Gauss-egészek

A Gauss-egészek ( Gauss-számok , komplex egészek ) olyan komplex számok , amelyekben a valós és a képzetes részek is egész számok [1] .

Példák: . $1+2i;\quad -4+11i;\quad 4i;\quad 5;\quad 1-i$

Először Gauss vezette be a "Theory of Biquadratic Residues" (1828-1832) monográfiában [2] [3] . A Gauss-egész számok halmazát általában jelölik , ami azt a tényt tükrözi, hogy azt az egész számok halmazából kapjuk úgy, hogy hozzáadunk egy képzeletbeli egységet , és egész számokkal kombináljuk. A Gauss-számok tulajdonságai hasonlóak a közönséges egész számok tulajdonságaihoz, de vannak jelentős különbségek. ${\mathbb {Z}}[i],$ $\mathbb {Z}$ $én$

Általános tulajdonságok

Definíció és osztályozás

Formális meghatározás:

{\mathbb {Z}}[i]=\{a+bi\mid a,b\in {\mathbb {Z}}\}

A halmaz a közönséges egész számok halmazát tartalmazza, és ennek kiterjesztése [4] . A Gauss-számok összege, különbsége és szorzata Gauss-számok; ezekre, valamint egész számokra az asszociativitás , kommutativitás és disztributivitás tulajdonságai megmaradnak - az ilyen algebrai struktúrát az általános algebrában kommutatív gyűrűnek nevezik [5] . Lehetetlen a valós számok sorrendjének megfelelő sorrendet bevezetni ebben az összetett gyűrűben . ${\mathbb {Z}}[i]$ $\mathbb {Z}$

A Gauss- szám konjugáltja szintén Gauss-szám . $a+bi$ $a-bi$

Minden Gauss-szám kielégíti a másodfokú egyenletet: $z=a+bi$

(za)^{2}+b^{2}=0

Ezért a Gauss-szám egy algebrai egész szám .

Norma

A Gauss-szám normáját a modulusának négyzeteként határozzuk meg [6] : $a+bi$

N\left(a+bi\right)=a^{2}+b^{2}=(a+bi)\overline {(a+bi)}

Norm tulajdonságai [7] :

A norma csak nullára nulla. Ellenkező esetben a norma pozitív egész szám.
A konjugált számok normái megegyeznek.
Egy közönséges egész szám normája egyenlő a négyzetével.
Ha a norma páratlan, akkor alakja , azaz ha elosztjuk 4-gyel, a maradék 1. Egyetlen Gauss-számnak sem lehet formájú normája . $4n+1$ $4n+3$

A normának, akárcsak a modulnak, van egy fontos multiplikatív tulajdonsága [7] :

N(u\cdot v)=N(u)\cdot N(v)

Ebből következik [8] , hogy a gyűrű invertálható elemei ( egységosztói ) azok az elemek, amelyek normája 1, azaz . $\{1;-1;i;-i\}$

Két Gauss-számot társítottnak nevezünk, ha az egyiket úgy kapjuk meg a másikból, hogy megszorozzuk az egység osztójával. Könnyen belátható, hogy az asszociáció ekvivalencia reláció [8] . Példa: Gauss-számok és azért vannak társítva, mert: $1+i$ $1-i$

1+i=i(1-i)

Minden nullától eltérő Gauss-számhoz három tartozik. Mind a négy társított szám normája azonos.

Oszthatóságelmélet

Integrál osztás

A Gauss-számok egész osztását a szokásos módon határozzuk meg [7] :

Egy Gauss-számot oszthatónak (egésznek) mondunk egy Gauss-számmal , ha létezik egy harmadik Gauss-szám , amelyre . Megnevezés: . $u$ $v$ $q$ $u=vq$ $v\mid u$

Kiejtés: a három egyenértékű lehetőség egyike.

$u$ osztva ; $v$
$v$ oszt ; $u$
$v$ - osztó . $u$

Hagyományos kifejezéseket használnak: osztható vagy többszörös ( ), osztó ( ) és hányados ( ). A Gauss-számosztók száma mindig véges, a többszöröseinek száma végtelen. $u$ $v$ $q$

Példa: a 2 szám egyenlően osztható -vel , mert . $1+i$ $2=(1+i)(1-i)$

Minden Gauss-szám osztható egységosztókkal, így minden Gauss-számnak, kivéve az egységosztókat, legalább 8 osztója van: 4 egységosztója és 4 szorzata magával a számmal. Ezeket az osztókat triviálisnak [9] nevezzük .

