Wythoff asztal

A matematikában a Wythoff tabló egy végtelen egész mátrix , amely a Fibonacci sorozatból származik, Willem Abraham Wythoff matematikusról nevezték el . Morrison matematikus határozta meg 1980-ban a Wythoff-párok, a Wythoff-játék nyerő pozícióinak koordinátái alapján ; definiálható a Fibonacci-számokkal és Zeckendorf-tétellel, vagy közvetlenül az aranymetszés és a Fibonacci-számokat meghatározó ismétlődési reláció segítségével . Minden pozitív egész pontosan egyszer fordul elő a táblázatban, és a tábla sorainak eltolásával bármilyen, a Fibonacci-ismétlődési reláció által meghatározott egész sorozatot megkaphatunk.

Értékek

A Wythoff tömb a következő értékeket tartalmazza

{\begin{matrix}1&2&3&5&8&13&21&\cdots \\4&7&11&18&29&47&76&\cdots \\6&10&16&26&42&68&110&\cdots \\9&15&24&39&63&102&165&\cdots \\12&20&32&52&84&136&220&\cdots \\14&23&37&60&97&157&254&\cdots \\17&28&45&73&118&191&309&\cdots \\\vdots &\vdots & \vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \\\end{mátrix}}

A035513 szekvencia az OEIS -ben .

Egyenértékű definíciók

A Stolyarsky (1977) által korábban meghatározott hasonló tömb ihlette Morrison a Wythoff-tömböt a következőképpen határozta meg. Let jelöli az aranymetszés ; akkor a Wythoff-játékban a nyerő pozíciót egy pozitív egész számpár adja , ahol az egyes párokban lévő számok két egymást kiegészítő Beatty-sorozatot határoznak meg , amelyekben minden természetes szám pontosan a két sorozat egyikében fordul elő. Morrison a mátrix sorában az első két számot az egyenlet által adott Wythoff-párként határozza meg , a sorban lévő többi számot a Fibonacci ismétlődési reláció adja. Vagyis a mátrix elem definíciója: $\varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}$ $én$ $(\lfloor i\varphi \rfloor ,\lfloor i\varphi ^{2}\rfloor )$ $m$ $m=\lfloor i\varphi \rfloor$ ${\displaystyle A_{m,n))$

A_{m,1}=\left\lfloor \lfloor m\varphi \rfloor \varphi \right\rfloor

A_{m,2}=\left\lfloor \lfloor m\varphi \rfloor \varphi ^{2}\right\rfloor

{\displaystyle A_{m,n}=A_{m,n-2}+A_{m,n-1))

, .

n > 2

A természetes szám Zeckendorf-reprezentációja különböző Fibonacci-számok összegeként való ábrázolása, amelyek közül nincs kettő egymást követő tagja a Fibonacci-sorozatnak. Ahogy Kimberling (1995) leírja, a mátrix minden sorában lévő számok Zeckendorf-reprezentációkkal rendelkeznek, amelyek eltolásban különböznek egymástól, és a mátrix minden oszlopában lévő számok Zeckendorf-reprezentációi ugyanazzal a legkisebb Fibonacci-számmal. Konkrétan egy elem definiálható a -edik legkisebb számként, amelynek Zeckendorf-reprezentációja a -edik Fibonacci-számmal kezdődik . ${\displaystyle A_{m,n))$ $m$ $n$

Tulajdonságok

Minden Wythoff-pár pontosan egyszer fordul elő a Wythoff-táblázatban, egymást követő számpárként ugyanabban a sorban, páratlan indexszel a pár első eleméhez, páros indexszel a másodikhoz. Mivel minden természetes szám pontosan egy Wythoff-párban fordul elő, minden természetes szám pontosan egyszer fordul elő a Wythoff-táblázatban (Morrison 1980).

A Wythoff-tábla a természetes számok tetszőleges sorozatát tartalmazza, amely kielégíti a Fibonacci-ismétlődési relációt, legfeljebb véges számú pozíció eltolódásáig. Konkrétan magát a Fibonacci-sorozatot a táblázat első sora, a Lucas-szekvenciát pedig a harmadik tagjától kezdve a táblázat második sora képviseli (Morrison, 1980).

Linkek

Kimberling, Clark (1995), A Zeckendorf-tömb megegyezik a Wythoff-tömbbel , Fibonacci Quarterly 33 (1): 3–8 , < http://www.fq.math.ca/Scanned/33-1/kimberling.pdf > .
Morrison, DR (1980), A Stolarsky array of Wythoff pairs , A Collection of Manuscripts Related to the Fibonacci Sequence , Santa Clara, Kalifornia: The Fibonacci Association, p. 134–136 , < http://www.math.ucsb.edu/~drm/papers/stolarsky.pdf > Archiválva : 2016. március 4., a Wayback Machine -nél .
Stolarsky, KB (1977), Általánosított Fibonacci-sorozatok halmaza úgy, hogy minden természetes szám pontosan egyhez tartozik , Fibonacci Quarterly Vol . 15 (3): 224 , < http://www.fq.math.ca/Scanned/15 -3/stolarsky.pdf > .

Külső linkek

Weisstein, Eric W. Wythoff Array (angol) a Wolfram MathWorld webhelyén .