Abszolút érték

Egy szám abszolút értéke vagy modulja (a matematikában ) egy nem negatív szám , amely informálisan szólva az origó és a közötti távolságot jelöli . Kijelölve: $x$ $x$ $|x|.$

Valós érték esetén az abszolút érték egy folytonos, darabonkénti lineáris függvény , amelyet a következőképpen definiálunk: $x$

|x|={\begin{cases}x,&x>0,\\0,&x=0,\\-x,&\ x<0.\end{cases))

Ennek a fogalomnak az általánosítása egy komplex szám modulja vagy abszolút értéke [1] . Ezt a számot a következő képlet határozza meg: $z=x+iy.$

|z|=|x+iy|={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}.

Alaptulajdonságok

Geometriai szempontból egy valós vagy komplex szám modulusa a szám és az origó közötti távolság. A matematikában széles körben elterjedt az a tény, hogy geometriailag a mennyiség a pontok és a közötti távolságot jelenti , és így használható az egyik (valós vagy összetett) mennyiség egy másikhoz való közelségének mérőszámaként - például a Cauchy meghatározásakor . határérték vagy medián [2] . $|x_{1}-x_{2}|$ $x_{1}$ $x_{2}$

Valós számok

Hatály : $(-\infty ;+\infty ).$
Tartomány : $[0;+\infty ).$
A funkció páros .
A függvény nulla kivételével mindenhol differenciálható . Egy ponton a függvény csavarodáson megy keresztül . $x=0$

Komplex számok

Definíciós tartomány: a teljes komplex sík .
Értéktartomány: $[0;+\infty ).$
A modul mint komplex függvény egyetlen ponton sem differenciálható, mivel a Cauchy-Riemann feltételek nem teljesülnek.

Algebrai tulajdonságok

Valós számok esetén a következő összefüggések érvényesek: ${\megjelenítési stílus a,b}$

$\ |x|={\sqrt {x^{2}}}=x\cdot \operátornév {sgn} x={\rm {max}}\,\{x,\,-x\}$ ( sgn a jelfüggvény);
$a\leqslant |a|;$
$-|a|\leqslant a;$
egy szám modulusának négyzete egyenlő a szám négyzetével: $|a|^{2}=a^{2}.$

Mind a valós, mind az összetett relációk esetében a következő összefüggések fordulnak elő: ${\megjelenítési stílus a,b}$

tetszőleges szám modulusa egyenlő vagy nagyobb nullával: , és akkor és csak akkor $|a| \geqslant 0$ $|a|=0$ $a=0;$
ellentétes számú modulok egyenlőek: $|{-a}|=|a|;$
két (vagy több) szám szorzatának modulusa egyenlő a moduljaik szorzatával: $|ab|=|a||b|;$
- konkrétan egy állandó pozitív tényezőt lehet kivenni a modulus előjelből: $|ab|=a|b|,\quad a>0;$
két szám osztási hányadosának modulusa egyenlő e két szám modulusának osztási hányadosával: $\left|{\frac {a}{b}}\right|={\frac {|a|}{|b|}});$
$|a+b| \leqslant |a|+|b|$ ( háromszög egyenlőtlenség );
$|ab|\leqslant |a|+|b|;$
$|a|-|b|\leqslant |a+b|;$
$|a\pm b|\geqslant {\big |}|a|-|b|{\big |};$
$|a^{k}|=|a|^{k},$ ha létezik. $a^k$

Történelem

Úgy gondolják, hogy a kifejezést Kots , Newton tanítványa javasolta használni . Leibniz is ezt a függvényt használta, amit modulnak nevezett és jelölése: mol. Az abszolút nagyság általánosan elfogadott jelölését 1841-ben Weierstrass vezette be . A komplex számok esetében ezt a fogalmat Cauchy és Argan vezette be a 19. század elején.

Programozási nyelveken

Mivel ezt a függvényt meglehetősen egyszerűen számítják ki (nevezetesen összehasonlítások és hozzárendelések segítségével), általában minden programozási nyelvben szerepel a szabványos függvénylistában . Például a Pascal az abs(x) függvényt, míg a C a fabs(x) függvényt használja a valós típushoz . In Wolfram Mathematica: Abs[x].

Általánosítás

Az abszolút érték fogalma bevezethető tetszőleges rendezett gyűrűbe vagy rendezett mezőbe , és tulajdonságai hasonlóak lesznek a fent megadottakhoz.

A modul fogalmának általánosítása egy többdimenziós vektortér elemének normájának tekinthető , amelyet jelöl . Egy vektor normáját az euklideszi térben néha modulusnak is nevezik. A számok közötti különbség modulusával analóg módon a két vektor közötti különbség normája a köztük lévő közelség mértéke. A szám modulusától eltérően a vektor normája többféleképpen definiálható, de egydimenziós tér esetén a vektor normája arányos (gyakran egyenlő) egyetlen koordinátájának modulusával. $\|x\|$

Lásd még

Jegyzetek

↑ Matematikai enciklopédia (5 kötetben) . - M . : Szovjet Enciklopédia , 1982. - T. 1.
↑ A medián definíciója olyan számként (pontként), amely minimálisra csökkenti a távolságok összegét egy bizonyos halmazhoz . (határozatlan)

Szótárak és enciklopédiák	Nagy orosz Nagy Szovjet (1 kiadás) Nagy Szovjet (1 kiadás) Műszaki (1 kiadás) Britannica (online)