Analitikai folytatás

Az analitikus folytatás a komplex elemzésben olyan analitikus függvény , amely egybeesik egy adott függvénnyel az eredeti C tartományában , és a C - t tartalmazó D tartományban van definiálva , amely a függvény analitikus folytatása . Az analitikai folytatás mindig egyedi . $f$ $f$

A koncepciót Karl Weierstrass vezette be 1842 -ben , és ő fejlesztette ki a megfelelő technikát az ilyen bővítmények elkészítéséhez.

A holomorf függvények speciális esete a holomorf kiterjesztés .

Definíció

Egyediség

Mindenesetre analitikus folytatás nem létezik, de mindig egyedi : bármely két, ugyanabból a függvényből kibővített analitikus függvény mindig egybeesik. A holomorf függvények (az analitikus függvények speciális esete) esetében az egyediség a következő tényből származtatható: ha egy f függvény azonosan egyenlő nullával , akkor bármely kiterjesztése mindenhol nulla. Mivel a holomorf függvények lineáris teret alkotnak , ez elegendő a holomorf kiterjesztés egyediségéhez.

Építési módok

Elemi módszerek

A legelemibb függvényeknél, mint például a hatványfüggvény és az exponenciális , az analitikus folytatás szinte egyszerű. Ez annak köszönhető, hogy az analitikus folytatás ilyen esetekben egy nagyon specifikus típusú halmazból történik, amely az igazi vonal - ennek a halmaznak nincsenek összetett belső pontjai .

Bonyolultabb esetekben mesterségesebb módszereket alkalmaznak. Vegyünk például néhány Taylor -sort , amelyek körben konvergálnak , ahol ennek a sorozatnak a konvergencia sugara . Az egyik ekvivalens definíció szerint így a körben az analitikus függvényt kapjuk . Mit jelent? Ez nem jelenti azt, hogy az eredményül kapott függvényen kívül bármely ponton már ne lenne analitikus, ez jelenleg nem ismert, egyszerűen azt jelenti, hogy van egy pont , ahol a sorozat ezen a ponton eltér. Kiválaszthat azonban egy bizonyos pontot – mivel ezen a ponton a függvény analitikus, ki lehet bontani egy sorozattá, amely egy bizonyos körben konvergál . Ha az összefüggés teljesül az új konvergenciasugárra , akkor már lesznek olyan pontok, amelyek tartoznak -hoz , de nem -hez , és ebből az egyediségtétel alapján az következik, hogy az eredetileg csak -ben definiált függvényt kiterjesztjük valami nagyobb készlet, mégpedig a . Ha ez nem lehetséges, akkor a kör lesz az analitikus folytatás természetes határa . $\Delta _{a}=\{z\colon |za|<\rho \}$ $\rho$ $\Delta _{a}$ $F z)$ $\Delta _{a}$ $z_{0}\colon |z_{0}-a|=\rho$ $b\in \Delta _{a}$ $F z)$ $\Delta _{b}=\{z\colon |zb|<\theta \}$ $\theta$ $\theta >\rho -|ab|$ $\Delta _{b}$ $\Delta _{a}$ $\Delta _{a}$ $\Delta _{a}\kupa \Delta _{b}$ $\partial \Delta _{a}$

Számos speciális függvény esetében az analitikus folytatást valamilyen funkcionális egyenlet segítségével hajtják végre. Egy olyan területet veszünk, ahol ennek az egyenletnek a megoldása nyilvánvalóan analitikus, és az eredményeket egy nagyobb területre visszük át. Alapvetően a valós analízis speciális függvényeinek folytatásai készülnek ilyen módon - például a gamma-függvény és a Riemann-zéta-függvény .

Analitikus folytatás a tartományok láncolatán

Nem triviális esetekben analitikus folytatások létrehozásához az analitikus elem fogalmát használjuk .

