Polilogaritmus

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2020. december 4-én felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 5 szerkesztést igényelnek .

A polilogaritmus egy speciális függvény , amelyet végtelen hatványsorként jelölünk és határozunk meg $\operátornév {Li}_{s}(z)$

\operátornév {Li}_{s}(z)=\sum _{{k=1}}^{\infty }{z^{k} \over k^{s}},

ahol s és z komplex számok , és . Más z esetén az általánosítást analitikus folytatás segítségével végezzük . $|z|<1$

Polylog magasságtérkép az összetett síkban
$\operátornév {Li}_{{-3}}(z)$
$\operátornév {Li}_{{-2}}(z)$
$\operátornév {Li}_{{-1}}(z)$
$\operátornév {Li}_{{0}}(z)$
$\operátornév {Li}_{{1}}(z)$
$\operátornév {Li}_{{2}}(z)$
$\operátornév {Li}_{{3}}(z)$

Különleges eset az, amikor . A és függvényeket dilogaritmusnak , illetve trilogaritmusnak nevezzük . Különféle rendű polilogaritmusok esetén a reláció $s=1$ $\operátornév {Li}_{{1}}(z)=-\ln(1-z)$ $\operátornév {Li}_{{2}}(z)$ $\operátornév {Li}_{{3}}(z)$

\operátornév {Li}_{{s+1}}(z)=\int _{0}^{z}{\frac {\operatorname {Li}_{s}(t)}{t}}\, {\mathrm {d}}t.

A polilogaritmus alternatív definíciói a Fermi-Dirac és a Bose-Einstein integrálok .

Privát értékek

\operátornév {Li}_{1}({\tfrac 12})=\ln 2

\operátornév {Li}_{2}({\tfrac 12})={\tfrac 1{12}}\pi ^{2}-{\tfrac 12}(\ln 2)^{2}

\operatorname {Li} _{3}({\tfrac {1}{2)))={\tfrac {1}{6}}(\ln 2)^{3}-{\tfrac {1 }{12}}\pi ^{2}\ln 2+{\tfrac {7}{8}}\,\zeta (3)\,

(hol van az Aperi állandó )

\,\zeta (3)\,

\operátornév {Li}_{{1}}(z)=-\ln(1-z)

\operátornév {Li}_{{0}}(z)={z \over 1-z}

\operátornév {Li}_{{-1}}(z)={z \over (1-z)^{2}}

\operátornév {Li}_{{-2}}(z)={z\,(1+z) \over (1-z)^{3}}

\operátornév {Li}_{{-3}}(z)={z\,(1+4z+z^{2}) \over (1-z)^{4}}

\operátornév {Li}_{{-4}}(z)={z\,(1+z)(1+10z+z^{2}) \over (1-z)^{5}}\, .

