalanok. Először is, a legkiemelkedőbb ókori szobrok nem másolatok, hanem az eredetiek legfrissebb és hozzávetőleges másolatai, amelyek nem maradtak fenn, részletükben nagymértékben különböznek egymástól, mivel a római és a neoattikai iskola mesterei nem látták az eredetit, és csak azokra támaszkodtak. hozzávetőleges irodalmi leírások és más másolatok más anyagokban és méretekben. Másodszor, az összes szobor különböző mozdulatokkal van megadva: fejdőlés, törzsfordulás, karok és lábak helyzete. Ilyenkor nem világos, hogy mely mérési pontokat tekintjük helyesnek: anatómiai vagy vizuális, valós perspektívában észlelt mérési pontokat. Harmadszor, az arányos kánonok , még ha rögzítettek is, jelentősen változtak az évszázadok, sőt évtizedek során, függtek a korszaktól, a modortól, a mesterek és az iskolák munkaidejétől és helyétől . Például a klasszikus korszakok szobraiban, Polykleitos és Phidias korában, valamint a hellenizmusban , Lysippus és Praxiteles munkáiban. Ugyanez vonatkozik az építészetre is. Nyilvánvaló, hogy az arányok harmóniájának titka nem az "ideális számokban", hanem a mozgékony, dinamikus arányviszonyok törvényeiben rejlik [13] .
Jellemző az is, hogy az arányosítás elmélete intenzíven fejlődött a természethez és a művészethez való legracionálisabb viszonyulás időszakában. Így 1496 óta Milánóban Leonardo da Vinci művész és Luca Pacioli matematikus közösen próbált hasonló elméletet alkotni az „ Isteni arány ” című értekezésében ( lat. De Divina Proportione ). A fő szöveget és a matematikai számításokat, valamint a könyv kiadását L. Pacioli végezte. Ennek az értekezésnek két kéziratát őrizték meg – az egyiket a genfi közkönyvtárban, a másodikat a milánói Ambrosian Libraryben. Leonardo befejezte az illusztrációkat, esetleg a Vitruvius Man néven ismertet is . A dolgozat 1498. december 14-én készült el. Leonardo rajzaiból fametszetek készültek. A traktátus 1509-ben jelent meg Velencében [14] [15] .
Az arányok elméletét sok reneszánsz művész fejlesztette ki: Lorenzo Ghiberti , Leon Battista Alberti , Albrecht Dürer , később I. D. Preisler .
Az arányosítás módjai az építészettörténetben
Az építési gyakorlatban a harmónia tudományos elméletének megjelenése előtti különböző idők építészei általában intuitív módon követték a formaharmonizáció törvényeit. Ezeket a készségeket apáról fiúra adták a vándorépítészeti mesterek ("szabadkőművesek" - kőművesek ) sok generációja. A kreativitás irracionális mélységeivel ellentétben a mennyiségi arányok numerikus törvényei precíz számításnak, elemzésnek, rögzítésnek vannak kitéve, így könnyebben átvihetők egyik mestergenerációról a másikra, tanárról inasra, mint " mesteri titkok".
Az arányok harmóniájának intuitív kritériumaként az „arany középút” ( lat. aurea mediocritas ), a természetben megfigyelt nagyságrendi arányok pedig modellként szolgáltak. Így az ókori hellének építészetükben egész számokat, több modult és racionális technikákat használtak, de bevezettek "optikai korrekciókat" és árnyalatokat, amelyek a nagyságarányok enyhe szabálytalanságát adtak. Ezek a görbület ( lat. curvatura - görbület , egyenes vonalak és síkok görbülete), entasis ( más görög ἔντασις - feszültség) - az oszlopok enyhe megvastagodása a középső részben, összehúzódás (az oszlopok egyenlőségének megsértése, a távolságok konvergenciája oszlopok között).
Használtak epimorális összefüggéseket is ( ógörög επι - fent, fölött és más görög μοριον - rész, részecske), amelyekben az egyszerű többszörösekkel (1:2; 1:3; 1:4) ellentétben a nagyobb rész többlete egyenlő a kisebbik egy részével (például: 2:3; 3:4; 8:9), ami majdnem megközelíti az "arany szegmensek" arányát. Ez a módszer különösen az ókori görög templomok elülső és oldalsó homlokzatán lévő oszlopok számának kiszámításakor mutatkozott meg a következő epimorális képlet szerint: n : (n + 1), amikor az oldalhomlokzaton lévő oszlopok száma eggyel több. mint az elején. Ezt a szabályszerűséget nevezték a görögök "analógiának".