Az és elemeket egymás analitikus folytatásának nevezzük tartományok láncán keresztül, ha van egy elemsorozat, és teljesül a következő három feltétel: $P=(G,f)$ $Q=(H,g)$ $\{\Delta \}_{1}^{n}$ $P_{k}=(G_{k},f_{k}),\,k=0,1,\pontok ,n$

$P_{0}=P,\,P_{n}=Q$ ;
A láncból tetszőleges egymást követő tartományok metszéspontja nem üres, és a lánc határozott összefüggő összetevője; $D_{k}\cap D_{{k+1}}$ $\Delta _{k}$
Az elem analitikus folytatása a halmaznak . $P_{{k+1}}$ $P_{k}$ $\Delta _{k}$

A csírát egy konvergenciakörből és egy megfelelő analitikus függvényből, egy sorozat összegéből álló analitikus elemnek tekinthetjük . Az ilyen típusú elemeknek saját nevük van - kanonikus elemek , és jelölésük van: , ahol a sorozat konvergencia köre, és az összege. Az azt meghatározó sorozatok konvergenciakörének középpontját kanonikus elem középpontjának nevezzük . $(K,f)$ $K$ $f$

Analitikus folytatás egy útvonal mentén

Ahhoz, hogy egy analitikus folytatást hozzunk létre a „diszkrét” konstrukció technikájának kifejlesztéséhez vezető úton a tartományok láncolatára vonatkozóan, átmenetet kell végrehajtani, olyan értelemben, mint a sorozatból a függvénybe való átmenet.

Tekintsünk egy kanonikus elemet , amelynek középpontja egy pont és valamilyen folytonos Jordan-görbe ( ) a tulajdonsággal . $P_{0}=(K_{0},f_{0})$ $z=z_{0}$ $\varphi (t)\colon [0;1]\ to {\mathbb C}$ $\Gamma =\varphi([0;1])$ $z_{0}=\varphi(0)$

Tegyük fel, hogy van egy olyan kanonikus elemek családja, amelyek nem nulla konvergencia sugarúak, és amelyek az elem középpontját jelentik, és egy tetszőlegesen létezik egy olyan környék (a valós egyenesen lévő szomszédságok értelmében), amely kielégíti a feltételt ; akkor, ha bármelyiknél az elem az elem azonnali folytatása , akkor az elem így analitikusan az útvonal mentén folytatódik . $\{P_{t}\}_{{t\in [0;1]}}$ $\varphi (t)$ $P_{t}$ $t_{0}\in [0;1]$ ${{\mathcal U}}_{{t_{0}}}\subset [0;1]$ $\varphi ({{\mathcal U}}_{{t_{0}}})\subset K_{{t_{0}}}$ $t\in {{\mathcal U}}_{{t_{0}}}$ $P_{t}$ $P_{{t_{0}}}}$ $P_0$ $\Gamma$

A régiók családja tetszőlegesen választható, hiszen igazolható, hogy az analitikus folytatás eredménye nem függ a régiócsalád megválasztásától.

Egy meglehetősen érdekes tulajdonságnak is van függvénye - a konvergenciakör sugara . Az útvonal mentén történő folytatás definíciójában említett család esetében a függvény a valós elemzés értelmében folyamatos lesz . $R(t)\colon [0;1]\to (0;+\infty )$ $K_{{t}}.$ $R(t)$ $[0;1]$

Tételezzük fel, hogy a kanonikus elemet az elemből a köztes elemcsaládon keresztüli analitikus folytatással kapjuk meg . Ekkor, ha a szegmens valamilyen növekvő elemsorát választjuk , ahol a körök és a fog metszi egymást, akkor az elem az elem analitikus folytatása lesz a régiók láncán keresztül . $K$ $P$ $\varphi (t)\colon [0;1]\ to {\mathbb C}$ $\{P_{t}\}_{{t\in [0;1]}}$ $0,t_{1},t_{2},\pontok ,t_{n},1$ $[0;1]$ $K_k$ $K_{{k+1}}$ $Q=P_{1}$ $P=P_{0}$ $K_{{t_{1}}},K_{{t_{2}}},\pontok ,K_{{t_{n}}}$

Az egyik legérdekesebb eredmény az analitikus folytatás homotópia-invarianciájáról szóló tétel és ennek következménye, a monodrómia tétel lesz .