Az integrál osztás tulajdonságaiban hasonló az egész számok analóg felosztásához. Néhány jellemző a Gauss-számokra [8] [7] : ${\mathbb {Z}}[i]$

Ha egy Gauss-szám egyenletesen osztható egy közönséges egész számmal, akkor a valós és a képzetes rész is osztható ezzel az egész számmal . $z$ $z$
Ha és , akkor ezek a számok társítva vannak. $u\mid v$ $v\mid u$
Ha , akkor a -hoz tartozó 3 szám bármelyike osztható a -hoz tartozó 3 szám bármelyikével . $u\mid v$ $v$ $u$
Ha osztható -vel , akkor az osztóhoz tartozó konjugált osztható az osztóhoz fűződő konjugátummal . $u$ $v\;(u=vq)$ $\overline u$ ${\overline {v}}\;({\overline {u}}={\overline {v}}{\overline {q}})$
A Gauss-szám minden osztója a normájának is osztója . $z$ $N(z)=z\cdot {\overline {z))$
A Gauss-szám normája akkor és csak akkor páros, ha ez a szám osztható -vel . $1+i$
Ha , akkor az osztalék normája a szorzóképesség miatt osztható az osztó normájával. Ahol: $v\mid u$

N\left({\frac {u}{v}}\right)={\frac {N(u)}{N(v))))

Az oszthatóság geometriai ábrázolása

Minden Gauss-számnak 4 többszöröse van ugyanazzal a normával (és ennek megfelelően ugyanazzal a modullal) - ez maga és a hozzá tartozó 3 szám, amelyeket a következő szorzással kapunk : $z$ $z$ $z$ $én$

z;\iz;\-z;\-iz

De a szám sugárvektorának 90 ° -kal az óramutató járásával ellentétes irányú elforgatásával történő szorzása a komplex síkon , és az eredmény modulusa ugyanaz lesz. Így mind a 4 szám egyenlő oldalú keresztet alkot (az ábrán pirossal kiemelve), amelynek középpontja és csúcsai a többszörösei . Ha ezt a keresztet minden irányban szekvenciálisan eltoljuk a -hoz társított 4 érték valamelyikével , egy négyzetrácsot kapunk a teljes síkon, amelynek minden csomópontja (a négyzetek csúcsai) a többszörösei . Ezzel szemben bármely többszörös egybeesik az egyik rácscsomóponttal. Az egyes rácsnégyzetek szélessége . Továbbá a rövidség kedvéért ezt a rácsot „többszörösek rácsának” (vagy, ha pontosításra van szükség, „ többszörösek rácsának ”) nevezzük. $én$ $z$ $z$ $z$ $z$ $|z|$ $z$

Példa: az ábrán az egyik rácscsomópont egy szám , amely többszöröse : $4-2i$ $1+2i$

4-2i=-2i(1+2i)

Egyszerű Gauss-számok

A prím Gauss-szám egy nem nulla szám, amelynek nincs más osztója, csak triviális. A nem prímszámot összetettnek nevezzük . Ugyanakkor az egység osztóit a természetes egységhez hasonlóan nem tekintjük sem prímszámnak, sem összetett számnak [10] .

Az egyszerű Gauss-számok néhány tulajdonsága:

Ha prím Gauss-szám, akkor ellentétes és konjugált Gauss - számai is prímszámok. $a+bi$ $-a-bi$ $a-bi$
Ha egy Gauss-prímszám osztója a Gauss-számok szorzatának, akkor osztója legalább az egyik tényezőnek.
Bármely egyszerű Gauss-szám normája, kivéve azokat, amelyekhez kapcsolódnak , mindig páratlan, ezért alakja . $1+i$ $4n+1$

A természetes prím nem biztos, hogy Gauss-prím. Például a 2-es és 5-ös számok már nem prímszámok: ${\mathbb {Z}}[i]$

2=(1+i)(1-i);\quad 5=(2+i)(2-i)

A 2 és 100 közötti normával rendelkező Gauss-számok egyszerű Gauss-tényezőkké való alakításáért lásd a Gauss-számok faktorizálása táblázatot .

Másolatszámok

Ha egy Gauss-szám osztója két Gauss-számnak és , akkor közös osztójuknak nevezzük. A két szám közös osztóinak halmaza mindig az egy 4 osztóját tartalmazza; ha nincs más közös osztó, akkor ezeket a számokat koprímnek nevezzük [11] . $w$ $u$ $v$

Vegye figyelembe, hogy ha a Gauss-számok normái egész számok, akkor maguk a számok is másodprímek Gauss-számokként. Ennek az ellenkezője nem igaz: a másodprím Gauss-számok normáinak lehetnek közös osztói – például, és másodprímek, de normáik azonosak, ezért nem másodprímek. $u,v$ $u,v$ $5+2i$ $5-2i$

Jelöljünk meg két, az egész számok tulajdonságaival analóg tulajdonságot.

