Dirichlet sor

Dirichlet közelében az űrlap sorának nevezik

\sum _{{n=1}}^{{\infty }}{\frac {a_{n}}{n^{s}}},

ahol s és a n komplex számok , n = 1, 2, 3, … .

Egy Dirichlet-sor konvergenciájának abszcisszája olyan szám , hogy amikor konvergál; az abszolút konvergencia abszcisszája olyan szám , amely a sorozatra abszolút konvergál . Bármely Dirichlet sorozatra érvényes a reláció (ha és végesek). $\sigma _{c}$ $\operátornév {Re}s>\sigma _{c}$ $\sigma _{a}$ $\operatorname {Re} s>\sigma _{a}$ $0\leqslant \sigma _{a}-\sigma _{c}\leqslant 1$ $\sigma _{c}$ $\sigma _{a}$

Ez a sorozat jelentős szerepet játszik a számelméletben . A Dirichlet-sorozat leggyakoribb példái a Riemann-zéta-függvény és a Dirichlet-L-függvény . A sor Gustav Dirichlet nevéhez fűződik .

Konvergencia különböző pontokon

Ha néhány sorozat egy összetett pontban konvergál , akkor ugyanaz a sorozat minden olyan pontban konvergál, amelyre . Ebből következik, hogy létezik olyan pont , hogy esetén a sorozat konvergál, és esetén pedig divergál. Az ilyen pontot a konvergencia abszcisszájának nevezzük. $s_{0}=\sigma _{0}+t_{0}i$ $s=\sigma +ti$ $\sigma >\sigma _{0}$ $\sigma=\sigma _{c}$ $\operátornév {Re}s>\sigma _{c}$ $\operátornév {Re}s<\sigma _{c}$

Egy sorozat abszolút konvergenciájának abszcisszája olyan pont , ahol a sorozat abszolút konvergál. Igaz, hogy a . ${\displaystyle \sum \limits _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{n^{s))))$ $\sigma _{a}$ $\operatorname {Re} s>\sigma _{a}$ $0\leqslant \sigma _{a}-\sigma _{c}\leqslant 1$

A at függvény viselkedése eltérő lehet. Edmund Landau megmutatta, hogy egy pont egyes Dirichlet-sorok esetén szinguláris, ha a konvergencia abszcisszája. $\operátornév {Re}s$ $s=\sigma _{c}$ $\sigma _{c}$

Példák

\zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s))},

hol van a Riemann zéta függvény . $\zeta (s)$

{\frac {1}{\zeta (s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n^{s}}},

ahol μ( n ) a Möbius-függvény .

{\frac {1}{L(\chi ,s)))=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)\chi (n)}{n ^{s}}},

hol van a Dirichlet L-függvény . $L(\chi ,s)$

\operatorname {Li} _{s}(z)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n^{s}}},

ahol Li s ( z ) a polilogaritmus .

harmonikus sorozat

\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k}}=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}} +{\frac {1}{4}}+\cdots +{\frac {1}{k}}+\cdots

eltér.

Sorozatok és sorok
Sorozatok	Numerikus sorozat Alapvető sorrend Lineáris ismétlődő sorozat Fibonacci számok göndör számok Faktoriális Barker sorozat de bruijn sorozat
Sorok, alap	Sor összege A sor többi része Feltételes konvergencia Váltakozó sorozatok Sor több szakasz
Számsorozat ( műveletek számsorokkal )	harmonikus sorozat Leibniz sorozat Inverz négyzetek sorozata Reciprok prímek sorozata Dirichlet sor Mercator sorozat Sor Grandi 1 - 2 + 3 - 4 + ... 1 + 2 + 3 + 4 + ...
funkcionális sorok	Taylor sorozat Laurent sorozat Fourier sorozat Trigonometrikus Fourier sorozat trigonometrikus sorozat Wiener sorozat
Egyéb sortípusok	Neumann sorozat Puiseux sor