Összetett szám

Komplex számok ( lat. komplexusból - összefüggés, kombináció [1] ; a kettős hangsúlyt lásd a [K 1] jegyzetben ) - olyan formájú számok, ahol - valós számok , - képzetes egység [2] , vagyis olyan szám, amelyre az egyenlőség igaz: A komplex számok halmazát általában szimbólummal jelöljük A valós számok a komplex számok speciális esetének tekinthetők, alakjuk van A fő tulajdonsága , hogy az algebra főtétele teljesül benne , azaz , minden ( ) fokú polinomnak vannak gyökei . Bebizonyosodott , hogy a komplex számok rendszere logikailag konzisztens [K 2] . $a+bi,$ $a,b$ $én$ $i^{2}=-1.$ $\mathbb {C} .$ $a+0i.$ $\mathbb {C}$ $n$ $n\geqslant 1$ $n$

A valós számokhoz hasonlóan a komplex számokhoz az összeadás , kivonás , szorzás és osztás műveletei is meg vannak határozva . A komplex számok sok tulajdonsága azonban eltér a valós számokétól; például nem lehet megadni, hogy két komplex szám közül melyik nagyobb vagy kisebb, mint . A komplex számokat célszerű a komplex síkon lévő pontokkal ábrázolni ; például a konjugált számok megjelenítéséhez a vízszintes tengely körüli tükrözés műveletét használjuk . A komplex számok trigonometrikus jelöléssel történő alternatív ábrázolása hasznosnak bizonyult hatványok és gyökök kiszámításához . A komplex argumentumfüggvényeket komplex elemzésben tanulmányozzuk . $a+bi$

Kezdetben a komplex számok használatának szükségessége a köbös egyenletek formális megoldása eredményeként merült fel, amelyben a Cardano képletben negatív számot kaptunk a négyzetgyök jel alatt [3] . A komplex számok tanulmányozásában nagymértékben hozzájárultak olyan matematikusok, mint Euler , aki bevezette a képzeletbeli egység általánosan elfogadott jelölését , Descartes , Gauss . A "komplex szám" kifejezést Gauss vezette be a tudományba 1831-ben [4] . $én$

A komplex számok és függvények egyedi tulajdonságait széles körben alkalmazzák számos gyakorlati probléma megoldásában a matematika, a fizika és a technológia különböző területein: a jelfeldolgozásban , a vezérléselméletben , az elektromágnesességben , az oszcillációelméletben , a rugalmasságelméletben és még sok másban [5] . A komplex síktranszformációk hasznosnak bizonyultak a térképészetben és a folyadékdinamikában . A modern fizika a világ kvantummechanikán keresztüli leírására támaszkodik, amely a komplex számok rendszerére támaszkodik.

A komplex számoknak számos általánosítása is ismert – például a kvaterniók .

Összetett aritmetika

Kapcsolódó definíciók

Bármely komplex szám két összetevőből áll [6] : $z=a+bi$

Az értéket a szám valós részének nevezik , és az ISO 31-11 és az ISO 80000-2 nemzetközi szabványok szerint vagy jelölik A forrásokban néha a gótikus szimbólum is megtalálható [7] : $a$ $z$ $\operatorname {Re} \,z$ $\operatorname {Re} (z).$ $\Re(z).$
- Ha , akkor
pusztán képzeletbeli számnak nevezzük . Ehelyett általában egyszerűen írják.Egyes forrásokban az ilyen számokat egyszerűen képzeletbelinek nevezik , más forrásokban [8] viszont minden olyan komplex számot , amelyben képzeletbelinek nevezhető , ezért az imaginárius szám kifejezés nem egyértelmű, ezért nem ajánlott hogy további magyarázat nélkül használja. $a=0$ $z$ $0+bi$ $bi.$ $z=a+bi,$ $b\neq 0.$

Az értéket a szám képzeletbeli részének nevezik , és az ISO 31-11 és az ISO 80000-2 nemzetközi szabványok szerint vagy jelölik a forrásokban a gótikus szimbólumot néha [9] :

b

z

\operátornév {Im} \,z

\operatorname {Im} (z).

\Im (z).

Ha , akkor valós

szám . Ehelyett általában egyszerűen azt írják, hogy például a komplex nullát egyszerűen jelölik

b=0

z

a+0i

a.

0+0i

0.

A komplex száma számPéldáulegy szám ellentéte a szám $z=a+bi$ $-z=-a-bi.$ $1-2i$ $-1+2i.$

A valós számokkal ellentétben a komplex számokat nem lehet több/kevesebb értékkel összehasonlítani ; bebizonyosodott, hogy nincs mód a valós számok sorrendjének kiterjesztésére az összes komplex számra oly módon, hogy a sorrend összhangban legyen az aritmetikai műveletekkel (például úgy, hogy a -tól következik ). A komplex számok azonban összehasonlíthatók egyenlő/nem egyenlő értékkel [6] : $a<b$ $a+c<b+c$

$a+bi=c+di$ azt jelenti, hogy és (két komplex szám akkor és csak akkor egyenlő, ha valós és képzetes részeik egyenlőek). $a=c$ $b=d$

A komplex számokra vonatkozó négy aritmetikai művelet (lásd alább) ugyanazokkal a tulajdonságokkal rendelkezik, mint a valós számok esetében .

Összeadás és kivonás

Komplex számok összeadásának és kivonásának definíciója [6] :

\left(a+bi\right)+\left(c+di\right)=\left(a+c\right)+\left(b+d\right)i,

\left(a+bi\right)-\left(c+di\right)=\left(ac\right)+\left(bd\right)i.

A következő táblázat [6] bemutatja az összeadás alapvető tulajdonságait bármely komplex esetén $u,v,w.$

Ingatlan	Algebrai jelölés
Kommutativitás ( hordozhatóság )	$u+v=v+u$
Aszociativitás ( kompatibilitás )	$u+(v+w)=(u+v)+w$
Nulla tulajdonság	$u+0=u$
Ellentétes elem tulajdonság	$u+(-u)=0$
Kivonás végrehajtása összeadáson keresztül	$uv=u+(-v)$

Szorzás

Határozzuk meg a komplex számok [6] szorzatát és $a+bi$ $c+di\colon$

(a+bi)\cdot (c+di)=ac+bci+adi+bdi^{2}=(ac+bdi^{2})+(bc+ad)i=(ac-bd) +(bc+ad)i.

A következő táblázat [6] bemutatja a szorzás alapvető tulajdonságait bármely komplex esetén $u,v,w.$

Ingatlan	Algebrai jelölés
Kommutativitás ( hordozhatóság )	$u\cdot v=v\cdot u$
Aszociativitás ( kompatibilitás )	$u\cdot (v\cdot w)=(u\cdot v)\cdot w$
egységtulajdon	$u\cdot 1=u$
Nulla tulajdonság	$u\cdot 0=0$
A szorzás eloszlása (distributivitása) az összeadás tekintetében	$u\cdot (v+w)=u\cdot v+u\cdot w$

A képzeletbeli egység hatványaira vonatkozó szabályok:

i^{2}=-1;\;i^{3}=-i;\;i^{4}=1;\;i^{5}=i

stb.

Vagyis bármely egész számra igaz a képlet , ahol a kifejezés azt jelenti, hogy 4-gyel való osztás után megkapjuk a maradékot . $n$ ${\displaystyle i^{n}=i^{n{\bmod {4))))$ $n{\bmod {4}}$ $n$

A komplex számokkal végzett műveletek meghatározása után a kifejezés nem formális jelölésként fogható fel, hanem a fenti összeadás és szorzás szabályai szerint összeállított kifejezésként. Ennek bemutatására bontsuk ki az összes benne szereplő változót a fenti konvenciók , valamint az összeadás és szorzás definícióját követve: $a+bi$

(a+0i)+(b+0i)\cdot (0+1i)=(a+0i)+(0+bi)=a+bi.

osztály

A komplex számot komplex számhoz konjugáltnak nevezzük ( további részletek lent ). ${\bar z}=x-iy$ $z=x+iy$

A nulla kivételével minden komplex számhoz megtalálhatja annak inverz [10] komplex számát . Ehhez szorozza meg a tört számlálóját és nevezőjét a nevező komplex konjugátumával. $a+bi,$ ${\frac {1}{a+bi}}.$ $a-bi,$

{\frac {1}{a+bi}}={\frac {a-bi}{(a+bi)(a-bi)))={\frac {a-bi}{a^{ 2}+b^{2}}}={\frac {a}{a^{2}+b^{2}}}-{\frac {b}{a^{2}+b^{2} }}én.

Határozzuk meg egy komplex szám [6] osztásának eredményét egy nem nulla számmal $a+bi$ $c+di\colon$

{\frac {a+bi}{c+di}}={\frac {\left(a+bi\right)\left(c-di\right)}{\left(c+di\right )\left(c-di\right)}}={\frac {ac+bd}{c^{2}+d^{2}}}+\left({\frac {bc-ad}{c^ {2}+d^{2}}}\jobbra)i.

A valós számokhoz hasonlóan az osztást is helyettesíthetjük úgy, hogy az osztalékot megszorozzuk az osztó reciprokával .

Egyéb műveletek

A komplex számok esetében a gyökkivonás , a hatványozás és a logaritmus is meg van határozva .

