Holomorf függvény

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2022. június 20-án felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 4 szerkesztést igényelnek .

Holomorf függvény vagy egyértékű komplex analitikus függvény (a görög ὅλος - "egész, egész" és μορφή - "forma" szóból), néha reguláris függvénynek is nevezik - egy komplex változó függvénye , amelyet a változó nyitott részhalmazán határoznak meg . komplex sík és minden pontban differenciálható komplex . $\mathbb {C}$

A valós esettől eltérően ez a feltétel azt jelenti, hogy a függvény végtelenül differenciálható, és egy hozzá konvergáló Taylor-sorral ábrázolható .

A holomorf függvényeket néha analitikusnak is nevezik , bár a második fogalom sokkal tágabb, mivel egy analitikus függvény lehet többértékű , és valós számoknál is figyelembe vehető .

Definíció

Legyen egy nyitott részhalmaza, és egy komplex értékű függvény a -n . Egy függvényt holomorfnak mondunk a halmazon, ha az alábbi egyenértékű feltételek valamelyike teljesül: $U$ $\mathbb {C}$ $f:U\to {\mathbb {C}}$ $U$ $U$

A függvénynek a halmaz minden pontjában van egy komplex deriváltja , vagyis a határértéke $U$ $f'(z)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(z+h)-f(z)}{h)).$
A függvény minden pontban komplex-differenciálható , azaz van olyan szám , amely a pont szomszédságában $z\in U$ $L\in \mathbb {C}$ $z$ $f(z+h)=f(z)+Lh+o(h)$
A függvény valós-differenciálható és a Cauchy-Riemann feltételek és minden pontban teljesülnek Itt és a vizsgált függvény valós és képzeletbeli részei. $z=x+iy\in U$ ${\frac {\partial u}{\partial x))={\frac {\partial v}{\partial y))$ ${\frac {\partial u}{\partial y}}=-{\frac {\partial v}{\partial x}}.$ $u(z)$ $v(z)$
A függvény valós differenciálható és minden pontban , ahol . $z\in U$ ${\frac {\partial f}{\partial {\bar {z))))=0$ ${\frac {\partial }{\partial {\bar z))}={1 \over 2}\left({\frac {\partial }{\partial x))+i{\frac {\partial }{ \partial y}}\right),$
A függvény Taylor-sorának minden pontban nullától eltérő konvergenciasugara van, és összege valamilyen szomszédságban egyenlő -val . $z\in U$ $F z)$ $z$
A függvény folytonos és minden zárt görbéhez integrál . $\int \limits _{\Gamma }\,f(z)\,dz=0$ $\Gamma \subset U$

Az a tény, hogy ezek a definíciók egyenértékűek, az összetett elemzés nem triviális és igen figyelemre méltó eredménye.

Egy függvényt akkor mondunk holomorfnak egy ponton , ha holomorf valamely szomszédságában . $f$ $z_{0}\U-ban$ $z_{0}$

Egy függvényt holomorfnak nevezünk, ha a tartományában komplexen differenciálható. $f$

Kapcsolódó definíciók

A teljes függvény olyan függvény, amely a teljes komplex síkon holomorf.
A meromorf függvény olyan függvény, amely holomorf egy tartománybanminden szinguláris pontjában pólus van . $\Omega \setminus \{{z_{i)),\;i\in I\subset {\mathbb {N}}\}$ $z_{i}$
Egy függvényt akkor mondunk holomorfnak egy kompakt halmazon , ha létezik olyan nyílt halmaz , amely holomorf a -ben . $f$ $K$ $D$ $K$ $f$ $D$

Tulajdonságok

Egy komplex függvény akkor és csak akkor holomorf, ha a Cauchy-Riemann feltételek teljesülnek $u+iv=f(x+iy)$ ${\frac {\partial u}{\partial x))={\frac {\partial v}{\partial y));\quad {\frac {\partial u}{\partial y))=-{\ frac {\partial v}{\partial x))$

a parciális deriváltak pedig folytonosak.