Ha a két Gauss-szám mindegyike koprím egy Gauss-számmal , akkor a szorzatuk is koprím [11] -val . $u,v$ $w,$ $UV$ $w$
Ha és egyidejűleg koprím -val , akkor [12] . $z|uv$ $z$ $u$ $z|v$

Gauss-kritérium

Gauss a [13] -ban mutatott rá a prímszámok meghatározó jellemzőire . ${\mathbb {Z}}[i]$

Egy Gauss-szám akkor és csak akkor prím, ha: $a+bi$

vagy az egyik szám nulla, a másik pedig a forma prímegésze ; $a,b$ $\pm (4n+3)$
vagy mindkettő nem nulla, és a norma egy egyszerű természetes szám. $a,b$ $a^{2}+b^{2}$

Példák egyszerű Gauss-számokra:

a kritérium első részére: ; $\pm 3;\ \pm 7;\ \pm 3i$
a kritérium második részéhez: . $1\pm i;\ 1\pm 2i;\ 1\pm 4i;\ 4+5i;\ 2-3i;\ 15+22i$

A nagyobb áttekinthetőség érdekében egyes források a kritérium második részét két részre osztják [14] :

A következőhöz tartozó számok . Normájuk a 2. $1+i$
Olyan számok, amelyek normája a forma egyszerű természetes száma . $4n+1$

Maga Gauss nem végzett ilyen felosztást [15] .

Következmények:

A forma egyik természetes prímszáma sem lehet Gauss-prímszám. Az egyszerű természetes számok egyben egyszerű Gauss-számok is. $4n+1$ $4n+3$
Egy egyszerű Gauss-szám normája vagy egy egyszerű természetes szám, vagy egy egyszerű természetes szám négyzete [16] .
Egy egyszerű természetes szám ábrázolható egyszerű Gauss-számok konjugált szorzataként , vagy ami megegyezik, négyzetek összegeként . Ezt a tényt Fermat-Euler-tételként ismerik . Ennek a témakörnek, valamint a bikvadratikus maradékok elméletének tanulmányozása során Gauss sikeresen alkalmazott komplex egész számokat. Ezzel szemben, ha egy természetes prímszám természetes négyzetek összegeként ábrázolható, akkor összetett, és két konjugált Gauss-prímre bomlik [17] . $4n+1$ $(a+bi)(a-bi)$ $a^{2}+b^{2}$ ${\mathbb {Z}}[i]$
Minden Gauss-prímszám egy és csak egy természetes prímszám osztója [17] . Ez azt jelenti, hogy a természetes prímeket Gauss-tényezőkre bontva megkapjuk az összes Gauss-prímszámot.

Prime factorization

Az aritmetika főtételének van egy analógja : minden olyan Gauss-számot, amely nem nulla vagy osztója, prímtényezőkre bontják, és ez a felosztás a tényezők sorrendjéig és társulásáig egyedi [1] [18] . ${\mathbb {Z}}[i]$

Példa: . E két, látszólag eltérő bővítés tényezői páronként kapcsolódnak egymáshoz: így az egyediség nem sérül. $5=(1+2i)(1-2i)=(2-i)(2+i)$ $1+2i=i(2-i);\ 1-2i=(-i)(2+i),$

Egy Gauss-szám prímtényezőkké való gyakorlatilag faktorizálásához használhatja a fenti tulajdonságot: a Gauss-szám minden osztója egyben a normájának osztója is. Ezenkívül a norma a szám konjugátumának megfelelő "extra" prímtényezőket is tartalmaz . $z$ $z$

Tehát egy szám normájának egyszerű természetes tényezőkre való felbontásával kell kezdeni [19] . $z$