A fő különbségek a komplex számok és a valós számok között

Már említettük, hogy a komplex számokat nem lehet többre vagy kevesebbre összehasonlítani (azaz a sorrendiség nincs beállítva a komplex számok halmazán ). Egy másik különbség: minden összetett (különösen valós) együtthatójú fokú polinomnak a multiplicitást figyelembe véve pontosan összetett gyökei vannak ( Algebra alaptétele ) [11] . $n>0$ $n$

A valós számok rendszerében lehetetlen kivonni a páros fok gyökét negatív számból. Komplex számok esetén tetszőleges fokú számból kivonható a gyök, de az eredmény nem egyértelmű - a th-edik fokozat komplex gyöke egy nem nulla számból eltérő komplex értékekkel rendelkezik [12] . Lásd például az egység gyökereit . $n$ $n$

A további különbségek összetett változó függvényei .

Jegyzetek

Nem a szám az egyetlen szám, amelynek négyzete A szám is rendelkezik ezzel a tulajdonsággal. $én$ $-egy.$ $-én$

A modern tankönyvekben korábban gyakran használt kifejezés helytelennek minősül, és csak a nem negatív kifejezések megengedettek a gyök jele alatt (lásd " Aritmetikai gyök "). A hibák elkerülése érdekében a negatív értékek négyzetgyökével rendelkező kifejezést jelenleg úgy írják, és nem annak ellenére, hogy még a 19. században is elfogadhatónak tartották a jelölés második változatát [13] [14] . ${\sqrt {-1}),$ $én,$ $5+i{\sqrt {3)),$ $5+{\sqrt {-3)),$

Példa egy lehetséges hibára, amikor egy elavult bejegyzést gondatlanul használnak:

{\sqrt {-3}}\cdot {\sqrt {-3}}={\sqrt {\left(-3\right)\cdot \left(-3\right)))={\sqrt {\left(-3\right)^{2}}}={\sqrt {9}}=3.

Ez a hiba annak a ténynek köszönhető, hogy a négyzetgyök kétértelműen van definiálva (lásd alább #De Moivre képletét és a gyökök kivonását ). A modern jelöléssel ez a hiba nem fordult volna elő [14] : $-3$

\left(i{\sqrt {3}}\right)\cdot \left(i{\sqrt {3}}\right)=\left(i\cdot {\sqrt {3}}\right) ^{2}=i^{2}\cdot \left({\sqrt {3}}\right)^{2}=-3.

Geometriai ábrázolás

Komplex sík

A komplex számok egy síkon téglalap alakú koordinátarendszerrel ábrázolhatók : a szám megfelel a sík egy pontjának koordinátákkal (valamint egy sugárvektornak , amely az origót ehhez a ponthoz köti). Az ilyen síkot komplexnek nevezzük . A rajta lévő valós számok a vízszintes tengelyen helyezkednek el, a képzeletbeli egységet a függőleges tengelyen lévő egység ábrázolja; emiatt a vízszintes és a függőleges tengelyt valós , illetve képzeletbeli tengelynek nevezzük [15] . $z=x+iy$ $\left\{x,y\right\}$

Kényelmes lehet egy poláris koordináta-rendszert is figyelembe venni a komplex síkon (lásd a jobb oldali ábrát), amelyben egy pont koordinátái az origó távolsága ( [ ⇨ modul ) és a sugárvektor szöge . a vízszintes tengellyel rendelkező pont ( argumentum ). $r$ $\varphi$

Ebben az ábrázolásban a komplex számok összege a megfelelő sugárvektorok vektorösszegének , a számok kivonása pedig a sugárvektorok kivonásának felel meg. Komplex számok szorzásakor moduljaikat megszorozzuk, és az argumentumokat összeadjuk (ez utóbbi könnyen levezethető az Euler-képletből vagy a trigonometrikus összegképletekből ). Ha a második tényező modulusa egyenlő 1-gyel, akkor a vele való szorzás megfelel az első szám sugárvektorának a második szám argumentumával egyenlő szöggel való elforgatásának [16] . Ez a tény magyarázza a komplex reprezentáció elterjedt használatát az oszcillációelméletben , ahol a "modulus" és az "argumentum" kifejezések helyett az " amplitúdó " és a " fázis " kifejezéseket használják [17] .

Példa : A -val való szorzásegy szám sugárvektorát derékszöggel pozitív iránybaforgatja, a sugárvektor pedig a sugárvektort derékszöggel negatív irányba forgatja. $én$ $-én$

Modul

Egy komplex szám modulusa ( abszolút értéke ) a komplex sík megfelelő pontjának sugárvektorának hossza (vagy ennek megfelelően a komplex sík pontjától az origóig mért távolság). Egy komplex szám modulusát jelöljük (néha vagy ), és a [16] kifejezés határozza meg. $z=x+iy$ $\left|z\right|$ $r$ $\rho$

\left|z\right|={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}.

Ha valós szám , akkor egybeesik ennek a számnak a szó valódi értelmében vett abszolút értékével. $z$ $\left|z\right|$

Bármely komplex esetén a következő modultulajdonságok érvényesek [16] [18] : $z,z_{1},z_{2}$

1) , és csak a

\left|z\right|\geqslant 0

\left|z\right|=0

z=0;

2) ( háromszög egyenlőtlenség );

\left|z_{1}+z_{2}\right|\leqslant \left|z_{1}\right|+\left|z_{2}\right|

\left|z_{1}\cdot z_{2}\right|=\left|z_{1}\right|\cdot \left|z_{2}\right|;

négy)

\left|{\frac {z_{1}}{z_{2}}}\right|={\frac {|z_{1}|}{|z_{2}|}});

5) komplex számpár esetén a különbségük modulusa egyenlő a komplex sík megfelelő pontjai közötti távolsággal;

z_{1}

z_{2}

\left|z_{1}-z_{2}\right|

6) egy szám modulusa ennek a számnak a valós és képzetes részéhez kapcsolódik a következő összefüggésekkel:

z

-|z|\leqslant \operatorname {Re} (z)\leqslant |z|;\quad -|z|\leqslant \operatorname {Im} (z)\leqslant |z|;\quad |z| \leqslant |\operátornév {Re} (z)|+|\operátornév {Im} (z)|.

Érv

Egy nem nulla komplex szám argumentuma a megfelelő pont sugárvektora és a pozitív valós féltengely közötti szög. A szám argumentumát radiánban mérjük, és jelöli . Ebből a meghatározásból következik, hogy [16] $\varphi$ $z$ $\operatorname {Arg} \left(z\right)$

\operátornév {tg} \ \varphi ={\frac {y}{x));\quad \cos \varphi ={\frac {x}{\left|z\right|));\quad \ sin \varphi ={\frac {y}{\left|z\right|}}.

Komplex nulla esetén az argumentum értéke nincs megadva, nullától eltérő szám esetén az argumentum legfeljebb -ig van definiálva , ahol bármely egész szám. Az argumentum fő értéke akkora érték , hogy a fő érték jelölhető [19] . $z$ $2\pi k$ $k$ $\varphi$ $-\pi <\varphi \leqslant \pi .$ $\operatorname {arg} \left(z\right)$

Az argumentum néhány tulajdonsága [18] :

1) a fordított szám argumentuma előjelben különbözik az eredeti argumentumától:

\operátornév {Arg} \left({\frac {1}{z}}\right)=-\operatorname {Arg} \left(z\right);

2) a szorzat argumentuma egyenlő a tényezők argumentumainak összegével:

\operátornév {Arg} (z_{1}z_{2})=\operátornév {Arg} (z_{1})+\operátornév {Arg} (z_{2});

3) az osztásból származó hányados argumentuma egyenlő az osztalék és az osztó argumentuma közötti különbséggel:

\operátornév {Arg} {\frac {z_{1}}{z_{2}}}=\operátornév {Arg} (z_{1})-\operátornév {Arg} (z_{2}).

Konjugált számok

Ha a komplex szám egyenlő, akkor a számot konjugáltnak (vagy komplex konjugáltnak) nevezzük (és jelöléssel is ). A komplex síkon a konjugált számokat a valós tengely körüli tükörtükrözéssel kapjuk meg egymástól . A konjugált szám modulusa megegyezik az eredetivel, és argumentumaik előjelben különböznek [20] : $z$ $x+iy,$ ${\bar z}=x-iy$ $z$ $z^{*}$

$\left|{\bar {z}}\right|=\left|z\right|;\quad \operátornév {Arg} ({\bar {z)))=-\operátornév {Arg} (z ).$

A konjugátumra való átmenet egyhelyes műveletnek tekinthető, amely megőrzi az összes aritmetikai és algebrai tulajdonságot. Ez a művelet a következő tulajdonságokkal rendelkezik [20] :

$z={\bar {z))$ akkor és csak akkor, ha valós szám. $z$
${\bar {{\bar {z))))=z$ (a konjugált konjugátum az eredeti; más szóval a konjugációs művelet involúció ).