A nápolyi Nemzeti Régészeti Múzeumban és a római Terme Múzeumban a pompeii ásatások során talált szokatlan tárgyakat és hagyományosan arányos iránytűket őriznek . Részletekben különböznek, de lényegében összefolynak - két fa deszka egy rögzített csuklópánttal térhálósodik. Oldalaik aránya megfelel az "aranymetszet" szabályának. A régészek hasonló eszközöket találnak az ókori világ különböző régióiban. Valószínűleg az arányos modulok szabványaként szolgáltak az architektúrában [16] .
Az arányrendszer az építészetben mindig is szorosan összefüggött az építés technikájával és technológiájával, a geometria és a mennyiségek mérési módszereinek fejlődésével. Az épület tervének teljes méretben a földre történő kihelyezésének szükségessége hozzájárult bizonyos arányos kapcsolatok kialakítására szolgáló technikák kidolgozásához mind vízszintes, mind függőleges síkban. Az ilyen arányosítás legegyszerűbb módja egy derékszög felépítése volt a talajon, amelyen a leendő szerkezet súlypontjának az alap közepére való vetülete (a tetejétől az alapsíkra merőlegesen) függött - az első feltétel az épület szilárdsága és megbízhatósága érdekében. Az ókori építészek zseniálisan egyszerűen megoldották ezt a problémát. Fogtak egy mérőzsinórt - egy csomókkal tizenkét egyenlő részre osztott kötelet, összekötötték a végeit (tizenkettedik és nulla csomó), és a földön feszítve a harmadik, hetedik és tizenkettedik osztásnál csapokat vertek a földbe. Ebben az esetben egy háromszöget kaptunk, amelynek oldalaránya 3: 4: 5. Egy ilyen háromszög a geometria egyik axiómája és a Pitagorasz-tétel szerint mindig téglalap alakú lesz. Miután számítások nélkül megkapták a derékszöget, az építők a kívánt méretre növelhették, és függőleges síkra helyezhetik át. Univerzális tulajdonságai miatt az építészet történetében egy ilyen háromszöget „ egyiptomi szent háromszögnek ” neveztek . A gízai gigantikus piramisok egyikének , a Khafre piramisnak két „szent háromszöge” van keresztmetszetében, és a magasság és a négyzet alap oldalának aránya 2:3 (143,5:215,25 m). Hosszú ideig ezek a méretek valamelyest csökkentek (136,4: 210,5 m).
A háromszög számai: 3, 4, 5, összegük 12, valamint 7, 3 és 4 összege, folyamatosan megtalálhatók a természetben, és szentként is tisztelték őket. A vallási elképzelések szerint az egyiptomi háromszög egyetemes geometriája megszemélyesítette az istenek Nagy Triádját: Ízisz és Ozirisz (két láb) és fiuk, Hórusz (hipoténusz). „A létet és a nemlétet Íziszhez és Oziriszhez, az átlót pedig Hórusz-Sólyomhoz hasonlítják” ( Egyiptom. ḥr - „magasság”, „égbolt”) [17] .
Az ókori görögök az egyiptomi piramisok építőit "harpedonautáknak" nevezték ( más görög αρπεδονη - lasszó, hurok) "kötélfeszítők"-nek. A. Fournier de Cora francia építész, E. Kielland norvég művész és V. N. Vladimirov orosz építész az ókori építészek arányosítási technikáit tanulmányozva egymástól függetlenül jutottak el egy olyan modellhez, amely egyesíti a geometriai alakzatokat és a numerikus összefüggéseket, természetesen megismétlődik a tervekben és metszetekben. az ősi építményekről. Egy ilyen modellt "egyiptomi átlórendszernek" [18] [19] [20] [21] neveztek .
Ha veszünk egy (1:1 oldalarányú) négyzetet, és annak átlóját (két négyzetgyökével egyenlő) az egyik oldal folytatására vetítjük, majd visszaállítjuk a merőlegest a talált pontból, akkor egy új ábra - egy téglalap. Miután meghúztunk benne egy átlót, azt találjuk, hogy egyenlő három négyzetgyökével. Ismételjük meg a konstrukciót, és lássunk egy új téglalapot hosszabb oldallal. Ennek a téglalapnak az átlója egyenlő lesz négy négyzetgyökével, azaz 2-vel. Ezt az átlót az előző esetekhez hasonlóan kivetítve és a merőlegest visszaállítva megkapjuk az úgynevezett két szomszédos négyzetet (két egyenlő négyzetből áll). öt négyzetgyökével egyenlő átlóval. Egy két szomszédos négyzet belsejében (két négyzet leggyakrabban az ókori egyiptomi templomok terveit alkotja) számos átlót, és ennek megfelelően irracionális értékeket helyeznek el, amelyeket egy bizonyos sorrend köt össze.