A 2-es tényező, ha jelen van a norma felbontásában, a következőképpen bontható fel . Az eredményül kapott dekompozícióba be kell vonni e tényezők közül azokat (megfelelő mértékben), amelyekkel ez teljesen fel van osztva. $(1+i)(1-i)$ $z$
A 2 kivételével a többi normatényező páratlan. A nézettényező egy egyszerű Gauss-szám, tehát nemcsak a normát osztja el , hanem önmagát is . De akkor ez a tényező is osztja a konjugált számot . Ebből az következik, hogy a forma faktora mindig egyenletes mértékben lép be a norma tágulásába, önmaga tágulásába pedig - fele akkora mértékben. $4n+3$ $N(z)=~z\overline {z}$ $z$ $\overline{z}$ $4n+3$ $z$
Az alak szorzója felbontható konjugált Gauss-prímszámok szorzatára (vagy ami megegyezik, természetes számok négyzetösszegére). És itt osztással kell kideríteni, hogy a faktorok közül melyik vonatkozik az eredeti számra, és melyik a konjugátumra. $4n+1$

Például a prímtényezőkre való bontáshoz (a norma 225) egyszerű természetes tényezőket különböztetünk meg: . Az előző szerint . Csak -vel osztható, -vel nem . Az egyenlők hányadosa tehát a végeredmény: $9+12i$ $225=3^{2}\cdot 5^{2}$ $5=(2-i)(2+i)$ $9+12i$ $2+i$ $2-i$ $9+12i$ $3(2+i)$ $2+i,$

9+12i=3\cdot (2+i)^{2}

Összehasonlítás elmélet

Gauss-összehasonlítások

A modulo-összehasonlítás fogalmát ugyanúgy definiáljuk, mint az egész számoknál [20] : ${\mathbb {Z}}[i]$

Legyen valami Gauss-szám. Két Gauss-számot összehasonlítható modulo-nak mondunk , ha a különbség osztható (egész) -vel . Felvétel: . $w$ $u,v$ $w$ $UV$ $w$ $u\equiv v{\pmod {w}}$

Az összehasonlítások tulajdonságai alapvetően megegyeznek az egész számokkal. Az összehasonlíthatósági reláció egy ekvivalenciareláció , ezért nem metsző maradékosztályokra oszlik - mindegyik ilyen osztály tartalmazza az összes egymással (adott modulóval) összehasonlítható Gauss-számot. Az osztályokhoz, mint az egész számok esetében, az összeadás és a szorzás definiálható, így modulo Gauss -féle maradékgyűrűt kapunk . ${\mathbb {Z}}[i]$ ${\mathbb {Z}}[i]$

Példa. Vegyük összehasonlító modulnak . Ezután két csoportra oszlik: az azonos paritású számok egy osztályba esnek (amely a modul többszörösét tartalmazza), a különböző paritású számok pedig egy másik osztályba . $1+i$ ${\mathbb {Z}}[i]$ $a+bi$ $a,b$ $a,b$

A Gauss-féle összehasonlításnak van néhány sajátossága. Például, ha a modulo 3 egész számokhoz 3 osztályú csoport van reprezentánsokkal, akkor a modulo 3 Gauss-számok esetében az osztályok száma sokkal nagyobb. Képviselőik: $0;\ 1;\ 2,$

0;\ 1;\ 2;\ i;\ 1+i;\ 2+i;\ 2i;\ 1+2i;\ 2+2i

Ahogy Gauss felfedezte, a modulo maradékgyűrű elemeket tartalmaz [20] . Ez a tény arra kényszerít bennünket, hogy módosítsunk néhány klasszikus tételt. Például Fermat egész számokra vonatkozó kis tétele kimondja, hogy bármely prímszám és természetes szám osztható -val . A Gauss-számokra ez nem igaz, még akkor sem, ha a természeti értékekre korlátozódik ; például egész számoknál ez mindig osztható 3-mal, de Gauss -számoknál ez az érték sem osztható 3-mal. Fermat kis tételének módosított analógja a következőképpen fogalmazódik meg [20] : $a+bi$ $N(a+bi)=a^{2}+b^{2}$ $(a^{p}-a)$ $p$ $p$ $a$ $p$ $a^{3}-a$ $i^{3}-i=-2i$

Egy prím Gauss-szám és bármely Gauss-szám osztható -vel . $w=a+bi$ $u$
$(u^{{N(w)}}-u)=(u^{{a^{2}+b^{2}}}-u)$ $w$

Ugyanebben a példában a következő eredménnyel: - osztható 3-mal. $w=3;u=i$ $(i^{9}-i)=0$

Nevezzük reverzibilisnek a számot tartalmazó modulo-maradékok osztályát, ha az összehasonlításnak van megoldása -ra vonatkozóan . Az osztály akkor és csak akkor invertálható, ha a Gauss-számok és viszonylag prímek [20] . Különösen, ha a kongruencia modulusa Gauss-prím, akkor minden nullától eltérő maradékosztálynak van inverz eleme, ami azt jelenti, hogy a reziduumosztályok egy prímot modulonak egy mezőben és egy mezőben is . $w,$ $te,$ $ux\equiv 1{\pmod {w}}$ $x$ $u$ $w$ $w$ ${\mathbb {Z}}[i]$ ${\mathbb {Z}),$