A komplex konjugált számok szorzata egy nem negatív valós szám, amely csak zérus esetén egyenlő nullával [ 18] :

$z\cdot {\bar {z}}=\left|z\right|^{2}=x^{2}+y^{2}.$

A komplex konjugált számok összege valós szám [18] :

$z+{\bar {z}}=2\operátornév {Re} \left(z\right)=2x.$

Egyéb arányok [18] :

$\operatorname {Re} \,z={\frac {z+{\bar {z))}{2));\quad \operátornév {Im} \,z={\frac {z-{\bar {z}}}{2i}}.$
${\overline {z_{1}+z_{2}}}={\bar {z}}_{1}+{\bar {z}}_{2};$
${\overline {z_{1}-z_{2}}}={\bar {z}}_{1}-{\bar {z}}_{2};$
${\overline {z_{1}\cdot z_{2}}}={\bar {z}}_{1}\cdot {\bar {z}}_{2};$
${\overline {z_{1}/z_{2}}}={\bar {z}}_{1}/{\bar {z}}_{2};$

Vagy általános formában: ahol egy tetszőleges polinom valós együtthatókkal. Különösen, ha egy komplex szám egy valós együtthatós polinom gyöke, akkor a konjugált szám a gyöke is. Ebből az következik, hogy egy ilyen polinom lényegében összetett gyökei (vagyis a nem valós gyökök) összetett konjugált párokra bomlanak [18] . ${\overline {p\left(z\right)}}=p\left({\bar {z}}\right),$ $p\left(z\right)$ $z$ $\overline{z}$

Példa

Azzal, hogy a szorzat valós szám, a komplex tört kanonikus formában fejezhető ki, vagyis megszabadulhatunk a képzeletbeli nevezőtől. Ehhez szorozza meg a számlálót és a nevezőt a nevezővel konjugált kifejezéssel [21] , például: $z{\bar {z))$

{\frac {2+5i}{3-4i}}={\frac {(2+5i)(3+4i)}{(3-4i)(3+4i)))={\frac {-14+23i}{25}}=-{\frac {14}{25}}+{\frac {23}{25}}i.

Egy komplex szám ábrázolási formái

Algebrai forma

Fentebb egy komplex szám jelölését használtuk abban a formában , ahogy egy ilyen jelölést komplex szám algebrai alakjának nevezzük . A másik két fő jelölési forma egy komplex szám poláris koordináta-rendszerbeli ábrázolásához kapcsolódik . $z$ $x+iy;$

Trigonometrikus forma

Ha egy komplex szám valós és képzetes részeit modulussal és argumentumban fejezzük ki (vagyis , , ), akkor a nulla kivételével bármely komplex szám felírható trigonometrikus formában [16] : $x$ $y$ $r=\left|z\right|$ $\varphi$ $x=r\cos \varphi$ $y=r\sin\varphi$ $z$

z=r\left(\cos \varphi +i\sin \varphi \right)

Mint fentebb említettük, a nullának nincs érve; egy nem nulla szám esetében egész többszörösig van meghatározva $\varphi$ $\varphi$ $2\pi .$

Tájékoztató forma

Az Euler - képlet [21] alapvető fontosságú a komplex elemzésben :

e^{i\varphi }=\cos \varphi +i\sin \varphi ,

ahol az Euler-szám , , a koszinusz és a szinusz , a komplex kitevő , amely közös komplex kitevő esetén a valódit folytatja. $e$ $\kötözősaláta$ $\bűn$ $e^{{i\varphi }}$

Ezt a képletet a trigonometrikus alakra alkalmazva megkapjuk a [21] komplex szám exponenciális alakját :

z=re^{i\varphi }.

Következmények

(1) Annak a kifejezésnek a modulusa, ahol a szám valós, 1.

e^{i\varphi },

\varphi

(2) – egy lényegében összetett érveléssel ezek az egyenlőségek a (komplex) koszinusz és szinusz definíciójaként szolgálhatnak .

\cos \varphi ={\frac {e^{i\varphi }+e^{-i\varphi }}{2));\quad \sin \varphi ={\frac {e^{i\ varphi }-e^{-i\varphi }}{2i}}

\varphi

Példa [22] . Ábrázoljuk a számot trigonometrikus és exponenciális formában $z=-1-{\sqrt {3}}i\colon$

|z|={\sqrt {(-1)^{2}+(-{\sqrt {3)))^{2}}}={\sqrt {1+3}}=2;

\varphi =-\pi +\operátornév {arctg} {\Bigl (}{\frac {-{\sqrt {3}}}{-1}}{\Bigr )}=-\pi +\operátornév {arctg} ({\sqrt {3}})=-{\frac {2\pi }{3}}

(mert a III koordinátanegyedben van).

z

Innen:

z=2\left(\cos {\frac {-2\pi }{3}}+i\sin {\frac {-2\pi }{3}}\right)=2e^{i{ \frac {-2\pi }{3}}}.

De Moivre képlete és a gyökerek kivonása

Ez a képlet segít egész hatványra emelni egy trigonometrikus formában ábrázolt, nullától eltérő komplex számot. De Moivre képletének alakja [12] :

z^{n}=\left[r\left(\cos \varphi +i\sin \varphi \right)\right]^{n}=r^{n}\left(\cos n\varphi +i\sin n\varphi \right),

ahol egy komplex szám modulusa és argumentuma. A modern szimbolikában Euler adta ki 1722-ben. A fenti képlet bármely egész számra érvényes , nem feltétlenül pozitív. $r$ $\varphi$ $n$

Hasonló képlet akkor is alkalmazható, ha a th-edik fok gyökeit nem nulla komplex számból számítjuk ki [21] : $n$

{\begin{alignedat}{2}z^{1/n}&=\left[r\left(\cos \left(\varphi +2\pi k\right)+i\sin \left( \varphi +2\pi k\right)\right)\right]^{1/n}=\\&={\sqrt[{n}]{r}}\left(\cos {\frac {\varphi +2\pi k}{n}}+i\sin {\frac {\varphi +2\pi k}{n}}\right),\\\end{alignedat}}

ahol k az összes egész értéket -tól -ig veszi . Ez azt jelenti, hogy egy nem nulla komplex szám th-edik gyöke létezik bármely természetes számra , és számuk egyenlő a -val . A komplex síkon, amint a képletből látható, mindezek a gyökök egy szabályos -gon csúcsai, amelyek egy sugarú körbe vannak írva, amelynek középpontja az origóban van (lásd az ábrát). $k=0$ $k=n-1$ $n$ $n,$ $n$ $n$ ${\sqrt[{n}]{r))$

A gyökér fő jelentése

Ha a Moivre-képletben a fő értékét választjuk argumentumként , akkor a gyök at at értékét a gyök fő értékének nevezzük [23] . Például egy szám fő értéke az $\varphi$ $k=0$ ${\sqrt[{3}]{2+11i))$ $2+i.$

Négyzetgyök

Egy komplex szám négyzetgyökének kivonásához ezt a számot trigonometrikus formává alakíthatja, és a Moivre-képletet használhatja a De két gyökérték tisztán algebrai ábrázolása is létezik. Ha egy szám gyöke egy számpár: ahol [24] : $n=2.$ $b\neq 0$ $a+bi$ $\pm (c+di),$

c={\sqrt {\frac {a+{\sqrt {a^{2}+b^{2)))){2))},

d=\operátornév {sgn}(b){\sqrt {\frac {-a+{\sqrt {a^{2}+b^{2)))){2))}.

Itt van a "jel" függvény , és a gyökök egy nem negatív valós szám szokásos számtani gyökerét jelölik. A képlet négyzetre emeléssel könnyen ellenőrizhető. A szám a négyzetgyök fő értéke. $\operátornév{sgn}$ $c+di$ $c+di$

Példa : aképlet négyzetgyökéhez két érték van megadva: $3+4i$ $2+i;\;-2-i.$

Történelem

Úgy tűnik, először Cardano "A nagy művészet, vagy az algebrai szabályokról" című művében (1545) említettek képzeletbeli mennyiségeket a két szám kiszámításának formális megoldásának részeként, amelyek összege egyenlő. 10-hez, a szorzat pedig 40. Erre a feladatra kapott egy másodfokú egyenletet, melynek gyökerei: és a megoldás kommentárjában ezt írta: „ezek a legösszetettebb mennyiségek haszontalanok, bár nagyon ötletesek”. és „az aritmetikai megfontolások egyre megfoghatatlanabbá válnak, és elérik a rafinált és haszontalan határt” [25] . $5+{\sqrt {-15}}$ $5-{\sqrt {-15}}.$

A képzeletbeli mennyiségek felhasználásának lehetőségét a köbegyenlet megoldásában először Bombelli (1572) írta le , ő adta meg a komplex számok összeadásának, kivonásának, szorzásának és osztásának szabályait is. Az egyenletnek van egy valós gyöke , de Cardano képletei alapján azt kapjuk , hogy Bombelli felfedezte, hogy így ezeknek a mennyiségeknek az összege adja a kívánt valós gyöket. Megjegyezte, hogy ilyen ( irreducibilis ) esetekben az egyenlet összetett gyökei mindig konjugáltak, így az összeg valós érték. Bombelli magyarázatai megalapozták a komplex számok sikeres matematikai alkalmazását [26] [25] . $x^{3}=15x+4$ $x=4,$ $x={\sqrt[{3}]{2+11i}}+{\sqrt[{3}]{2-11i}}.$ ${\sqrt[{3}]{2\pm 11i}}=2\pm i,$

