Holomorf függvény
Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2022. június 20-án felülvizsgált
verziótól ; az ellenőrzések 4 szerkesztést igényelnek .
Holomorf függvény vagy egyértékű komplex analitikus függvény (a görög ὅλος - "egész, egész" és μορφή - "forma" szóból), néha reguláris függvénynek is nevezik - egy komplex változó függvénye , amelyet a változó nyitott részhalmazán határoznak meg . komplex sík és minden pontban
differenciálható komplex .
A valós esettől eltérően ez a feltétel azt jelenti, hogy a függvény végtelenül differenciálható, és egy hozzá konvergáló Taylor-sorral ábrázolható .
A holomorf függvényeket néha analitikusnak is nevezik , bár a második fogalom sokkal tágabb, mivel egy analitikus függvény lehet többértékű , és valós számoknál is figyelembe vehető .
Definíció
Legyen egy nyitott részhalmaza, és egy komplex értékű függvény a -n . Egy függvényt holomorfnak mondunk a halmazon, ha az alábbi egyenértékű feltételek valamelyike teljesül:





- A függvénynek a halmaz minden pontjában van egy komplex deriváltja , vagyis a határértéke


- A függvény minden pontban komplex-differenciálható , azaz van olyan szám , amely a pont szomszédságában



- A függvény valós-differenciálható és a Cauchy-Riemann feltételek és minden pontban teljesülnek Itt és a vizsgált függvény valós és képzeletbeli részei.




- A függvény valós differenciálható és minden pontban , ahol .


- A függvény Taylor-sorának minden pontban nullától eltérő konvergenciasugara van, és összege valamilyen szomszédságban egyenlő -val .



- A függvény folytonos és minden zárt görbéhez integrál .


Az a tény, hogy ezek a definíciók egyenértékűek, az összetett elemzés nem triviális és igen figyelemre méltó eredménye.
Egy függvényt akkor mondunk holomorfnak egy ponton , ha holomorf valamely szomszédságában .


Egy függvényt holomorfnak nevezünk, ha a tartományában komplexen differenciálható.

Kapcsolódó definíciók
Tulajdonságok
a parciális deriváltak pedig folytonosak.
- A holomorf függvények összege és szorzata holomorf függvény, ami a differenciálás linearitásából és a Leibniz-szabály teljesüléséből következik. A holomorf függvények hányadosa is holomorf minden olyan ponton, ahol a nevező nem tűnik el.
- A holomorf függvény deriváltja ismét holomorf, tehát a holomorf függvények definíciós tartományukban végtelenül differenciálhatók.
- A holomorf függvények a Taylor sorozat minden pontjának valamely szomszédságában konvergensként ábrázolhatók .
- Bármely holomorf függvénytől megkülönböztethető annak valós és képzeletbeli része, amelyek mindegyike megoldása lesz a -beli Laplace-egyenletre . Vagyis ha holomorf függvény, akkor és harmonikus függvények .




- Ha egy holomorf függvény abszolút értéke elér egy lokális maximumot tartományának egy belső pontján, akkor a függvény állandó (feltételezzük, hogy a tartomány össze van kötve). Ebből következik, hogy a holomorf függvény abszolút értékének maximuma (és minimuma, ha nem nulla) csak a tartomány határán érhető el.
- Abban a régióban, ahol a holomorf függvény első deriváltja nem tűnik el, és a függvény univalens , konformális leképezést hajt végre .
- A Cauchy-féle integrál képlet egy régió belső pontjában lévő függvény értékét viszonyítja a régió határán lévő értékéhez.
- Algebrai szempontból a holomorf függvények halmaza egy nyílt halmazon egy kommutatív gyűrű és egy komplex lineáris tér . Ez egy lokálisan konvex topológiai vektortér, amelynek szeminormája megegyezik a kompakt részhalmazok szuprémumával .
- A Weierstrass-tétel szerint , ha egy tartományban holomorf függvények sorozata egyenletesen konvergál bármely kompakt halmazra , akkor annak összege is holomorf, deriváltja pedig az [1] sorozat parciális összegeinek deriváltjainak határa .


- Ha a tartományban nem tűnik el, akkor holomorf lesz a tartományban .