A négyzet oldalának és átlójának arányát gyakran használták az arányos konstrukcióknál, mivel így könnyen összefüggő mennyiségek folytonos sorozatát lehetett képezni. Kényelmes volt a beírt vagy leírt átlós négyzetek rendszere, mert egyfajta arányos léptéket adott az építésznek, amely alapján az épületrészek arányosságát fel tudta építeni.
Az "aranymetszet" felépítésének geometriai módszere ideálisan egyszerű, mivel nem igényel számításokat, és csak az iránytű két mozgását foglalja magában. Ez a mai napig nem változott, és az "építészek útja" -nak hívják . Az „egyiptomi háromszög” kis lábát (1-es méretű) körzővel vagy mérőzsinórral a Pitagorasz hipotenuszára fektetjük (ez egyben egy két szomszédos négyzet átlója is, egyenlő az öt négyzetgyökével). Ezután az átló maradéka (öt mínusz egy négyzetgyöke) az iránytű ellentétes mozdulatával átkerül a nagy lábra (kettővel egyenlő). Ennek eredményeként a nagy láb két egyenlőtlen részre oszlik, egyetlen pillantásra, ahol harmonikus kapcsolatok érezhetők. Ezeket az érzéseket számítással ellenőrizhetjük. Jelöljük a láb nagyobbik részét az "A" betűvel, a kisebbet pedig a "B" betűvel. Ekkor a teljes láb (A + B) nagyobb részéhez (az átló maradékához) viszonyított aránya kettő lesz osztva öt mínusz egy négyzetgyökével. Bármely érték esetén ezt az arányt egy irracionális számmal, egy végtelen törttel fejezzük ki: 1,618033 ... Ha ellenőrizzük az adott szakasz (B) nagyobb részének (A) és kisebb részének arányát, akkor meglepő módon , ugyanazt a számot kapja: 1,618033 ... Egy ilyen képlet a következőképpen írható fel: (A + B) : A \u003d A : B (az egész ugyanúgy kapcsolódik a nagyobb részhez, mint a nagyobb rész a kisebbhez kapcsolódóan). Ennek az aránynak a tagjai helyének változásától az eredmény nem változik.
A képlet esztétikai értelme abban rejlik, hogy ez az arány a lehető legjobb és egyetlen lehetséges - az az ideális eset, amikor a tetszőleges méretű (formájú) részek aránya kiegyenlítődik egymás között és ezen részek mindegyike az egészhez képest. Minden más harmonikus kapcsolat csak a forma különálló részeit köti össze, az "arany arány" pedig minden részt és az egészet összeköti. Vagyis a "szép képletében" a részek és az egész viszonyait egyetlen szabályszerűség köti össze. Platón szerint "a legjobb hasonlat az egészet és részeit elválaszthatatlanná teszi". Sőt, minden mennyiség a végtelenségig felosztható, és megőrzi "arany tulajdonságait". A harmonizáció egyéb módszerei és technikái sajátos természetűek, és az "arany arány" univerzális. Innen ered a neve.
E minta működésének legszembetűnőbb példája az athéni Parthenon (Kr. e. 447-438) tervének és homlokzatának kapcsolata – a harmónia egyetemesen elismert mércéje. A kutatókat ennek az építészeti remekműnek a mérése során mindig is meglepte a többszörös mérték és az irracionális összefüggések jelenléte, különösen a templomterv eltérése a hagyományos, két négyzetes mérettől. Az „aranymetszés” szabály megmagyarázza ezt a „furcsaságot”. Ha a Parthenon stilobát két szomszédos négyzetének átlóját rávetítjük a hosszú oldalának folytatására, akkor ennek az épületnek a tervrajzának valós arányait kapjuk: egy az öt négyzetgyökéhez. Más szóval, ha a templom főhomlokzatának szélességét (30,89 m) 1-nek vesszük, akkor a szélesség és az oldalhomlokzat hosszának aránya a stylobát mentén (69,54 m) egy lesz a négyzetgyökhöz viszonyítva. ötből. A belső tér minden dimenzióját ugyanazok a kapcsolatok kapcsolják össze: naos , pronaos és opisthodom [22] .