Másodfokú és köbegyenletek megoldása során megjelenő kifejezések, ahol a 16-17. században Descartes javaslatára kezdték őket "képzetesnek" nevezni, aki elvetette valóságukat. A 17. század sok más kiemelkedő tudósa számára a képzeletbeli mennyiségek természete és létjogosultsága is nagyon kétségesnek tűnt. Leibniz például 1702-ben ezt írta: „Isten Lelke megtalálta a legfinomabb kiutat ebben az elemzési csodában, az eszmék világából való furcsaság, a kettős esszencia, amely a lét és a nemlét között helyezkedik el, amit képzeletbeli gyökérnek nevezünk. negatív egységből." E kétségek ellenére a matematikusok magabiztosan alkalmazták a "képzetes" számokra a valós mennyiségekre szokásos algebrai szabályokat, és helyes eredményeket kaptak [25] . $a+b{\sqrt {-1)),$ $b\neq 0,$

Sokáig nem volt világos, hogy a komplex számokkal végzett összes művelet összetett eredményhez vezet-e, vagy például egy gyökér kinyerése valami más új típusú szám felfedezéséhez vezethet. Egy adott szám gyökeinek kifejezésének problémáját Moivre (1707) és Cotes (1722) oldotta meg [27] . $n$

A képzeletbeli egység szimbólumát Euler javasolta (1777, publikáció 1794), aki a latin imaginarius szó első betűjét vette át – „képzelt”. Az összes szabványos függvényt, beleértve a logaritmust is , kiterjesztette az összetett tartományra. Euler 1751-ben azt az elképzelést is megfogalmazta, hogy a komplex számok rendszerében minden polinomnak van gyöke ( az algebra alaptétele , Euler előtt hasonló feltevéseket tett Albert Girard és René Descartes ) [28] . d'Alembert (1747) ugyanerre a következtetésre jutott , de ennek a ténynek az első szigorú bizonyítéka Gauss (1799) [26] . Gauss és 1831-ben vezette be széles körben a "komplex szám" kifejezést (korábban Lazar Carnot francia matematikus használta ugyanebben az értelemben 1803-ban, de akkor nem vált népszerűvé) [29] . $én$

A komplex számok geometriai ábrázolását, amely nagyban hozzájárult azok legalizálásához, a 18. század végén és a 19. század elején először Wessel és Argan (műveik nem keltették fel a figyelmet), majd Gauss javasolta [30]. . A komplex számok mint valós számpárok aritmetikai (standard) modelljét Hamilton konstruálta meg (The Theory of Algebraic Pairs, 1837); ez bizonyította tulajdonságaik következetességét. A "modulus", az "argumentum" és a "konjugált szám" kifejezéseket a 19. század elején Cauchy vezette be , aki jelentősen előmozdította a komplex elemzést . A 19. századtól megindult a komplex változó funkcióinak kutatásának gyors és rendkívül eredményes fejlődése. [2] [31] .

Ennek a sikeres megközelítésnek köszönhetően megkezdődött a keresés a vektorok háromdimenziós térben történő ábrázolásának módjára , hasonlóan a komplex síkhoz. Tizenöt évnyi keresés eredményeként Hamilton 1843-ban javasolta a komplex számok - kvaterniók - általánosítását , amelyet kénytelen volt nem háromdimenzióssá, hanem négydimenzióssá tenni (a háromdimenziós vektorok a kvaterniók képzeletbeli részét ábrázolták); Hamiltonnak a szorzási művelet kommutativitását is fel kellett hagynia [2] .

1893-ban Charles Steinmetz komplex számok használatát javasolta az AC elektromos áramkörök kiszámításához (lásd alább ).

Összetett függvények

Analitikai függvények

Egy változó komplex függvénye egy olyan függvény , amely a komplex sík valamely tartományában van definiálva, és ennek a tartománynak a pontjaihoz komplex értékeket rendel [32] . Példák: $w=f(z)$ $z$ $w$

w=z^{2}+z+1;\quad w=z+{\frac {1}{z)).

Minden komplex függvény két változóból álló valós függvénypárnak tekinthető: a valós és képzetes részeit definiálva. A függvényeket komplex függvény összetevőinek nevezzük. Hasonlóképpen több összetett változóból álló függvényt is definiálunk [32] . $w=f(z)=f(x+iy)$ $f(z)=u(x,\;y)+iv(x,\;y),$ $u$ $v$ $f(z).$

Egy komplex függvény grafikonon történő vizuális megjelenítése nehézkes, mivel még egy komplex változó függvényéhez is négy dimenzióra van szükség a gráfnak (kettő a definíciós tartományhoz és még kettő az értéktartományhoz). Ha a függvény értéke helyett a modulusát vesszük figyelembe, akkor a függvény kapott domborzata három dimenzióban helyezkedik el, és némi képet ad a függvény viselkedéséről [33] . $|w|=|f(z)|,$

Az összes szabványos elemzési függvény - polinom , lineáris törtfüggvény , hatványfüggvény , exponenciális , trigonometrikus függvény , inverz trigonometrikus függvény , logaritmus - kiterjeszthető a komplex síkra. Ebben az esetben ugyanazok az algebrai, differenciális és egyéb azonosságok érvényesülnek rájuk, mint a valódi eredetire [32] , például:

\sin ^{2}z+\cos ^{2}z=1;\qquad e^{u}\cdot e^{v}=e^{u+v}.

Komplex függvényeknél a határérték , a folytonosság és a derivált fogalmát ugyanúgy definiáljuk, mint a valós elemzésben, az abszolút értéket komplex modullal helyettesítve [32] .

A differenciálható komplex függvények (vagyis azok a függvények, amelyeknek deriváltjuk van) számos tulajdonsággal rendelkeznek a valódiakhoz képest [34] .

A differenciálható függvény valós és imaginárius részei harmonikus függvények , amelyeket a Cauchy-Riemann feltételek kapcsolnak össze .
Bármely komplex függvény, amely egy pont valamely környezetében differenciálható, korlátlan számú alkalommal differenciálható ezen a ponton (vagyis analitikus vagy holomorf ). $z$

Egy komplex változó függvényeinek határozott integrálja általában az integrációs úttól (vagyis a komplex sík kezdőpontjától a végpontig tartó görbe megválasztásától) függ. Ha azonban az integrálható függvény analitikus egy egyszerűen összekapcsolt tartományban , akkor ezen a tartományon belüli integrálja nem függ az útvonaltól [35] .

Komplex síktranszformációk

Bármely komplex függvény tekinthető a komplex sík transzformációjának (vagy egy komplex sík transzformációjának egy másikba). Példák:

$w=z+c$ - párhuzamos transzláció , amelyet a pont sugárvektora határoz meg $c.$
$w=uz,$ ahol egy komplex szám egységmodullal, az origó körüli elforgatás az argumentummal egyenlő szöggel $u$ $u;$
$w={\bar {z))$ egy tükörkép a valós tengely körül.

Mivel bármilyen mozgás a síkon a fenti három transzformáció kombinációja, a és függvények általános kifejezést adnak a komplex síkon való mozgásra [36] . $w=uz+c$ $w=u{\bar {z}}+c$

Egyéb lineáris transzformációk [36] :

$w=rz$ , ahol egy pozitív valós szám, megadja a nyújtást if tényezővel vagy a zsugorodási időket if $r$ $r$ $r>1,$ ${\tfrac {1}{r))$ $r<1;$
transzformációk és hol vannak tetszőleges komplex számok, definiálja a hasonlósági transzformációt ; $w=az+b$ $w=a{\bar {z}}+b,$ $a,b$
transzformáció ahol a komplex sík affin transzformációjának általános formája (amikor a transzformáció nem lesz affin, mivel a síkot egyenessé degenerálja). $w=az+b{\bar {z}}+c,$ $|a|\neq |b|,$ $|a|=|b|$

A komplex elemzésben fontos szerepet játszanak a lineáris-frakcionált transzformációk [37] :

w={\frac {az+b}{cz+d)).

Ebben az esetben (egyébként a függvény konstanssá degenerálódik). A lineáris-tört transzformáció jellegzetes tulajdonsága: a köröket és az egyeneseket körökké és egyenesekké alakítja (vagyis az úgynevezett általánosított körökké [38] [39] , amelyek magukban foglalják a „végtelen sugarú köröket” - egyeneseket ). Ebben az esetben a kör képe egyenesnek bizonyulhat, és fordítva [37] . $ad\neq bc$ $w(z)$

Más, gyakorlatilag hasznos transzformációs függvények közé tartozik: a Zsukovszkij-függvény inverziója . Az inverzió a lineáris-tört transzformációhoz hasonlóan az általánosított köröket általánosított körökké alakítja. $w=1/{\bar {z)),$

Analitikus geometria a komplex síkon

A síkfigurák tanulmányozását gyakran megkönnyíti, ha azokat a komplex síkra visszük át. A planimetria számos tétele világos és kompakt jelölést tesz lehetővé komplex számok használatával, például [40] :

Három (különböző) pont akkor és csak akkor található ugyanazon az egyenesen, ha a következő feltétel teljesül: ${\displaystyle z_{1},z_{2},z_{3))$

{\frac {z_{1}-z_{3}}{z_{2}-z_{3}}}

egy valós szám.

Négy (különböző) pont van ugyanazon az általánosított körön (körön vagy egyenesen), akkor és csak akkor, ha a következő feltétel teljesül: ${\displaystyle z_{1},z_{2},z_{3},z_{4))$

az arány valós szám.