Euler-függvény Gauss-számokhoz

Mutassuk be a Gauss-számok Euler-függvényének analógját. Az egész számok definíciója nem megfelelő, már csak azért is, mert a benne található „tól- ig ” kifejezésnek nincs értelme komplex számok esetén. Új meghatározás [20] : $egy$ $n$

A Gauss-szám Euler-függvénye a modulo reverzibilis maradékosztályok száma . $\varphi (z)$ $z$ $z$

Az így definiált függvény, akárcsak az egész számok prototípusa, multiplikatív , így elegendő a prímszámok értékeit és azok természetes hatványait ismerni. Ha egy prím Gauss-szám, akkor [20] : $z$

\varphi (z)=N(z)-1;\quad \varphi (z^{k})=N(z)^{{k-1}}(N(z)-1)

Példa: . $\varphi (3+4i)=\varphi ((2+i)^{2})=N(2+i)(N(2+i)-1)=5\cdot 4=20$

Most általánosíthatjuk Fermat előző részben adott kis tételét egy tetszőleges (nem feltétlenül egyszerű) komparátormodul esetére, vagyis megadhatjuk az Euler-tétel [20] analógját :

Ha egy Gauss-szám koprím és modulo , akkor: $z$ $w,$

z^{{\varphi (w)}}\equiv 1{\pmod w}

A modulo összehasonlítás geometriai ábrázolása

Tekintsük példaként a modulo összehasonlítást . Amint az oszthatóság geometriai ábrázolásáról szóló részben elhangzott, lehetőség van a komplex síkot négyzetekre osztani úgy, hogy ennek a rácsnak a csomópontjai (a négyzetek csúcsai) az összes lehetséges összetett többszörösét képviseljék . Ekkor definíció szerint a számok összehasonlíthatóak modulo- val, ha különbségük egybeesik a többszörösek rácsának valamelyik csomópontjával. $w=1+2i$ $1+2i$ $w$

A rács minden négyzete bármely más négyzetből többszörös eltolással (transzferrel) adódik, ezért a négyzet bármely pontjának különbsége és eltolódásának eredménye is többszöröse . Ebből következik a végső következtetés [20] : $w,$ $w$

A Gauss-számok akkor és csak akkor modulo-összehasonlíthatók, ha ugyanazt a relatív pozíciót foglalják el a többszörösek rácsának négyzetében. $w$

Például a négyzetek összes középpontja összehasonlítható, vagy a megfelelő oldaluk összes felezőpontja stb.

Felosztás a maradékkal

Definíció

Egy gyűrűben meg lehet határozni az osztást maradékkal (bármilyen nem nulla Gauss-számmal), ha megkövetelik, hogy a maradék normája kisebb legyen, mint az osztó normája [21] : ${\mathbb {Z}}[i]$

Bármely Gauss-szám egy maradékkal osztható bármely nem nulla Gauss-számmal , azaz a következőképpen ábrázolható: $u$ $v$

u=vq+r

ahol a hányados és a maradék Gauss-számok, és . $q$ $r$ $N(r)<N(v)$

Könnyen kimutatható, hogy a maradékkal való osztás hányadosaként vehetünk egy olyan Gauss-számot, amely legközelebb áll a komplex számok közönséges osztásának hányadosához [22] .

Megjegyzendő, hogy a „maradék normája kisebb, mint az osztó normája” feltétel nem elegendő az osztásból származó maradék egyediségének garantálásához, ezért a maradék nem egyértelmű. Például háromféleképpen osztható fel : ${\mathbb {Z}}[i]$ $7+2i$ $3-i$

7+2i=(3-i)(2+i)+i=(3-i)(1+i)+3=(3-i)(2+2i)+(-1-2i)

Csak azt lehet garantálni, hogy az összes maradék ugyanabba a csoportba tartozik az osztómodullal. Hasonló helyzet azonban előfordul a közönséges egész számoknál is - például kétféleképpen lehet osztani 8 maradékával 3-mal: vagy (mindkét maradék modulo kisebb, mint az osztó), ezért egy további feltételt vezetünk be az egész számok számtanában a művelet egyediségének biztosítása érdekében: a maradéknak nem negatívnak kell lennie. $8=3\cdot 2+2$ $8=3\cdot 3-1$

