Funkció (komplex elemzés)
Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2020. november 26-án felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzéshez 1 szerkesztés szükséges .Egy f holomorf függvény szingularitási vagy szinguláris pontja a komplex síkon egy olyan pont , amelyben ez a függvény nincs definiálva, a határértéke végtelen, vagy nincs határértéke.
A többértékű analitikai függvények esetében az elágazási pontokat is szingularitásnak tekintjük .
A szinguláris pontok két osztályozása lehetséges. Először is, a halmazuk halmazelméleti tulajdonságai alapján történő osztályozás megengedett:
- Az izolált szinguláris pont egy olyan pont, amelyhez létezik olyan kiszúrt környék , ahol ez a függvény analitikus .
- A nem izolált szinguláris pont olyan szinguláris pont, amely nem izolált. Ebben az esetben az úgynevezett speciális halmazról beszélhetünk.
A szingularitások típusai
Az elszigetelt tulajdonságok viszont három típusra oszthatók:
- Az eltávolítható szinguláris pont az a pont, ahol a függvény nincs definiálva, hanem a függvény határa, amelynél véges, illetve ezen a ponton a függvény kiterjeszthető ennek a határértéknek az értékével, és kiterjeszthető egy analitikus függvényre. ezen a ponton.
- A pólus egy olyan pont, ahol egy függvény határa végtelen. Ha egy függvényt nem a komplex síkra, hanem a Riemann-gömbre való leképezésnek tekintünk , a pólust nem szabad egyetlen pontnak sem tekinteni; lásd a meromorf függvényt .
- Az esszenciális szinguláris pont az a pont, ahol a függvény határértéke nem létezik.
Szingularitások Riemann felületeken
A szingularitások a Riemann felületeken definiált holomorf függvényeknél is számításba vehetők . Különösen, ha a z változó nem csak a komplex síkon, hanem a Riemann-gömbön is értéket vehet fel, akkor az f függvény szingularitása a végtelenben a 0 pont "szingularitásának" mértéke határozza meg. a funkciót .