{\frac {\partial u}{\partial x)),\;{\frac {\partial u}{\partial y)),\;{\frac {\partial v}{\partial x)),\ ;{\frac {\partial v}{\partial y))

A holomorf függvények összege és szorzata holomorf függvény, ami a differenciálás linearitásából és a Leibniz-szabály teljesüléséből következik. A holomorf függvények hányadosa is holomorf minden olyan ponton, ahol a nevező nem tűnik el.
A holomorf függvény deriváltja ismét holomorf, tehát a holomorf függvények definíciós tartományukban végtelenül differenciálhatók.
A holomorf függvények a Taylor sorozat minden pontjának valamely szomszédságában konvergensként ábrázolhatók .
Bármely holomorf függvénytől megkülönböztethető annak valós és képzeletbeli része, amelyek mindegyike megoldása lesz a -beli Laplace-egyenletre . Vagyis ha holomorf függvény, akkor és harmonikus függvények . $\mathbb {R} ^{2}$ $f(x+iy)=u(x,\;y)+iv(x,\;y)$ $u$ $v$
Ha egy holomorf függvény abszolút értéke elér egy lokális maximumot tartományának egy belső pontján, akkor a függvény állandó (feltételezzük, hogy a tartomány össze van kötve). Ebből következik, hogy a holomorf függvény abszolút értékének maximuma (és minimuma, ha nem nulla) csak a tartomány határán érhető el.
Abban a régióban, ahol a holomorf függvény első deriváltja nem tűnik el, és a függvény univalens , konformális leképezést hajt végre .
A Cauchy-féle integrál képlet egy régió belső pontjában lévő függvény értékét viszonyítja a régió határán lévő értékéhez.
Algebrai szempontból a holomorf függvények halmaza egy nyílt halmazon egy kommutatív gyűrű és egy komplex lineáris tér . Ez egy lokálisan konvex topológiai vektortér, amelynek szeminormája megegyezik a kompakt részhalmazok szuprémumával .
A Weierstrass-tétel szerint , ha egy tartományban holomorf függvények sorozata egyenletesen konvergál bármely kompakt halmazra , akkor annak összege is holomorf, deriváltja pedig az [1] sorozat parciális összegeinek deriváltjainak határa . $D$ $D,$
Ha a tartományban nem tűnik el, akkor holomorf lesz a tartományban . $F z)$ $G$ $f^{{-1}}(z)$ $G$

A holomorf függvények bizonyos tulajdonságai közel állnak a polinomok tulajdonságaihoz , ami azonban nem meglepő - a holomorf függvények felbonthatósága a Taylor-sorokban azt jelzi, hogy a függvények valamilyen módon korlátozó változatai a polinomoknak. Tegyük fel, hogy az algebra alaptétele szerint bármely polinomnak legfeljebb a foka lehet nulla. A holomof függvényekre hasonló állítás igaz, ami az egyediségtételből egy alternatív formában következik:

Ha egy holomorf függvény nullák halmazának egy egyszerűen összefüggő tartományban van határpontja ebben a tartományban , akkor a függvény azonosan egyenlő nullával.
Több valós változóból álló függvény esetén az egyes változókra vonatkozó differenciálhatóság nem elegendő ahhoz, hogy a függvény differenciálható legyen. Több összetett változóból álló függvény esetén elegendő, ha az egyes változók holomorfak, hogy a függvény holomorf legyen ( Hartogs-tétel ).

Példák

A z-ben szereplő összes polinom holomorf függvény a teljes síkon . $\mathbb {C}$

Továbbá holomorfok, bár nem a teljes komplex síkon, de a racionális függvények , az exponenciális függvények , a logaritmusok , a trigonometrikus függvények , az inverz trigonometrikus függvények és sok más függvényosztály, valamint az összegek, különbségek, szorzatok és részleges holomorf függvények.

Példák a nem holomorf függvényekre : $\mathbb {C}$

$f(z)=|z|$ ,
$f(z)=\overline {z}$ ,

mivel egyetlen ponton sem rendelkeznek összetett származékkal. Ebben az esetben a valós tengelyre való korlátozás a valós változó analitikus függvénye lesz (mivel teljesen egybeesik a függvény korlátozásával ). $f(z)=\overline {z}$ $f(z)=z$

Történelem

A "holomorf funkció" kifejezést Cauchy két tanítványa , Brio ( 1817-1882 ) és Bouquet ( 1819-1895 ) vezette be , és a görög őλoς ( holos ) szavakból származik , amelyek jelentése "egész" és μorφń ( morphe ). - forma, kép . [2]

Manapság sok matematikus a "holomorf függvény" kifejezést részesíti előnyben az "analitikus függvény" helyett, mivel ez utóbbi fogalmat általánosabb esetre használják. Ezenkívül a komplex elemzés egyik fontos eredménye, hogy bármely holomorf függvény analitikus , ami nem nyilvánvaló a definícióból. Az "analitikus" kifejezést általában általánosabb esetekre használják, amikor a függvények nem feltétlenül a komplex síkon vannak megadva.