Példa . Az at maradékkal való osztásnál először a szokásos összetett osztás hányadosa található: $11+10i$ $4+i$

{\frac {11+10i}{4+i}}={\frac {(11+10i)(4-i)}{(4+i)(4-i)))={\frac {54+ 29i}{17}}\kb 3{,}17+1{,}7i

Az eredményhez legközelebb eső Gauss-szám akkor a maradék . Végül is: $3+2i,$ $11+10i-(4+i)(3+2i)=1-i$

11+10i=(4+i)(3+2i)+1-i

Gauss-számokra érvényes a kínai maradéktétel analógja , mivel ezt Euklidész algoritmusával igazoljuk .

Geometriai ábrázolás

A maradékkal való osztás definíciójából következik, hogy , vagyis a maradék modulusa a komplex számok és a távolság közötti távolság . Más szóval, van egy távolság az osztaléktól az egyik csomópontig - a többszörösek rácsáig. A „maradvány normája kisebb, mint az osztó normája” követelmény egyenértékű a feltétellel . Ebből következik: $u$ $v$ $|r|=|u-vq|$ $u$ $vq$ $|r|$ $v$ $|r|<|v|$

A maradékkal való osztásnak annyi megoldása van, ahány többszörösek rácsának csomópontjai kevesebb, mint az osztalékból . $u$ $v$ $v$ $|v|$

A fenti példa szerinti osztásnál az osztóhoz legközelebb eső osztó többszörösei az osztót tartalmazó rácsnégyzet csúcsai: $7+2i$ $3-i$

7+i=(3-i)(2+i)

4+2i=(3-i)(1+i)

8+4i=(3-i)(2+2i)

Mindegyik az osztaléktól kisebb, mint . A négyzet negyedik csúcsa több mint . Ezért a maradékkal való osztásnak három megoldása van. $|v|={\sqrt {10}}$ $5+5i$ ${\sqrt {10}}$

Általános esetben több ív sugarú négyzetrácsának csúcsaiból húzva az ábrán látható ábrát kapjuk. Ha az osztalék a középső régióban (piros zónában) van, akkor az összes csúcstól kevesebb, mint 100%, és a maradékkal való osztás négyféleképpen történhet. Ha az osztalék az egyik "sziromban" (kék zóna) van, akkor az egyik csúcs eltűnik, és a megoldások száma három. A fehér zónára két megoldást kapunk. Végül, ha az osztalék egybeesik az egyik csúcsgal, akkor a maradék nulla, és a megoldás egyedi. $v$ $|v|,$ $|v|,$

Legnagyobb közös osztó

A Gauss-számok gyűrűje euklideszi , és mindig meg lehet határozni benne a legnagyobb közös osztót , amely az egység osztóiig egyedileg meghatározott [23] .

A gcd legnagyobb közös osztója a Gauss-számok és , amelyek közül legalább az egyik nem nulla, a közös osztójuk, amely osztható bármely más közös osztóval és . $(u,v)$ $u$ $v$ $u$ $v$

Egyenértékű definíció: GCD az a közös osztó , amelyre a norma maximum [24] . $(u,v)$ $u,v$

GCD tulajdonságai

Ha ismert valamilyen gcd, akkor a hozzá tartozó három szám közül bármelyik is gcd lesz. Különösen. ha az egyik GCD egységosztó, akkor a másik három GCD is az lesz.
A Gauss-számok akkor és csak akkor koprímek, ha a gcd egységosztó.
A Bezout-relációnak van egy analógja [25] :

Legyenek Gauss-számok, és legalább az egyik nem nulla. Aztán vannak Gauss-számok , amelyekre a következő összefüggés teljesül: $u,v$ $x,y$

GCD

(u,v)=xu+yv

Más szavakkal, két Gauss-szám legnagyobb közös osztója mindig ábrázolható ezen számok Gauss-együtthatós lineáris kombinációjaként .