{\frac {z_{1}-z_{3}}{z_{2}-z_{3}}}:{\frac {z_{1}-z_{4}}{z_{2}- z 4}}}

Ha egy paralelogramma három csúcsa adott : akkor a negyediket a [41] egyenlőség határozza meg : $z_{1},z_{2},z_{3},$ $z_{4}=z_{1}-z_{2}+z_{3}.$

A komplex síkon lévő egyenes paraméteres egyenlete a következő formájú: [42] :

z=ut+v,

ahol komplex számok vannak, tetszőleges valós paraméter.

u,v

u\neq 0,t

A két egyenes közötti szög és a Pontosabban, a vonalak csak akkor merőlegesek , ha egy tisztán képzeletbeli szám. Két egyenes akkor és csak akkor párhuzamos, ha van valós szám; ha valós is, akkor mindkét sor egybeesik. Minden egyenes két félsíkra vágja a komplex síkot: az egyiken pozitív, a másikon negatív a kifejezés [42] . $z=ut+v$ $z=u't+v'$ $\operatorname {arg} (u'/u).$ $u'/u$ $u'/u$ ${\megjelenítési stílus (v'-v)/u}$ $z=ut+v$ $t=\operátornév {Im} {\frac {zv}{u}}$

A középpontú és sugarú kör egyenletének rendkívül egyszerű formája van: Az egyenlőtlenség egy kör belsejét írja le ( egy nyitott kör) [42] . A köregyenlet parametrikus formája gyakran kényelmes [43] : $c$ $r$ $|zc|=r.$ $|zc|<r$ $z=c+e^{i\varphi }.$

Hely az általános algebrában, topológiában és halmazelméletben

A komplex számok halmaza egy mezőt alkot , amely a valós számok mezőjének 2. fokának véges kiterjesztése . A fő algebrai tulajdonsága , hogy algebrailag zárt , vagyis minden benne lévő polinomnak (komplex) gyöke van, és ezért , lineáris tényezőkre bomlik. Azt is mondják, hogy van a mező algebrai lezárása [44] $\mathbb {C}$ $\mathbb{R}.$ $\mathbb {C}$ $\mathbb {C}$ $\mathbb{R}.$

A komplex mező karakterisztikája nulla, a hatvány halmazként megegyezik a valós számok mezőjével, vagyis a kontinuum . A Frobenius-tétel megállapította, hogy csak két ferde mező létezik , amelyek véges kiterjesztések - a komplex számok mezője és a kvaterniók ferde mezője [45] . $\mathbb {C}$ $\mathbb {R}$

A komplex számok mezőjét nem lehet rendezett mezővé alakítani , mert egy rendezett mezőben bármely elem négyzete nem negatív, és nem létezhet benne képzeletbeli egység.

A modul tulajdonságaiból következik, hogy a komplex számok egy kétdimenziós normált tér szerkezetét alkotják a mező felett $\mathbb{R}.$

A mező végtelenül sok automorfizmust engedélyez , de ezek közül csak egy (az azonosságot nem számítva) hagyja a valós számokat a helyén [46] . $\mathbb {C}$

A és mezők az egyetlen összekapcsolt lokálisan kompakt topológiai mezők [47] . $\mathbb {R}$ $\mathbb {C}$

Néhány gyakorlati alkalmazás

A komplex számok és függvények azok a jellemzői, amelyek megkülönböztetik őket a valódiaktól, hasznosnak és gyakran nélkülözhetetlennek bizonyultak a matematikában, a természettudományokban és a technikában.

Matematika

Maguk a komplex számok alkalmazásai kiemelkedően fontosak a matematikában – különösen az algebrai számok fogalmaiban, a polinomok gyökereinek megtalálásában , a Galois-elméletben , a komplex elemzésben stb.

Egy geometriai feladat közönséges síkról összetettre való átvitelével gyakran lehetőséget kapunk megoldásának jelentős egyszerűsítésére [48] [49] .

A számelméleti (például a bikvadratikus maradékok elmélete ) és a valós matematikai analízis (például összetett vagy nem megfelelő integrálok számítása) számos összetett problémája csak komplex elemző eszközökkel oldható meg . A számelméleti felfedezések hatékony eszközének bizonyultak például a Gauss-számok, amelyek alakja egész számok [50] . A prímszámok eloszlásának tanulmányozásához a komplex Riemann zéta-függvényre volt szükség [51] . $a+bi,$ $a,b$

A valós elemzés problémáit gyakran azok összetett általánosítása tisztázza. A klasszikus példa a Taylor-kiterjesztés

{\frac {1}{1+x^{2}}}=1-x^{2}+x^{4}-x^{6}+\lpont

Ez a sorozat csak az intervallumban konvergál , bár a pontok nem speciálisak a redukált függvény számára. Világosabbá válik a helyzet, ha egy komplex változó függvényére térünk át , amelynek két szinguláris pontja van: pólusok Ennek megfelelően ez a függvény csak egységsugarú körben bővíthető sorozattá [52] . $(-1;\;1)$ $\pm 1$ $f(z)={\frac {1}{1+z^{2))},$ $\pm i.$

Lineáris differenciálegyenletek megoldásánál fontos , hogy először megtaláljuk a karakterisztikus polinom összes komplex gyökét, majd megpróbáljuk megoldani a rendszert az alapvető exponenciálisok alapján [53] . A differenciaegyenletekben egy differenciaegyenlet-rendszer karakterisztikus egyenletének összetett gyökeit használjuk hasonló célra [54] . A komplex elemzés részét képező maradékok elméletének segítségével számos összetett integrált számítanak ki zárt körvonalakon [55] .

Egy függvény tanulmányozása gyakran társul frekvenciaspektrumának komplex Fourier- vagy Laplace-transzformáció segítségével [56] .

A komplex számok számítástechnikai ábrázolását és az összetett aritmetika számítógépes támogatását a Komplex adattípus című cikk írja le .

Konformális leképezés

Mint fentebb megjegyeztük, bármely komplex függvény felfogható az egyik komplex sík egy másikba való átalakulásának. Egy sima ( analitikus ) függvénynek két jellemzője van: ha egy adott ponton a derivált nem egyenlő nullával, akkor ebben a transzformációban a nyújtási/sűrítési arány minden irányban azonos, az elforgatási szög is állandó ( konformális leképezés ) [ 57] . Ez a tény összefügg a komplex függvények széleskörű alkalmazásával a térképészetben [58] [59] és a hidrodinamikában [60] .

Kvantummechanika

A kvantummechanika alapja a komplex hullámfüggvény fogalma.A kvantumrendszerek dinamikájának leírására komplex együtthatós differenciálegyenleteket használnak, mint például a Schrödinger-egyenlet . Ezen egyenletek megoldásait egy komplex Hilbert-térben adjuk meg . A megfigyelt mennyiségeknek megfelelő operátorok hermitikusak . A helyzet- és impulzusoperátorok kommutátora egy képzeletbeli szám [61] : ${\kalap {x}}$ ${\hat {p}}_{x}$

\left[{\hat {x)),{\hat {p}}_{x}\right]={\hat {x}}{\hat {p}}_{x}-{\ hat {p}}_{x}{\hat {x}}=i\hbar

Itt van a redukált Planck -konstans , azaz ( Dirac-konstans ). $\hbar$ $h$ $h/2\pi$

A kvantummechanikában fontos szerepet játszanak a Pauli-mátrixok és a Dirac-mátrixok , amelyek némelyike összetett értékeket tartalmaz [61] .

Elektrotechnika

Mivel a váltóáram oszcillációs folyamat, célszerű komplex számokkal leírni és tanulmányozni. Az impedancia vagy a komplex ellenállás fogalmát egy elektromos áramkör reaktív elemeire is bevezetik , mint például a kapacitás és az induktivitás, - ez segít az áramkörben lévő áramok kiszámításában [62] . Tekintettel arra, hogy az elektrotechnikában hagyományosan a szimbólum az áram nagyságát jelöli, a képzeletbeli egységet ott a [63] betű jelöli . Az elektrotechnika számos területén (főleg rádiófrekvenciás és optikai) nem az áramköri áram és feszültség egyenleteinek rögzítését alkalmazzák, hanem közvetlenül a Maxwell-egyenleteket spektrális ábrázolásukban, amelyek fizikai mennyiségei adottak. a komplex síkban és a térből a térbe való átmenet során (ahol - idő , a szögfrekvencia ) a Fourier-transzformáció segítségével egyszerűbb, derivált nélküli egyenleteket kapunk [64] . $én$ $j\,$ ${\megjelenítési stílus (t,x)}$ $(\omega ,k)$ $t$ $\omega$

Logikai alapok

A valós számok területének kiterjesztése komplexekre, mint az algebrai struktúra bármely más kiterjesztése, számos kérdést vet fel, amelyek közül a fő kérdés az, hogy hogyan lehet műveleteket definiálni egy új típusú számokkal, milyen tulajdonságokkal rendelkeznek majd az új műveletek. , és (a fő kérdés), hogy megengedhető-e a bővítés, nem vezet-e feloldhatatlan ellentmondásokhoz.

Az ilyen kérdések elemzéséhez a komplex számok elméletében egy axiómakészletet kell alkotni.