Teljes elemző funkció

Az utak mentén történő analitikus folytatás apparátusának kidolgozása után az eredeti analitikus funkciótól az analitikus és kanonikus elemeken keresztül át lehet térni egy általánosabb fogalomhoz - a teljes analitikus funkcióhoz . Ez a kifejezés az összes olyan kanonikus elem halmazát jelöli, amelyet bármely kezdeti elemből az analitikus folytatás módszerével kapunk, figyelembe véve az összes lehetséges Jordan-görbét, amelyek lehetővé teszik az ilyen kiterjesztést, és az elem középpontjából erednek . $P$ $z_{0}$ $P$

Egy ilyen nagyon absztrakt fogalom belső szerkezetét tisztázza a Poincaré-Volterra-tétel , amely szerint egy teljes analitikus függvény definíciós tartományának minden pontján legfeljebb egy megszámlálható elemhalmazt tartalmazhat ezen a ponton.

A teljes analitikus függvény fogalmának jelentősége abban rejlik, hogy lehetővé teszi a szinguláris pont fogalmának általánosabb nézőpontból történő tanulmányozását . Ugyanis egy teljes analitikus függvény szinguláris pontjai egyszerűen a definíciós tartomány határának pontjai. Attól függően, hogy a függvény hogyan viselkedik e pontok közelében, meghatározzák a karakterüket.

Tekintsünk néhány szinguláris pontot egy teljes analitikai függvényhez és néhány szúrt környezetéhez , amely a definíció tartományába tartozik . Valami zárt Jordan görbét választunk . Ha egy görbe mentén végzett analitikus folytatás ugyanazt az elemet eredményezi, akkor a pontot egyértékű szinguláris pontnak nevezzük, és egyszerűen izolált szinguláris pontként értelmezzük ; ha az analitikus folytatás eredménye már egy másik elem, akkor a pontot egy többértékű karakter szinguláris pontjának , vagy elágazási pontnak nevezzük . $z_{0}$ $\mathbf {f}$ ${\pont {{\mathcal U}}}_{{z_{0}}}$ $\mathbf {f}$ $\Gamma \subset {\dot {{\mathcal U}}}_{{z_{0}}}$ $\Gamma$

Hadamard tétele

Erős sorozatokhoz

f(z)=\sum_{k=0}^\infty \alpha_k (z-z_0)^k

amelynek szinte minden együtthatója egyenlő nullával abban az értelemben, hogy a nullától eltérő együtthatók számsora kielégíti $k(i)$

\lim_{i\to\infty} \frac{k(i+1)}{k(i)} > 1 + \delta \,

bizonyos rögzített δ > 0 esetén a kör, amelynek középpontja z 0 és sugara megegyezik a konvergencia sugarával, természetes határ – az ilyen sorozat által meghatározott függvény analitikus folytatása lehetetlen a körön kívül.

Általánosítások és kapcsolódó fogalmak

Az analitikai folytatás nem csak a komplex síkon, hanem a Riemann-felületeken is szóba jöhet , és általánosabban a komplex sokaságokon is : D - nek komplex sokaságnak, C -nek pedig annak részhalmazának kell lennie. Ha C egy tartomány D -ben , és bármely C′ : C ⊂ C′ ⊂ D' tartományhoz létezik olyan függvény, amely holomorf C -n, de nem bővíthető C′ - re , akkor C -t holomorf tartománynak nevezzük . Az összetett-egydimenziós esetben minden tartomány a holomorfia tartománya, többdimenziós esetben ez nem így van.

Megfontolható az analitikus folytatás olyan C halmazokból is , amelyek nem régiók, például a valós sorból . Ebben az esetben az f függvényt kezdetben valamilyen C -t tartalmazó (függvényfüggő) nyitott halmazon definiáljuk .

Lásd még

Irodalom

Evgrafov M. A. Analitikai függvények. - 2. kiadás, átdolgozva. és további - M .: Nauka , 1968 . — 472 p.
Lavrentiev M. A. , Shabat B. V. Egy komplex változó függvényelméletének módszerei. - 4. kiadás - M .: Nauka , 1972 .
Sveshnikov A. G., Tikhonov A. N. Egy komplex változó függvényeinek elmélete. — M .: Nauka, 1967. — 304 p.
Shabat BV Bevezetés a komplex elemzésbe. - M .: Nauka , 1969 . — 577 p.