A holomorf függvények bizonyos tulajdonságai közel állnak a polinomok tulajdonságaihoz , ami azonban nem meglepő - a holomorf függvények felbonthatósága a Taylor-sorokban azt jelzi, hogy a függvények valamilyen módon korlátozó változatai a polinomoknak. Tegyük fel, hogy az algebra alaptétele szerint bármely polinomnak legfeljebb a foka lehet nulla. A holomof függvényekre hasonló állítás igaz, ami az egyediségtételből egy alternatív formában következik:
- Ha egy holomorf függvény nullák halmazának egy egyszerűen összefüggő tartományban van határpontja ebben a tartományban , akkor a függvény azonosan egyenlő nullával.
- Több valós változóból álló függvény esetén az egyes változókra vonatkozó differenciálhatóság nem elegendő ahhoz, hogy a függvény differenciálható legyen. Több összetett változóból álló függvény esetén elegendő, ha az egyes változók holomorfak, hogy a függvény holomorf legyen ( Hartogs-tétel ).
Példák
A z-ben szereplő összes polinom holomorf függvény a teljes síkon .

Továbbá holomorfok, bár nem a teljes komplex síkon, de a racionális függvények , az exponenciális függvények , a logaritmusok , a trigonometrikus függvények , az inverz trigonometrikus függvények és sok más függvényosztály, valamint az összegek, különbségek, szorzatok és részleges holomorf függvények.
Példák a nem holomorf függvényekre :

,
,
mivel egyetlen ponton sem rendelkeznek összetett származékkal. Ebben az esetben a valós tengelyre való korlátozás a valós változó analitikus függvénye lesz (mivel teljesen egybeesik a függvény korlátozásával ).


Történelem
A "holomorf funkció" kifejezést Cauchy két tanítványa , Brio ( 1817-1882 ) és Bouquet ( 1819-1895 ) vezette be , és a görög őλoς ( holos ) szavakból származik , amelyek jelentése "egész" és μorφń ( morphe ). - forma, kép . [2]
Manapság sok matematikus a "holomorf függvény" kifejezést részesíti előnyben az "analitikus függvény" helyett, mivel ez utóbbi fogalmat általánosabb esetre használják. Ezenkívül a komplex elemzés egyik fontos eredménye, hogy bármely holomorf függvény analitikus , ami nem nyilvánvaló a definícióból. Az "analitikus" kifejezést általában általánosabb esetekre használják, amikor a függvények nem feltétlenül a komplex síkon vannak megadva.
Változatok és általánosítások
Többdimenziós eset
Számos összetett változó függvényének holomorfiájának definíciója is létezik
A definícióhoz az ilyen függvények -differenciálhatóság
és -linearitás fogalmát használjuk

C-linearitás
Egy függvényt -lineárisnak nevezünk , ha a következő feltételek teljesülnek:


.

( -lineáris függvényekhez ).


- Bármely lineáris függvényhez vannak olyan sorozatok , amelyek .



- Bármely lineáris függvényhez létezik olyan sorozat , hogy .



C-differenciálhatóság
Egy függvényt -differenciálhatónak nevezünk egy pontban , ha léteznek olyan függvények , amelyek a pont szomszédságában vannak.




ahol a -lineáris (a -differenciálhatósághoz - -lineáris) függvény.




Holomorfizmus
Egy függvényt holomorfnak mondunk egy tartományban , ha -differenciálható a tartomány minden pontjának
szomszédságában .


Kvázi-analiticitás
Jegyzetek
- ↑ A. V. Domrin, A. G. Szergejev. Előadások a komplex elemzésről. Első félév. - M .: MIAN, 2004. - S. 79. - ISBN 5-98419-007-9 .
- ↑ Markushevich AI, Silverman, Richard A. (szerk.) Complex Variable függvényeinek elmélete. - M .: American Mathematical Society , 2. kiadás. — ISBN 0-8218-3780-X , [1] Archiválva : 2012. november 13. a Wayback Machine -nél .
Irodalom
- Holomorf funkció // Brockhaus és Efron enciklopédikus szótára : 86 kötetben (82 kötet és további 4 kötet). - Szentpétervár. , 1890-1907.
- Shabat BV Bevezetés a komplex elemzésbe. - M .: Nauka , 1969 . — 577 p.
- Titchmarsh E. Függvényelmélet: Per. angolról. - 2. kiadás, átdolgozva. - M .: Nauka , 1980 . — 464 p.
- Privalov II. Bevezetés egy komplex változó függvényelméletébe: Kézikönyv a felsőoktatás számára. - M. - L .: Állami Könyvkiadó, 1927 . — 316 p.
- Evgrafov M. A. Analitikai függvények. - 2. kiadás, átdolgozva. és további - M .: Nauka , 1968 . — 472 p.
- Blakey, Joseph. Egyetemi matematika (neopr.) . — 2. – London: Blackie and Sons, 1958.
Linkek
Szótárak és enciklopédiák |
|
---|
Bibliográfiai katalógusokban |
---|
|
|