Komplex számok axiomatikája

A komplex számok halmazának axiomatikájának definiálása lehetséges , ha a valós számok axiomatikus elméletére támaszkodunk . A valós számok halmazát és legalább egy –1 második hatványt tartalmazó számot tartalmazó minimális mezőként definiáljuk az imaginárius egységet . Szigorúbb értelemben a komplex számok axiómái a következők [65] [66] . $\mathbb {C}$ $\mathbb {R}$ $\mathbb {C}$

C1 : Bármely komplex szám esetén az összegük definiálva van

u,v

u+v.

C2 : Az összeadás kommutatív : Továbbá néhány axiómánál a rövidség kedvéért elhagyjuk a "bármelyikre " kitételt.

u+v=v+u.

u,v,w

C3 : Az összeadás asszociatív :

(u+v)+w=u+(v+w).

C4 : Van olyan 0 (nulla) elem, hogy

u+0=u.

C5 : Minden komplex számhoz van egy ellentétes elem

u

-u

u+(-u)=0.

C6 : Bármely komplex szám esetén a szorzatuk meg van határozva

u,v

uv.

C7 : A szorzás kommutatív :

uv=vu.

C8 : A szorzás asszociatív :

(uv)w=u(vw).

C9 : A szorzás az összeadáshoz kapcsolódik a disztributív (eloszlási) törvény szerint:

(u+v)w=uw+vw.

C10 : Van egy elem 1 (egy), amely nem egyenlő nullával, és olyan, hogy

u\cdot 1=u.

C11 : Minden nullától eltérő számhoz van egy olyan reciproka , hogy

u

u'

u\cdot u'=1.

C12 : A komplex számok halmaza a valós számok mezőjével izomorf részmezőt tartalmaz az egyszerűség kedvéért az alábbiakban ezt az almezőt ugyanazzal a betűvel jelöljük

\mathbb {C}

\mathbb{R}.

\mathbb{R}.

C13 : Van egy olyan elem ( képzetes egység ), amely

én

i^{2}+1=0.

C14 ( minimalitás axióma ): Legyen egy részhalmaz , amely: tartalmazza az imaginárius egységet és az összeadás és szorzás alatt is zárt. Aztán mindenhez passzol

M

\mathbb {C} ,

\mathbb {R}

M

\mathbb {C} .

Az összes többi tulajdonság ezekből az axiómákból következik. Az első 11 axióma azt jelenti, hogy mi alkotja a mezőt, a 12. axióma pedig azt, hogy ez a mező egy kiterjesztése . $\mathbb {C}$ $\mathbb{R}.$

A komplex számok axiomatikájának más változatai is léteznek. Például ahelyett, hogy a valós számok már megszerkesztett rendezett mezőjére hagyatkoznánk, a halmazelmélet axiomatikáját használhatjuk alapul [68] .

Konzisztencia és modellek

Egy új struktúra konzisztenciájának bizonyításának szokásos módja az axiómáinak modellezése ( értelmezése ) egy másik struktúra objektumainak felhasználásával, amelyek konzisztenciája nem kétséges. Esetünkben ezeket az axiómákat valós számok alapján kell megvalósítanunk [69] .

Szabványos modell

Tekintsük az összes lehetséges rendezett valós számpárt. Ebben a modellben minden ilyen pár egy komplex számnak felel meg [70] $(a,b)$ $a+bi.$

Ezután határozza meg a [69]-et :

párok és egyenlőnek tekintendők, ha és $(a,b)$ ${\megjelenítési stílus (c,d)}$ $a=c$ $b=d;$
összeadás : a párok összege és egy párként definiálható $(a,b)$ ${\megjelenítési stílus (c,d)}$ ${\megjelenítési stílus (a+c,b+d);}$
szorzás : párok szorzata, és egy párként definiálható $(a,b)$ ${\megjelenítési stílus (c,d)}$ $(ac-bd,ad+bc).$

Magyarázat: a szorzás bonyolultnak tűnő definíciója könnyen levezethető a relációból $i^{2}=-1\colon$

{\megjelenítési stílus (a+bi)(c+di)=(a+bi)c+(a+bi)di=ac+bci+adi+bdi^{2}=(ac-bd)+i(ad+bc ).}

Könnyen ellenőrizhető, hogy a leírt párok szerkezete egy mezőt alkot, és kielégíti a komplex számok axiómák teljes listáját. A valós számokat párokban modellezzük, amelyek egy részmezőt alkotnak , és az ilyen párokkal végzett műveletek összhangban vannak a valós számok szokásos összeadásával és szorzásával. Párosítja és megfelel a nullának és a mező egységének. Ez a módszer a Cayley-Dixon eljárás speciális esete . ${\displaystyle(a;0)}$ $\mathbb {R}$ $(0,0)$ $(1,0)$

A képzeletbeli egység egy pár , négyzete egyenlő , azaz bármely komplex szám felírható ${\megjelenítési stílus(0,1),}$ $\left(-1,\;0\right),$ $-egy.$ ${\megjelenítési stílus (a,b)=(a,0)(1,0)+(b,0)(0,1)=a(1,0)+b(0,1)=a+bi.}$

A leírt modell bizonyítja, hogy a komplex számok adott axiomatikája konzisztens. Mert ha ellentmondás lenne benne, akkor ez ennél a modellnél a valós számok alapszámításában ellentmondást jelentene, amit előzetesen konzisztensnek feltételeztünk [69] .

Mátrix modell

A komplex számok az alak valós 2×2 -es mátrixai gyűrűjének részgyűrűjeként is definiálhatók

{\begin{pmatrix}x&-y\\y&x\end{pmatrix}}

a szokásos mátrixösszeadással és szorzással [2] . A valós mértékegység megfelel

{\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix)),

képzeletbeli egység -

{\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}

Az ilyen mátrixok halmaza egy kétdimenziós vektortér . A komplex számmal való szorzás egy lineáris operátor . A bázisban a szorzás lineáris operátorát a fenti mátrix képviseli, mivel [2] : $x+iy$ $e_{1}=1,e_{2}=i$ $x+iy$

(x+iy)\cdot 1=x\cdot 1+y\cdot i;

(x+iy)\cdot i=(-y)\cdot 1+x\cdot i.

A mátrixmodell megkönnyíti a komplex számok és egy adott típusú sík lineáris transzformációi közötti kapcsolat bemutatását. Ugyanis a komplex számok és a sík forgási homotéiái között ( a pont körüli kiterjesztés és a forgatás kombinációi ) egy az egyhez megfelelés van : minden forgási homotégia a komplex síkon egy komplex számmal való szorzásként ábrázolható [71 ] .

A polinomok faktorgyűrűs modellje

Tekintsünk egy valós együtthatós polinomgyûrût , és alkossuk meg a hányadosgyûrûjét a polinom moduljára (vagy ami megegyezik, a megadott polinom által generált ideál szerint). Ez azt jelenti, hogy két -ból származó polinomot ekvivalensnek tekintünk , ha egy polinommal osztva ugyanazt a maradékot adják. Például egy polinom ekvivalens egy konstanssal , egy polinom ekvivalens lesz stb. [72] $\mathbb{R}[x]$ $x^{2}+1$ $\mathbb{R}[x]$ $x^{2}+1$ $x^{2}$ $-1,$ $x^{3}$ $-x$

Az ekvivalenciaosztályok halmaza gyűrűt alkot az azonossággal. Mivel a polinom irreducibilis , ez a tényezőgyűrű egy mező. Az imaginárius egység szerepét a polinom tölti be, hiszen négyzete (lásd fent) ekvivalens Minden ekvivalenciaosztály tartalmazza az alak maradékát (a -vel való osztásból ), amely az elmondottak ismeretében felírható mint Ezért ez a mező izomorf a komplex számok mezőjével [72] . $x^{2}+1$ $i(x)=x,$ $-egy.$ $a+bx$ $x^{2}+1$ $a+bi.$

Ezt az izomorfizmust Cauchy fedezte fel 1847-ben. Ez a megközelítés használható komplex számok általánosítására, például Clifford algebrákra [73] .

Algebrai jellemzés

Mint fentebb említettük , a komplex számok mezője algebrailag zárt , és karakterisztikus nullája van (az utolsó tulajdonságból következik, hogy racionális számok részmezőjét tartalmazza ). Ráadásul a transzcendencia bármely alapja a kontinuum számosságával rendelkezik [K 3] . Ez a három tulajdonság elegendő a komplex számok mezőjének meghatározásához a mezőizomorfizmusig – tetszőleges két, algebrailag zárt, 0 karakterisztikájú, kontinuum transzcendencia bázisú mező között van némi azonosság, amely összhangban van e mezők összeadási és szorzási műveleteivel [74] [75] [K 4] . $\mathbb {Q}$ $\mathbb {C}$ $\mathbb {Q}$

Ezzel az azonosítással más struktúrák, mint például a norma vagy a topológia , nem maradhatnak meg. Például egy -adikus számok mezőjének algebrai lezárása is kielégíti a három jelzett tulajdonságot. Az -adikus norma azonban nem arkhimédeszi , és ezért nem ekvivalens a komplex számok szokásos normájával az izomorfizmus bármely megválasztására [76] . Ezért a topológiai vektortér eltérő szerkezetét határozzák meg : a vektortér bármely elemének halmaza és annak integrál multiplicitásai diszkrét komplex esetben, kompakt esetben pedig -adic [76] . ${\overline {\mathbb {Q} }}_{p}$ $p$ $p$ $p$

Változatok és általánosítások

A komplex számok legközelebbi általánosítását 1843-ban fedezték fel. Kiderült, hogy ez a kvaterniók teste , amely a komplex számok mezőjétől eltérően három képzeletbeli egységet tartalmaz, amelyeket hagyományosan a Frobenius-tétel szerint jelölnek . valós számokból. 1919-ben kiderült, hogy mind a valós számokból származó komplex számok, mind a komplex számokból a kvaterniók előállíthatók egydimenziós megkettőzési eljárással , amelyet " Cayley-Dixon eljárásnak " is neveznek [77] . $i,j,k.$

Ennek az eljárásnak a további alkalmazásával létrejönnek az Arthur Cayley által 1845-ben, az eljárás felfedezése előtt leírt és „ Cayley-számoknak ” nevezett számok (oktonionok, oktávok). Az eljárás következő alkalmazásával kapott számokat sedenionoknak nevezzük . Annak ellenére, hogy ez az eljárás tovább ismételhető, további számú név még nem [77] .