Irodalom

Abel, NH Œuvres complètes de Niels Henrik Abel − Nouvelle édition, Tome II (fr.) / Sylow, L.; Lie, S.. - Christiania [Oslo]: Grøndahl & Søn, 1881. - S. 189-193. (ezt az 1826-os kéziratot csak posztumusz adták ki.)
Abramowitz, M.; Stegun, IA Matematikai függvények kézikönyveképletekkel , grafikonokkal és matematikai táblázatokkal . - New York: Dover Publications , 1972. - ISBN 0-486-61272-4 .
Bailey, D.H.; Borwein, PB; Plouff, S. Különféle polilogaritmikus állandók gyors kiszámításáról // Számítási matematika : folyóirat. - 1997. - április ( 66. évf. , 218. sz.). - P. 903-913 . - doi : 10.1090/S0025-5718-97-00856-9 .
Bailey, DH és Broadhurst, DJ (1999. június 20.), A Seventeenth-Order Polylogathm Ladder, arΧiv : math.CA/9906134 [math.CA].
Berndt, B.C. Ramanujan's Notebooks, IV. rész (újpr.) . - New York: Springer-Verlag , 1994. - S. 323-326. - ISBN 0-387-94109-6 .
Boersma, J.; Dempsey, JP A Legendre-féle chi-függvény értékeléséről // Számítási matematika : folyóirat. - 1992. - 1. évf. 59 , sz. 199 . - 157-163 . o . - doi : 10.2307/2152987 . — .
Borwein, JM; Bradley, D. M.; Broadhurst, DJ; Lisonek, P. Több polilogaritmus speciális értékei // Transactions of the American Mathematical Society . - 2001. - Vol. 353. sz . 3 . - P. 907-941 . - doi : 10.1090/S0002-9947-00-02616-7 .
Clunie, J. A Bose-Einstein függvényekről // Proceedings of the Physical Society, Section A : folyóirat. - 1954. - 1. évf. 67 , sz. 7 . - P. 632-636 . - doi : 10.1088/0370-1298/67/7/308 .
Cohen, H.; Lewin, L.; Zagier, D. A tizenhatodik rendű polilogaritmus létra (neopr.) // Kísérleti matematika. - 1992. - T. 1 , 1. sz . - S. 25-34 . Az eredetiből archiválva : 2012. március 1.
Coxeter, HSMSchläfli és Lobatschefsky függvényei (újpr.) // Quarterly Journal of Mathematics (Oxford). - 1935. - V. 6 , 1. sz . - S. 13-29 . - doi : 10.1093/qmath/os-6.1.13 .
Cvijovic, D.; Klinowski, J. Folyamatos törtkiterjesztések a Riemann-zéta-függvényhez és a polilogaritmusokhoz // Proceedings of the American Mathematical Society : folyóirat . - 1997. - 1. évf. 125 , sz. 9 . - P. 2543-2550 . - doi : 10.1090/S0002-9939-97-04102-6 .
Cvijovic, D. A polilogaritmusfüggvény új integrál reprezentációi (angol) // Proceedings of the Royal Society (London), A sorozat : folyóirat. - 2007. - Vol. 463 , sz. 2080 . - P. 897-905 . - doi : 10.1098/rspa.2006.1794 .
Erdelyi, A .; Magnus, W.; Oberhettinger, F.; Tricomi, FG Higher Transcendental Functions, Vol. 1 (neopr.) . – New York: Krieger, 1981.
Fornberg, B.; Kölbig, KS A Jonquiére- vagy polilogaritmus-függvény összetett nullái // Számítási matematika : folyóirat. - 1975. - 1. évf. 29 , sz. 130 . - P. 582-599 . - doi : 10.2307/2005579 . — .
GNU Tudományos Könyvtár. Referencia kézikönyv (2010). Letöltve: 2010. június 13. Az eredetiből archiválva : 2012. május 14.. (határozatlan)
Gradshteyn, I. S.; Ryzhik, I.M. Integrálok , sorozatok és termékek táblázatai . — 4. - New York: Academic Press , 1980. - ISBN 0-12-294760-6 .
Guillera, J.; Sondow, J. Kettős integrálok és végtelen szorzatok néhány klasszikus állandóhoz Lerch transzcendensének analitikus folytatásai révén // The Ramanujan Journal : folyóirat. - 2008. - Vol. 16 , sz. 3 . - 247-270 . - doi : 10.1007/s11139-007-9102-0 . - arXiv : math.NT/0506319 .
Hain, RM (1992. március 25.), Klasszikus polilogaritmusok, arΧiv : alg -geom/9202022 [alg-geom].
Jahnke, E.; Emde , F. Függvénytáblázatok képletekkel és görbékkel . — 4. – New York: Dover Publications , 1945.
Jonquière, A. Note sur la série $\scriptstyle \sum _{{n=1}}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n^{s}}}$ (francia) // Bulletin de la Société Mathématique de France. - 1889. - T. 17 . - S. 142-152 .
Kolbig, KS; Mignaco, JA; Remiddi, E. A Nielsen-féle általánosított polilogaritmusokról és numerikus számításukról // BIT : napló. - 1970. - 1. évf. 10 . - P. 38-74 . - doi : 10.1007/BF01940890 .
