Moduláris funkció

A moduláris függvény a felső komplex félsíkon (azaz a halmazon ) definiált meromorf függvény , amely a moduláris csoport vagy egyes alcsoportjainak transzformációi során invariáns, és a parabolapontokban kielégíti a holomorfia feltételeit. A moduláris függvényeket és az azokat általánosító moduláris alakzatokat széles körben használják a számelméletben , valamint az algebrai topológiában és a húrelméletben . ${\mathbb {H}}=\{x+iy\mid y>0;x,y\in {\mathbb {R}}\}$

Formálisan a moduláris függvény egy meromorf függvény, amely kielégíti a következő feltételt:

f\left({\frac {az+b}{cz+d}}\right)=f(z)

minden mátrixhoz:

\left({\begin{array}{cc}a&b\\c&d\end{array}}\right)

moduláris csoportba tartozó . $PSL(2;\mathbb{Z})$

Moduláris forma

Egy csoport moduláris súlyozási formája egy holomorf függvény , amely kielégíti a következő feltételt: $k$ $\Gamma _{{0}}(N)$ $f\colon H\rightarrow C$

f(g\tau )=(c\tau +d)^{{k}}f(\tau )

bármely és

g={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\in \Gamma _{{0}}(N)

\tau \in H

és minden parabolapontban holomorf [1] [2] .

Legyen a felső komplex félsík: . A természetes szám mátrixcsoportja a következőképpen definiálható: $H$ $H=\left\{z\in C\mid {\mathop {{\mathrm {Im))))(z)>0\right\}$ $\Gamma _{{0}}(N)$ $N$

\Gamma _{{0}}(N)=\left\{{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\in SL_{{2}}\;{\Big \vert }\; c\equiv 0{\pmod N}\right\}

A csoport lineáris -tört transzformációk segítségével lép fel, ahol és . [3] $\Gamma _{{0}}(N)$ $H$ $g\tau ={\frac {a\tau +b}{c\tau +d)),$ $g={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\in \Gamma _{{0}}(N)$ $\tau \in H$

A moduláris formák tulajdonságai

A páratlan súlyú moduláris formák nullával egyenlőek. A súly moduláris formája (at ) az Eisenstein sorozat : $2k$ $k>1$

G_{{2k))(\tau )=\sum _{{(m,n)\in {\mathbb {Z))^{2}\backslash (0,0))){\frac {1}{ (m+n\tau )^{{2k}}}}

ahol . $z\in {\mathbb {H}}$

Hadd

g_{2}=60\sum _{{(m,n)\neq (0,0)}}(m+n\tau )^{{-4}},\qquad g_{3}=140\összeg _{{(m,n)\neq (0,0)}}(m+n\tau )^{{-6}}

— moduláris invariánsok, — moduláris diszkrimináns. Az alapvető moduláris invariáns ( j-invariáns ) meghatározásával a következőképpen: $\Delta =g_{2}^{3}-27g_{3}^{2}$

j(\tau )=1728{g_{2}^{3} \over \Delta }

az egyenlőségek teljesülnek:

g_{2}(\tau +1)=g_{2}(\tau ),\;g_{2}(-\tau ^{{-1}})=\tau ^{4}g_{2}( \tau )

\Delta (\tau +1)=\Delta (\tau ),\;\Delta (-\tau ^{{-1}})=\tau ^{{12}}\Delta (\tau )

Ezenkívül ezek a függvények kielégítik a holomorfia megfelelő tulajdonságait. Azaz - a 4 súly moduláris formája, - a 12 súly moduláris formája . Ennek megfelelően - a 12 súly moduláris formája , és - egy moduláris funkció. Ezeknek a függvényeknek fontos alkalmazásai vannak az elliptikus függvények és elliptikus görbék elméletében . $g_{2}$ $\Delta$ $g_{2}^{3}$ $j(z)$

Jegyzetek

↑ Sarnak, 1998 , p. 7.
↑ Prasolov, 1997 , p. 194.
↑ Prasolov, 1997 , p. 187.

Irodalom

Sarnak P. Moduláris formák és alkalmazásaik. - M .: FAZIS, 1998. - ISBN 5-70364029-4 .
Tom M. Apostol. Moduláris függvények és Dirichlet-sorozat a számelméletben. - New York: Springer-Verlag, 1990. - ISBN 0-387-97127-0 .
Robert A. Rankin. Moduláris formák és függvények. - Cambridge: Cambridge University Press, 1977. - ISBN 0-521-21212-X .
V.V. Prasolov, Yu.P. Szolovjov. Elliptikus függvények és algebrai egyenletek. - Factorial, 1997. - 288 p. — ISBN 5-88688-018-6 .

Linkek

JS Milne, Moduláris függvények és moduláris formák , előadás tanfolyam.