Egyéb típusú komplex számkiterjesztések ( hiperkomplex számok ):

Biquaterniók
Hiperbolikus típusú komplex számok (kettős)
Parabola típusú komplex számok (kettős)

Jegyzetek

Hozzászólások

↑
A két lehetséges ékezetet a következő források szerint adjuk meg.
- Nagy Szovjet Enciklopédia , 3. kiadás. (1973), 12. kötet, 588. o., Komplex számok cikk .
- Szovjet Enciklopédiai Szótár (1982), 613. o., Komplex szám .
- Az orosz nyelv nehézségeinek szótárának legújabb kiadása (Rosenthal D. E., Telenkova M. A., Iris-press, 2005, 273. o.) mindkét lehetőséget jelzi: összetett (komplex) számok .
- A Great Russian Encyclopedia (2010. 14. évf.) lehetőségeket kínál: Komplex szám (691. o., szerző nincs megadva), de Komplex elemzés 2019. július 2-i archív példány a Wayback Machine -n (695. o., szerző: a az Orosz Tudományos Akadémia E. M. Chirka ).
- Az orosz nyelv helyesírási szótára (2010. 6. kiadás), az orosz nyelv grammatikai szótára, az Orosz Tudományos Akadémia orosz helyesírási szótára , szerk. V. V. Lopatina (szerk. 4., 2013) és számos más szótár lehetőséget ad: összetett és összetett (mat.) .
↑ A valós számok rendszerének konzisztenciájától függően.
↑ Vagyis algebrai kiterjesztéssel különbözik (a racionális függvények mezőjétől a hatványkontinuum változóinak halmazához ) $\mathbb {Q} (x_{i}),i\in \mathbb {R}$ $x_{i}$
↑ Mivel egy algebrailag zárt mezőre való leképezés mindig kiterjeszthető algebrai kiterjesztésre, az algebrai zárt mezők közötti izomorfizmus megállapításához elegendő egy izomorfizmust megállapítani az egyszerű részmezőik között, és egy bijekciót a transzcendenciabázisok között.

Hivatkozások

↑ Idegen szavak rövid szótára. - 7. kiadás - M . : Orosz nyelv , 1984. - S. 121. - 312 p.
↑ 1 2 3 4 5 Komplex szám // Matematikai enciklopédia (5 kötetben). - M .: Szovjet Enciklopédia , 1979. - T. 2. - S. 1007.
↑ Encyclopedia of Elementary Mathematics, 1951 , p. 227.
↑ Az elemi matematika kézikönyve, 2006 , p. 211, lábjegyzet.
↑ Az elemi matematika kézikönyve, 2006 , p. 222.
↑ 1 2 3 4 5 6 7 Algebra és matematikai elemzés, 1998 , p. 180-181.
↑ Valódi rész . Letöltve: 2018. január 16. Az eredetiből archiválva : 2018. március 31. (határozatlan)
↑ Képzelt szám // Matematikai enciklopédia (5 kötetben). - M .: Szovjet Enciklopédia , 1982. - T. 3. - S. 708.
↑ Képzelt rész . Letöltve: 2018. január 16. Az eredetiből archiválva : 2018. március 31. (határozatlan)
↑ Ahlfors Lars V., 1979 , p. 2.
↑ Matematika története, III. kötet, 1972 , p. 72.
↑ 1 2 Elemi matematika enciklopédiája, 1951 , p. 237-239.
↑ Matematika története, III. kötet, 1972 , p. 61-66.
↑ 12 csomó , Bryan. Matematikai tévedések és paradoxonok. fejezet "A paradoxon definíció szerinti megszüntetése" . - Dover Publications, 1997. - 240 p. — (Dover Matematikai Könyvek). — ISBN 978-0486296647 .
↑ Encyclopedia of Elementary Mathematics, 1951 , p. 233-234.
↑ 1 2 3 4 5 Elemi matematika enciklopédiája, 1951 , p. 234-235, 239-240.
↑ GOST R 52002-2003. Villamosmérnök. Kifejezések és alapfogalmak definíciói Archiválva : 2018. március 16. a Wayback Machine -nál . 152. bekezdés. Egy (szinuszos elektromos) áram komplex amplitúdója olyan összetett mennyiség, amelynek modulusa és argumentuma egyenlő egy adott szinuszos elektromos áram amplitúdójával, illetve kezdeti fázisával.
↑ 1 2 3 4 5 6 Ahlfors Lars V., 1979 , p. 6-10.
↑ Sveshnikov A. G., Tikhonov A. N., 1967 , p. 14-15.
↑ 1 2 Algebra és matematikai elemzés, 1998 , p. 183-1851.
↑ 1 2 3 4 Ahlfors Lars V., 1979 , p. 15-16.
↑ Solomentsev E. D., 1988 , p. 7.
↑ Weisstein, Eric W. nth Root a Wolfram MathWorld webhelyen .
↑ Ahlfors Lars V., 1979 , p. 3-4.
↑ 1 2 3 Cline Morris. Matematika. A bizonyosság elvesztése. - M . : Mir, 1984. - S. 138-139.
↑ 1 2 Stillwell D. Matematika és története. - Moszkva-Izhevsk: Számítógépes Kutatóintézet, 2004. - S. 258-266. — 530 p.
↑ Matematika története, III. kötet, 1972 , p. 57-61.
↑ Juskevics A. P. Leonard Euler. Élet és munka // Leonard Euler eszméinek fejlődése és a modern tudomány. Ült. cikkeket. — M .: Nauka, 1988. — ISBN 5-02-000002-7 . - S. 15-47.
↑ Sharp O. Egy komplex változó függvényeinek elmélete . Letöltve: 2017. november 30. (határozatlan)
↑ René Descartes. Geometria. P. Fermat és Descartes levelezésének válogatott műveinek mellékletével. - M. - L .: Gostekhizdat , 1938. - S. 233. - 297 p. - (A természettudomány klasszikusai).
↑ Glazer G.I. A matematika története az iskolában. IX-X osztályok. - M . : Oktatás, 1983. - S. 193. - 351 p.
↑ 1 2 3 4 Smirnov V.I., 2010 , p. 7-15.
↑ Bronstein, Semendyaev, 1985 , p. 360.
↑ Smirnov V.I., 2010 , p. 15-22.
↑ Sveshnikov A. G., Tikhonov A. N., 1967 , p. 44.
↑ 1 2 Zaslavsky A. A. Geometriai transzformációk. - 2. kiadás - M . : MTSNMO, 2004. - S. 58. - 86 p. — ISBN 5-94057-094-1 .
↑ 1 2 Evgrafov M. A., 1968 , p. 180-186.
↑ MAXimális :: algo :: Geometriai inverziós transzformáció . e-maxx.ru . Letöltve: 2021. május 9. Az eredetiből archiválva : 2021. május 7.. (határozatlan)
↑ E. A. Morozov, „Az általánosított Apollonius-probléma”, Matem. megvilágosodás, ser. 3, 23, Izd. MTSNMO, M., 2019, 80–111 . www.mathnet.ru _ Letöltve: 2021. május 9. Az eredetiből archiválva : 2021. május 9.. (határozatlan)
↑ Privalov I. I., 1984 , p. 43.
↑ Solomentsev E. D., 1988 , p. tíz.
↑ 1 2 3 Ahlfors Lars V., 1979 , p. 17-18.
↑ Solomentsev E. D., 1988 , p. 12.
↑ Numerical Systems, 1975 , p. 165.
↑ Encyclopedia of Elementary Mathematics, 1951 , p. 249-251.
↑ Numerical Systems, 1975 , p. 167.
↑ Topológiai mező // Matematikai enciklopédia (5 kötetben). - M . : Szovjet Enciklopédia , 1985. - T. 5. - S. 386.
↑ Komplex számok. 2012. évfolyam 9-11 ., 5. fejezet.
↑ Képzetes számok valós alkalmazásai, 1988 , p. 78.
↑ Képzetes számok valós alkalmazásai, 1988 , p. 114-124.
↑ Derbyshire, John. Egyszerű megszállottság. Bernhard Riemann és a matematika legnagyobb megoldatlan problémája. - Astrel, 2010. - 464 p. — ISBN 978-5-271-25422-2 .
↑ Privalov I. I., 1984 , p. tizennégy.
↑ Filippov A. F. Bevezetés a differenciálegyenletek elméletébe. - Szerkesztői URSS, 2004. - 240 p. — ISBN 5354004160 .
↑ Differenciaegyenlet // Matematikai enciklopédia (5 kötetben) . - M .: Szovjet Enciklopédia , 1984. - T. 4. - S. 838.
↑ Sveshnikov A. G., Tikhonov A. N., 1967 , 5. fejezet.
↑ Sveshnikov A. G., Tikhonov A. N., 1967 , 8. fejezet.
↑ Smirnov V.I., 2010 , p. 22-25.
↑ Markushevich A.I. Komplex számok és konform leképezések . - M . : Gostekhizdat, 1954. - 52 p. - (Népszerű matematikai előadások, 13. szám).
↑ Shao-Feng Bian, Hou-Pu Li. Matematikai elemzés a térképészetben számítógépes algebrarendszer segítségével . Letöltve: 2018. január 28. Az eredetiből archiválva : 2018. január 29. (határozatlan)
↑ Lavrentiev M. A., Shabat B. V. A hidrodinamika problémái és matematikai modelljeik. - M .: Nauka, 1973.
↑ 1 2 Landau, L. D., Lifshitz, E. M. Kvantummechanika (nem relativisztikus elmélet). - 6. kiadás, átdolgozott. — M.: Fizmatlit, 2004. — 800 p. - ("Elméleti fizika", III. kötet). — ISBN 5-9221-0530-2 .
↑ Képzetes számok valós alkalmazásai, 1988 , p. 132-144.
↑ Molchanov A.P., Zanadvorov P.N. Villamos- és rádiómérnöki kurzus, "Lineáris áramkörök" fejezet. - BH V. - 608 p. - ISBN 978-5-9775-0544-4 .
↑ Afonsky A. A., Dyakonov V. P. Digitális spektrum, jel- és logikai elemzők / Szerk. prof. V. P. Dyakonova. - M. : SOLON-Press, 2009. - S. 248 . - ISBN 978-5-913-59049-7 .
↑ Numerical Systems, 1975 , p. 164-165.
↑ Encyclopedia of Elementary Mathematics, 1951 , p. 227-233.
↑ Numerical Systems, 1975 , p. 166.
↑ Valós és összetett számok . Letöltve: 2018. február 13. Az eredetiből archiválva : 2021. február 6.. (határozatlan)
↑ 1 2 3 Numerikus rendszerek, 1975 , p. 167-168.
↑ Encyclopedia of Elementary Mathematics, 1951 , p. 230-233.
↑ John Stillwell. A geometria négy pillére . — Springer Science & Business Media, 2005.12.30. - S. 84-86. — 240 s. — ISBN 9780387290522 .
↑ 1 2 Faddeev D. K. Előadások az algebráról. - M. : Nauka, 1984. - S. 200-201. — 416 p.
↑ F. Brackx, R. Delanghe, H. Serras. Clifford algebrák és alkalmazásaik a matematikai fizikában: Proceedings of the Third Conference deinze, Belgium, 1993 . — Springer Science & Business Media, 2012-12-06. - S. 33. - 405 p. — ISBN 9789401120067 .
↑ David Marker. Modellelmélet: Bevezetés, ISBN 978-0-387-22734-4 . 2.2.5. javaslat. Springer Science & Business Media, 2002. Lásd még néhány magyarázatot Archivált 2018. május 14-én a Wayback Machine -nél .
↑ William Weiss és Cherie D'Mello. A modellelmélet alapjai archiválva 2018. április 13-án a Wayback Machine -nál . 7. lemma: Bármely két algebrailag zárt 0 karakterisztikus és kardinalitású mező izomorf $\aleph_1$ és egy megjegyzés utána.
↑ 1 2 p-adikus szám // Mathematical Encyclopedia (5 kötetben). - M . : Szovjet Encyclopedia , 1977. - V. 1. - P. 100. : " Ez a kiterjesztés a racionális számok mezőjének kiegészítése a nem archimédeszi értékelés tekintetében... A mező lokálisan kompakt $Q_p$ ."
↑ 1 2 Dickson, L.E. (1919), A kvaterniókról és általánosításukról, valamint a nyolc négyzettétel története, A matematika évkönyvei , Második sorozat (Matematika Évkönyvei). – T. 20 (3): 155–171, ISSN 0003-486X , DOI 10.2307/1967865