Kirillov, AN Dilogaritmusazonosságok // Progress of Theoretical Physics Supplement : folyóirat. - 1995. - 1. évf. 118 . - P. 61-142 . - doi : 10.1143/PTPS.118.61 . - arXiv : hep-th/9408113 .
Lewin, L. Dilogaritmusok és kapcsolódó függvények (határozatlan) . – London: Macdonald, 1958.
Lewin, L. Polilogaritmusok és kapcsolódó függvények (határozatlan) . - New York: North-Holland, 1981. - ISBN 0-444-00550-1 .
Lewin, L. (szerk.). A polilogaritmusok szerkezeti tulajdonságai (neopr.) . - Providence, R.I.: Amer. Math. Soc., 1991. - V. 37. - (Matematikai felmérések és monográfiák). — ISBN 0-8218-1634-9 .
Markman, B. A Riemann Zeta függvény (határozatlan) // BIT. - 1965. - T. 5 . - S. 138-141 .
Maximon, LC The Dilogathm Function for Complex Argument (neopr.) // Proceedings of the Royal Society (London), Series A. - 2003. - V. 459 , No. 2039 . - S. 2807-2819 . - doi : 10.1098/rspa.2003.1156 .
McDougall, J.; Stoner, E. C. A Fermi-Dirac függvények számítása (neopr.) // Philosophical Transactions of the Royal Society (London), A. sorozat. - 1938. - V. 237 , No. 773 . - S. 67-104 . doi : 10.1098 / rsta.1938.0004 .
Nielsen, N. Der Eulersche Dilogarithmus und seine Verallgemeinerungen (német) // Nova Acta Leopoldina. - Halle - Lipcse, Németország: Kaiserlich-Leopoldinisch-Carolinische Deutsche Akademie der Naturforscher, 1909. - T. XC , 3. sz . - S. 121-212 .
Prudnikov, A. P.; Maricsev, OI; Brychkov, Yu.A. Integrals and Series, Vol. 3 : További speciális funkciók . - Newark, NJ: Gordon and Breach , 1990. - ISBN 2-88124-682-6 . (lásd az 1.2. szakaszt, "Az általánosított zéta-függvény, Bernoulli-polinomok, Euler-polinomok és polilogaritmusok", 23. oldal.)
Robinson, JE Megjegyzés a Bose-Einstein integrálfüggvényekhez (neopr.) // Physical Review, Series 2. - 1951. - V. 83 , No. 3 . - S. 678-679 . - doi : 10.1103/PhysRev.83.678 .
Rogers, LJ A sorozathoz kapcsolódó függvényösszeg-tételekről // Proceedings of the London Mathematical Society (2) : folyóirat. - 1907. - 1. évf. 4 , sz. 1 . - 169-189 . o . - doi : 10.1112/plms/s2-4.1.169 . $\scriptstyle \sum _{{n=1}}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n^{2}}}$
Erwin Schrodinger . Statisztikai termodinamika (neopr.) . — 2. - Cambridge, Egyesült Királyság: Cambridge University Press , 1952.
Truesdell, C. A polimerek szerkezetének elméletében előforduló függvényről // Annals of Mathematics, Series 2 : Journal. - 1945. - 1. évf. 46 , sz. 1 . - 144-157 . o . - doi : 10.2307/1969153 . — .
Vepstas, L. (2007. február), Hatékony algoritmus oszcillációs sorozatok konvergenciájának felgyorsítására, hasznos a polilogaritmus és a Hurwitz-zéta függvények kiszámításához, arΧiv : math.CA/0702243 [math.CA].
Whittaker, E.T .; Watson, GN A modern elemzés tanfolyama (határozatlan idejű) . — 4. - Cambridge, Egyesült Királyság: Cambridge University Press , 1952.
Wood, DC A polilogaritmusok számítása. Műszaki jelentés 15-92* (PS). Canterbury, Egyesült Királyság: University of Kent Computing Laboratory (1992. június). Letöltve: 2005. november 1. Az eredetiből archiválva : 2012. május 14. (határozatlan)
Zagier, D. (1989). „A dilogaritmusfüggvény a geometriában és a számelméletben”. Számelmélet és kapcsolódó témák: az 1988-as Bombay-i Ramanujan kollokviumon elhangzott előadások . Matematikai tanulmányok. 12 . Bombay: Tatai Fundamental Research Institute és Oxford University Press. pp. 231-249. ISBN 0-19-562367-3 .(A figyelemre méltó dilogaritmus néven is megjelent a Journal of Mathematical and Physical Sciences 22 (1988), 131-145. oldalában, valamint a ( Zagier 2007 ) I. fejezeteként.)
Zagier, D. A számelmélet, a fizika és a geometria határai II. A konformmezőelméletekről, a diszkrét csoportokról és a renormálásról / Cartier, P.; Julia, B.; Moussa, P.; Vanhove, P. - Berlin: Springer-Verlag , 2007. - P. 3-65. — ISBN 978-3-540-30307-7 .

Linkek

Weisstein, Eric W. Polylogathm (angol) a Wolfram MathWorld webhelyén .
Weisstein, Eric W. Dilogaritmus (angol) a Wolfram MathWorld webhelyén .