A Parthenon főhomlokzata (háromszög oromzat nélkül) egy két szomszédos térbe illeszkedik. Az oszlop a tőkével együtt (10,43 m) az "arany arány" kisebb tagja. Az "arany szakasz" nagyobb része az épület teljes magasságának felel meg, beleértve a tetőt is. Ugyanezek az összefüggések a legkisebbekig részletesen megismétlődnek [23] . Az eredeti „arany számot” (1,618033…) általában a rövidség kedvéért a görög φ („phi”) betűvel jelölik, amely az ókor kiemelkedő szobrászának és építészének, Phidiásznak, a Parthenon egyik alkotójának a nevét kezdi.
Hasonló technikákat használtak az ókori orosz építészek. Az ácsmesterek az építési terv jelölését közvetlenül a talajon, számítások nélkül, a négyzet és annak átlója alapján végezték el. Ehhez mérőzsinórt és földbe vert facsapokat használtak. A fő mérték a rönk hossza volt, a ládamodul pedig egymásra rakott koronákból állt - négy, a sarkaiknál összekapcsolt, négyzet alakú rönkből. A derékszög felépítésének feladatát kétdimenziós zsinórok segítségével oldották meg - a fedő (alsó) korona átlóinak kiegyenlítésének módszerével (az átlók egyenlősége négyzetet ad). Következő feladat: az átlót (vagy származékát) a négyzet oldalának kiterjesztésére vetítve megkaptuk a második modult, amely egyenlő a négyzet kétszeres területű oldalával. A földön egy jövőbeli épület, például egy templom terve készült - a főketrec (az úgynevezett ketreces templom) előszobával és egy oltárral. Természetes, hogy az ókori orosz asztalosok egymástól függetlenül találták meg a probléma legegyszerűbb, az ókorban jól ismert gyakorlati megoldását [24] .
Az 1950-es években a történész és régész , B. A. Rybakov az ősi orosz „babilonokat” tanulmányozta – egymásba írt hasonló téglalapokból vagy négyzetekből álló grafikai jeleket. A 17. századtól származó agyagszilánkok (ceramidok) és kőlapok ásatásaiban találhatók meg - az orosz krónikákban. A kutató szerint a "Babilon" a Bábel tornyának sematikus ábrázolása és egyben az arányos kánon szimbóluma [25] .
Az idő múlásával, az ókori Rusz egyszerű asztalosipari tapasztalatai alapján, egy remek arányosítási rendszert fejlesztettek ki a „páros mértékek rendszerén”: a racionális és irracionális számokon. Ezt bizonyítják a templomok mérései. Az ősi orosz hosszmértékek tanulmányozása B. A. Rybakov és más kutatók szerint megerősíti ezt a tényt. Az építők nem egy vagy két sázhenyt használtak hosszmértékként , hanem hat főt és egy kiegészítőt. Az ókori orosz asztalosok kimért zsinórját „sokar”-nak ( ógörögül σωχος - erős) nevezték, a ládméretek azonban változtak, az arányossági mintázat nem valami ideális mértékben, hanem viszonyukban és mindenekelőtt a az emberi alak mérete. Ezt az antropomorfizmusnak nevezett ősi hagyományt a bizánci és az óorosz művészet is megőrizte.
Összehasonlítva több, az ókori orosz építkezésben használt sazhen arányait, és egy „Babilont” építettünk (B. A. Rybakov szerint), bizonyos szabadságot felvállalva ebbe a „Babilonba” beírható egy ember alakja a „Babilon” szerint. Leonardo da Vinci híres rajza , amely, ahogyan azt sugallják, Vitruvius építészetről szóló értekezésével ("A vitruvius ember "; latin Homo vitruvianus ) kapcsolódik. Az ókori orosz hosszmértékek antropomorfizmusa nyilvánvaló, csakúgy, mint a középkori Rusz és az európai Nyugat dimenziórendszerének analógiája.
A nyugat-európai középkori építési artelek főleg két geometriai konstrukciós módszert alkalmaztak. A méretek kiszámításának legegyszerűbb módját, az ősi „négyzetfigurák”ig visszamenőleg, ezt nevezték: kvadratúra . Ezt a módszert először a regensburgi német szabadkőműves (szabadkőműves) , a katedrálisok építője, Matthaus Roritzer írta le 1486-ban. A „német” nevet kapta. A teljes épület négyzetbe volt írva (alaprajzi és magassági arányban), és a származtatott értékeket az épület főhomlokzatának szélességére épített négyzet átlója határozta meg. Ilyen példát ad a párizsi Notre Dame -székesegyház homlokzatának mérései alapján Auguste Choisy híres könyve [26] .