A Bezout-reláció [25] következménye: ha a Gauss-számok másodprímek, akkor a vonatkozású egyenletnek van megoldása -ben . A fenti egyenletben szereplő 1 helyett az egység bármely más osztója állhat, míg a tétel igaz marad. $u,v$ $xu+yv=1$ $x,y$ ${\mathbb {Z}}[i]$

Euklidész algoritmusa és a gcd gyakorlati számítása

A benne lévő gcd meghatározásához kényelmes az Euklidész algoritmus használata , amely nagyon hasonló az egész számokhoz használthoz. Ebben a sémában a GCD-t az utolsó nem nulla maradékként kapjuk meg [26] . Az eukleidészi algoritmus segítségével a Bézout-relációban is megtalálhatjuk az együtthatókat [20] . ${\mathbb {Z}}[i]$ $x,y$

Példa 1. Keresse meg a és a GCD-t . $32+9i$ $4+11i$

1. lépés: (az első szám maradékával elosztva a másodikkal)

32+9i=(4+11i)(2-2i)+2-5i

2. lépés: (elosztva az előző osztó maradékával az előző lépés maradékával)

4+11i=(2-5i)(-2+i)+3-i

3. lépés: (ugyanaz a művelet)

2-5i=(3-i)(1-i)-i

4. lépés: (ugyanaz a művelet, a felosztás teljesen befejeződött)

3-i=(-i)(1+3i)

Vegye figyelembe, hogy a maradék normája minden lépésben monoton csökken. Az utolsó nem nulla maradék , ami az egység osztója, ezért arra a következtetésre jutunk, hogy a vizsgált számok másodprímek. $-én$

2. példa Keresse meg a GCD-t és . $11+3i$ $1+8i$

1. lépés:

11+3i=(1+8i)(1-i)+2-4i

2. lépés:

1+8i=(2-4i)(-1+i)+(-1+2i)

3. lépés: (felosztás kész)

2-4i=(-1+2i)(-2)

Az utolsó nem nulla maradék , és ez a szükséges GCD. Az egyenlőségek jobb oldali részeit szekvenciálisan behelyettesítve a bal oldali részek helyett (az utolsó előtti egyenlőségtől kezdve, alulról felfelé), megkapjuk a GCD Bezout-relációját: $-1+2i$

-1+2i=(11+3i)(1-i)+(1+8i)(1+2i)

Egyes alkalmazások

Gauss az általa felfedezett algebrai struktúrát használta a bikvadratikus maradékok mélyreható tanulmányozására. A Gauss-számok sikeres alkalmazásának egyéb területeit is meg lehet jelölni [27] . Figyelemre méltó, hogy jelentős részük nem összetett, hanem természetes számok elméletére vonatkozik.

Természetes számok felosztása két négyzet összegére

A Gauss-kritériumból következik, hogy az alak egy természetes prímszáma két természetes szám négyzeteinek összegeként is ábrázolható, méghozzá egyedi módon. Példa: . $4n+1$ $29=(2+5i)(2-5i)=2^{2}+5^{2}$

Más típusú természetes számok felbontása nem mindig lehetséges - például más ilyen típusú számokat nem lehet két természetes szám négyzetének összegeként ábrázolni. Az összetett számoknak egynél több kiterjesztése is lehet, például [27] : . Általános tétel: egy természetes szám akkor és csak akkor ábrázolható két négyzet összegeként, ha kanonikus kiterjesztésében az alak minden prímtényezője páros hatványban van [17] . $15;19;27;103$ $4n+3$ $65=4^{2}+7^{2}=1^{2}+8^{2}$ $4n+3$

Példa: nem ábrázolható négyzetösszegként, mert a 3-as szám (mint a 7) páratlan mértékben szerepel benne. De el tudod képzelni : $21=3\cdot 7$ ${\displaystyle 245=5\cdot 7^{2))$ $245=7^{2}+14^{2}$

Az ábrázolások számának számolása két négyzet összegeként

Egy természetes szám négyzetösszegkénti reprezentációinak száma (vagy ami megegyezik, a normával rendelkező Gauss-számok száma ) a következőképpen határozható meg [28] . Egyszerű természeti tényezőkre bomlik : $\rho (m)$ $m$ $m$ $m$

m=2^{\lambda }p_{1}^{{\lambda _{1))}p_{2}^({\lambda _{2))}\dots p_{r}^{{\lambda _ {r}}}q_{1}^{{\mu _{1}}}q_{2}^{{\mu _{2}}}\dots q_{s}^{{\mu _{s} }}

Itt vannak az a forma faktorai a forma tényezői . Ekkor 3 eset lehetséges. $p_{i}$ $4n+1,$ $q_{j}$ $4n+3$

Ha legalább egy kitevő páratlan, a szám nem ábrázolható négyzetek összegeként. $\mu _{j}$ $m$
Legyen minden egyenletes. A végső képlet a paritástól függ . Ha mindegyik páros is, akkor a képlet alakja a következő: $\mu _{j}$ $\lambda _{i}$

\rho (m)={\frac {1}{2}}[(\lambda _{1}+1)(\lambda _{2}+1)\cdots (\lambda _{r}+1)+ egy]