Irodalom

Balk M. B. , Balk G. D., Polukhin A. A. Képzetes számok valós alkalmazásai. - Kijev: Radianska iskola, 1988. - 255 p. — ISBN 5-330-00379-2 .
Bronshtein IN , Semendyaev KA Matematikai kézikönyv mérnököknek és középiskolásoknak . - szerk. 13. - M. : Nauka, 1985. - 544 p.
Bourbaki, N. Esszék a matematika történetéről. - M. , 1963.
Vilenkin N. Ya. , Ivashov-Musatov O. S. , Shvartsburd S. I. Algebra és matematikai elemzés a 11. osztály számára. oktatóanyag. - Szerk. 6. - M . : Oktatás, 1998. - 288 p. — ISBN 5-09-008036-4 .
Vygodsky M. Ya. Az elemi matematika kézikönyve. - M. : AST, 2006. - 509 p. — ISBN 5-17-009554-6 .
Glazkov Yu. A., Varshavsky I. K., Gaiashvili M. Ya. Komplex számok. 9-11 évfolyam. - M . : Vizsga, 2012. - 157 p. - ISBN 978-5-377-03467-4 .
Evgrafov M. A. Analitikai függvények. - 2. kiadás, átdolgozva. és további — M .: Nauka , 1968. — 472 p.
Kirillov A. A. Mi az a szám?. - M. , 1993. - 80 p. — ISBN 5-02-014942-3 .
Lavrentiev M. A. , Shabat B. V. Egy komplex változó függvényelméletének módszerei. - 4. kiadás - M .: Nauka , 1972 .
A 18. század matematikája // A matematika története / Szerk.: A. P. Juskevics , három kötetben. - M . : Nauka, 1972. - T. III.
Nechaev V. I. Numerikus rendszerek. - M . : Nevelés, 1975. - 199 p.
Privalov II. Bevezetés az összetett változó függvényeinek elméletébe. - 13. kiadás - M . : Fizmatlit, 1984. - 432 p.
Sveshnikov A. G. , Tikhonov A. N. Egy komplex változó függvényeinek elmélete. — M .: Nauka, 1967. — 304 p.
Szmirnov V. I. A felsőbb matematika kurzusa három kötetben. - Szerk. 10. - Szentpétervár. : BHV-Petersburg, 2010. - V. 3., 2. rész. — 816 p. - ISBN 978-5-9775-0087-6 .
Solomentsev ED Egy összetett változó függvényei és alkalmazásaik. - M . : Felsőiskola, 1988. - 167 p. — ISBN 5-06-003145-6 .
Elemi matematika enciklopédiája (5 kötetben). - M. : Fizmatgiz, 1951. - T. 1. - S. 160-168. — 448 p.
Ahlfors Lars V. Komplex elemzés. Bevezetés egy komplex változó analitikus függvényeinek elméletébe. - Harmadik kiadás. - Harvard Egyetem: McGraw-Hill Book Company, 1979. - 317 p. — ISBN 0-07-000657-1 .

Linkek

Glazer G. Komplex számok (1/2. rész) . „Matematika” folyóirat. - 10. szám (2001). Hozzáférés időpontja: 2017. április 18. (határozatlan)
- (2/2. rész) , "Mathematics" No. 11 (2001).
Pontryagin L. Komplex számok // Kvant . - 1982. - 3. sz .
A komplex számok képletkalkulátora Windows alatt . Hozzáférés időpontja: 2018. január 17. (határozatlan)
Etienne Gis , Jos Leys, Orellan Alvarez. A film méretei. 5. ésfejezet: Komplex számok. (Orosz)

Numerikus rendszerek
Megszámlálható készletek	Természetes számok ( ) $\scriptstyle \mathbb {N}$ Egész számok ( ) $\scriptstyle \mathbb {Z}$ Racionális ( ) $\scriptstyle \mathbb {Q}$ Algebrai ( ) $\scriptstyle {\overline {\mathbb {Q} }}$ Időszakok Kiszámítható Számtan
Valós számok és kiterjesztéseik	Igazi ( ) $\scriptstyle \mathbb {R}$ Komplex ( ) $\scriptstyle \mathbb {C}$ Quaterniók ( ) $\scriptstyle \mathbb {H}$ Cayley-számok (oktávok, oktonok) ( ) $\scriptstyle \mathbb {O}$ Sedenions ( ) $\scriptstyle \mathbb {S}$ Alternionok Dupla Hiperkomplex Szuperreális Hiperanyag szürreális
Numerikus bővítő eszközök	Cayley-Dixon eljárás Frobenius tétel Hurwitz-tétel
Egyéb számrendszerek	tőszámnevek Sorszámok (transzfinit, sorszámok) p-adic Természetfeletti számok intervallum számok
Lásd még	dupla számok Irracionális számok transzcendentális számok számsugár Biquaternion

Algebra a gyűrű felett
Méret – 2 teljesítménye	Komplex számok (2-es méret) $\mathbb {C}$ Quaterniók (4-es méret) $\mathbb {H}$ Cayley számok/oktonok/oktávok (8-as méret) $\mathbb O$ Sedenions (16-os méret) $\mathbb S$
Lásd még	Frobenius tétel Hiperkomplex szám Algebra Test képzeletbeli egység