Cassini identitás

A Cassini -azonosság egy olyan identitás, amely kimondja, hogy a következő reláció érvényes a Fibonacci - számra : $n$

{\displaystyle F_{n-1}F_{n+1}-F_{n}^{2}=(-1)^{n))

. [egy]

A katalán identitás általánosítja ezt a kapcsolatot:

{\displaystyle F_{n}^{2}-F_{nr}F_{n+r}=(-1)^{nr}F_{r}^{2))

A Cassini-képletet 1680 -ban [2] Giovanni Cassini , a Párizsi Obszervatórium akkori igazgatója fedezte fel , és Robert Simson bizonyította 1753-ban. 1879-ben Eugène Catalan általánosította az eredményt.

A Cassini-azonosság gyors bizonyítása megadható, ha az azonosság bal oldalát egy 2×2-es Fibonacci-mátrix determinánsaként ábrázoljuk, megmutatva, hogy ez a mátrix egy −1 determinánsú mátrix hatványa [1] : $n$

F_{n-1}F_{n+1}-F_{n}^{2}=\det \left[{\begin{matrix}F_{n+1}&F_{n}\\F_{ n}&F_{n-1}\end{mátrix}}\right]=\det \left[{\begin{mátrix}1&1\\1&0\end{mátrix}}\jobbra]^{n}=\left( \det \left[{\begin{mátrix}1&1\\1&0\end{mátrix}}\jobbra]\jobbra)^{n}=(-1)^{n}

Jegyzetek

↑ 1 2 Knuth, 1976 .
↑ R. Graham, D. Knuth, O. Patashnik. konkrét matematika. - Moszkva: Mir, 1998. - S. 324, 6.6 Fibonacci-számok fejezet.

Irodalom

D. Knut. A számítógépes programozás művészete. - Moszkva: Mir, 1976. - V. 1 Alapvető algoritmusok. - S. 114 (1.2.8. szakasz).
R. Simson, H. Philip. Albert Girard Simon Stevin műveihez fűzött kommentárjának egy homályos szakaszának magyarázata. - 1753. - T. 48 , sz. 0 . – S. 368–376 . - doi : 10.1098/rstl.1753.0056 .
M. Werman, D. Zeilberger. Cassini Fibonacci azonosságának bijektív bizonyítéka // Diszkrét matematika . - 1986. - T. 58 , sz. 1 . - S. 109 . - doi : 10.1016/0012-365X(86)90194-9 .

Linkek

Yark, Joey. "Cassini személyazonosságának igazolása" (21-es verzió). planetmath.org. Ingyenesen elérhető a http://planetmath.org/proofofcassinisidenity oldalon
[egy]
[2]
Cassini képlet Fibonacci számokhoz
Fibonacci és Phi képletek
George E. Andrews: Számelmélet (1971).
Graham RL, Knuth DE, Patashnik O., Concrete Mathematics, második kiadás, Addison-Wesley, 1994, 290-301. oldal.
Michael Z. Spivey, Fibonacci Identities via the Determinant Sum Property, Integre Technical Publishing Co., Inc. College Mathematics Journal 37:4 2006. április 14