Egy másik módszer a háromszögelés . Ez a módszer misztikus jelentőséget is kapott, különösen a templomok építésénél, mivel az egyenlő oldalú háromszög a Szentháromság szimbóluma . A gyakorlatban B. R. Vipper rekonstrukciója szerint így nézett ki. A kiválasztott építkezésen pontosan délben egy oszlopot ástak a földbe - egy gnomon (mutató), amely a leendő épület fő, nyugati homlokzatának közepét jelzi. A középső szélességeken a déli nap a gnomontól pontosan északra vet árnyékot, és a homlokzat szélességének felét ebbe az irányba tették félre. A másik felét az ellenkező irányban mérték. Ezután a kapott főhomlokzati szélességre mérőzsinórok segítségével egy egyenlő szárú (más esetekben egyenlő oldalú) háromszöget építettek a talajra. A teteje a leendő templom főhajójának hosszának felét jelölte. Ezután egy második háromszög tükröződött. A háromszögek homlokzati vonalára merőleges mediánja határozta meg a templom főhajójának nyugat-keleti tengely mentén tájolt középvonalát. A háromszögek alapjait négy egyenlő részre osztották. Ez adta meg a főhajó és a két oldalhajó szélességének megfelelő arányát, amelyeket kétszer keskenyebbre kellett volna készíteni. A kis háromszögek metszéspontjai a leendő támaszok helyét jelölték ki. Az ilyen háromszögelést végtelenül kicsi értékekre lehet bontani, függőleges síkra átvinni, meghatározva a homlokzatok fő szerkezeti pontjait és az épület belső szerkezetét [27] .
A milánói dóm alapkőletételekor 1387-ben német és francia építészeket hívtak meg, akik azzal érveltek, hogy a templomot "német módszerrel" (ad quadratum) építsék-e - négyzet és átlója alapján - vagy a "francia módszer" (ad triangulum) szerint - egyenlő oldalú háromszög alapján. A milánói dóm keresztmetszeti rajza (a középső kereszt szerint), amelyet 1391-ben készített a piacenzai Gabriele Stornalocco, Vitruvius Cesare Cesariano Tíz könyv az építészetről című értekezésének 1521-es olasz kiadásában szerepel. Ez a rajz egyértelműen bemutatja a "csatolt rendszert", amelyben a katedrális fő szerkezeti pontjai nemcsak egyenlő oldalú háromszögekbe, hanem koncentrikus körökbe is be vannak írva. Egy ilyen "összekapcsolt rendszer" adja a legnagyobb erőt és vizuális integritást az egész szerkezetnek.
Az arányosítás elméletét a reneszánsz építészetében Leon Battista Alberti , Andrea Palladio , N. A. Lvov dolgozta ki . Az új időben - I. V. Zholtovsky , O. I. Guryev , I. P. Shmelev.
Ismeretes, hogy Andrea Palladio nem használt összetett számításokat és irracionális számokat. „ Négy könyv az építészetről ” című értekezésében (1570) nem említi az aranymetszet szabályát, de az épületek „egy vagy két kockára” való arányosítását javasolja. Palladio épületeiben azonban megismétlődnek az arányok: 2: 3: 5. A velencei építész a különböző méretű téglalapok hasonlóságainak megalkotásához is folyamodott párhuzamos vagy merőleges átlók alapján (a geometria egyik axiómája). Ez a technika az építészet történetében a "derékszög szabály" nevet kapta. Az arányok harmóniájának egyik szimbóluma az építészet történetében Palladio híres épülete, a Villa Rotunda .
Palladio munkásságának kutatója, O. I. Guryev építész hangsúlyozta, hogy az "aranymetszet" említése nélkül, hanem a "hasonló téglalapok és kockák szabályát" követve, párhuzamos vagy merőleges átlókra építve Palladio meghatározta a meghatározandó mennyiségek arányait. a „tagok vagy a Fibonacci-sorozathoz kapcsolódnak: a 9:5 a 3:5 arány háromszorosa, a 3:1 pedig a 3:2 arányának kétszerese stb. [28] .
Le Corbusier francia építész a hagyományos páros mértékrendszer, a „derékszög szabálya” és két „skála” (racionális és irracionális értékek) alapján alkotta meg híres „ Modulor ” -ját .
A szentpétervári építész és művészetteoretikus, Igor Pavlovics Shmelev a harmónia törvényeit tanulmányozva megalkotta saját értelmezését az ókori egyiptomi papok kánonjáról Khesi-Ra, Hórusz isten papja sírjából származó fatáblák elemzése alapján. és Djoser fáraó főépítésze Szakkarában [29] .
A képzőművészet történetében egyik 1783-as elméleti művét az arányosítás témájának szentelte a festő, Sir Joshua Reynolds , valamint John Thomas Smith angol metsző , aki elméletét a „harmadok szabályának” nevezte.