Változatok és általánosítások

Többdimenziós eset

Számos összetett változó függvényének holomorfiájának definíciója is létezik

f\colon \mathbb {C} ^{n}\to \mathbb {C} .

A definícióhoz az ilyen függvények -differenciálhatóság és -linearitás fogalmát használjuk $\mathbb {C}$ $\mathbb {C}$

C-linearitás

Egy függvényt -lineárisnak nevezünk , ha a következő feltételek teljesülnek: $f$ $\mathbb {C}$

${\displaystyle f(z'+z'')=f(z')+f(z''),\quad z',\;z''\in \mathbb {C} ^{n))$ .
$f(\lambda z)=\lambda f(z),\quad z\in \mathbb {C} ^{n},\quad \lambda \in \mathbb {C}$

( -lineáris függvényekhez ). $\mathbb {R}$ $\lambda \in \mathbb{R}$

Bármely lineáris függvényhez vannak olyan sorozatok , amelyek . $\mathbb {R}$ $f$ $\{a_{n}\},\;\{b_{n}\}\subset \mathbb {C}$ $f=\sum _{{i=1}}^{{n}}(a_{i}z_{i}+b_{i}{\bar z}_{i})$
Bármely lineáris függvényhez létezik olyan sorozat , hogy . $\mathbb {C}$ $f$ $\{a_{n}\}\subset \mathbb {C}$ $f=\sum _{{i=1}}^{{n}}a_{i}z_{i}$

C-differenciálhatóság

Egy függvényt -differenciálhatónak nevezünk egy pontban , ha léteznek olyan függvények , amelyek a pont szomszédságában vannak. $f$ $\mathbb {C}$ $z\in \mathbb {C} ^{n}$ $l$ $o$ $z$

f(z+h)=f(z)+l(h)+o(h),\quad \lim _{{h\to 0}}{\frac {o(h)}{h}}=0 ,

ahol a -lineáris (a -differenciálhatósághoz - -lineáris) függvény. $l$ $\mathbb {C}$ $\mathbb {R}$ $\mathbb {R}$

Holomorfizmus

Egy függvényt holomorfnak mondunk egy tartományban , ha -differenciálható a tartomány minden pontjának szomszédságában . $f$ $D,$ $\mathbb {C}$

Kvázi-analiticitás

Jegyzetek

↑ A. V. Domrin, A. G. Szergejev. Előadások a komplex elemzésről. Első félév. - M .: MIAN, 2004. - S. 79. - ISBN 5-98419-007-9 .
↑ Markushevich AI, Silverman, Richard A. (szerk.) Complex Variable függvényeinek elmélete. - M .: American Mathematical Society , 2. kiadás. — ISBN 0-8218-3780-X , [1] Archiválva : 2012. november 13. a Wayback Machine -nél .

Irodalom

Holomorf funkció // Brockhaus és Efron enciklopédikus szótára : 86 kötetben (82 kötet és további 4 kötet). - Szentpétervár. , 1890-1907.
Shabat BV Bevezetés a komplex elemzésbe. - M .: Nauka , 1969 . — 577 p.
Titchmarsh E. Függvényelmélet: Per. angolról. - 2. kiadás, átdolgozva. - M .: Nauka , 1980 . — 464 p.
Privalov II. Bevezetés egy komplex változó függvényelméletébe: Kézikönyv a felsőoktatás számára. - M. - L .: Állami Könyvkiadó, 1927 . — 316 p.
Evgrafov M. A. Analitikai függvények. - 2. kiadás, átdolgozva. és további - M .: Nauka , 1968 . — 472 p.
Blakey, Joseph. Egyetemi matematika (neopr.) . — 2. – London: Blackie and Sons, 1958.

Linkek

Hazewinkel, Michiel, szerk. (2001), Analytic function , Encyclopedia of Mathematics , Springer , ISBN 978-1-55608-010-4

Szótárak és enciklopédiák

Nagy norvég
Nagy Szovjet (1 kiadás)

Bibliográfiai katalógusokban
BNF : 119819963 GND : 4025645-5 J9U : 987007562960505171 LCCN : sh85061536 NDL : 00570426 NKC : ph321880