Ha nem mindegyik egyenlő, akkor a képlet kissé eltér: $\lambda _{i}$

\rho (m)={\frac {1}{2}}(\lambda _{1}+1)(\lambda _{2}+1)\cdots (\lambda _{r}+1)

A Pitagorasz-hármasok elmélete

A Pitagorasz-hármas az egyenlet egyik egész számú megoldása:

x^{2}+y^{2}=z^{2}

Az egyenlet általános megoldása két egész paramétertől függ : $m,n$

x=m^{2}-n^{2};\;y=2mn;\;z=m^{2}+n^{2}

Pitagorasz-hármasok generálásához használhatja ezt a technikát. Legyen egy tetszőleges Gauss-szám, amelynek mindkét összetevője nem nulla. Ennek a számnak a négyzetre emelésével egy másik Gauss-számot kapunk . Ekkor a tripla Pythagorean lesz [27] . $z=a+bi$ $a,b$ $c+di$ ${\displaystyle \{|c|;|d|;N(z)\))$

Példa: az eredeti számhoz Pitagorasz hármast kapunk . $z=17+12i$ $(145;408;433)$

Diofantinuszi egyenletek megoldása

A Gauss-számok apparátusát használva számos diofantinuszi egyenlet megoldása megtalálható. Például egy egyenlethez az egyszerű transzformációk kétféle másodlagos egész megoldást adnak [29] , az egész szám paramétereitől függően : ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=2z^{2))$ $a,b$

$x=a^{2}-2ab-b^{2};\;y=a^{2}+2ab-b^{2}$
$x=-a^{2}-2ab+b^{2};\;y=a^{2}-2ab-b^{2}$

1850-ben Victor Lebesgue Gauss-számokat használva megvizsgálta az egyenletet , és bebizonyította annak megoldhatatlanságát természetes számokban. Vagyis a természetes számok alakja között egyetlen teljes kocka vagy a másodiknál magasabb fok sincs [27] . ${\displaystyle x^{2}+1=y^{n))$ $n^{2}+1$

Megoldatlan problémák

Határozzuk meg azoknak a Gauss-számoknak a számát, amelyek normája kisebb egy adott természetes állandónál . Egy ekvivalens megfogalmazásban ezt a témát „ Gauss-kör-problémaként ” ismerik a számgeometriában [30] [31] . $R$
Keressen olyan egyeneseket a komplex síkban, amelyek végtelen sok Gauss-prímszámot tartalmaznak. Két ilyen vonal nyilvánvaló - ezek a koordinátatengelyek; nem ismert, hogy léteznek-e mások [32] .
A „ Gauss-árok ” néven ismert kérdés: el lehet-e jutni a végtelenbe úgy, hogy az egyik egyszerű Gauss-számról a másikra haladunk előre meghatározott hosszúságú ugrásokkal? A problémát 1962-ben vetették fel, és még nem sikerült megoldani [33] .

Változatok és általánosítások

Egy másik történelmileg fontos euklideszi gyűrű, amely tulajdonságaiban hasonló az egész számokhoz, az " Eisenstein-egész számok ".

A Gauss-féle racionális számok alakja komplex számok , ahol racionális számok . Ez a halmaz mind a 4 aritmetikai műveletben zárt, beleértve az osztást is, ezért olyan mező , amely kiterjeszti a Gauss-számok gyűrűjét. ${\mathbb Q}(i)$ $a+bi$ $a,b$

Történelem

Az 1820-as években Carl Friedrich Gauss a bikvadratikus reciprocitás törvényét vizsgálta , és ennek eredményeként megjelent a Theory of Biquadratic Residues (1828–1832) című monográfia. Ebben a munkában bizonyították, hogy a komplex egész számok hasznosak számelméleti problémák megoldásában , bár ezeknek a feladatoknak a megfogalmazásának semmi köze a komplex számokhoz. Gauss azt írta, hogy "egy általános elmélet természetes forrása az aritmetika területének kiterjesztésében keresendő" [3] .

Gauss könyvében kimutatták, hogy az új számok tulajdonságai sok tekintetben a közönséges egész számokra emlékeztetnek. A szerző leírta az egység négy osztóját , meghatározta az asszociációs relációt, a prímszám fogalmát, megadta az egyszerűség kritériumát, és analógiát bizonyított az aritmetika alaptételének , a Fermat-féle kis tételnek . Gauss a továbbiakban részletesen tárgyalta az összetett modulo-maradékokat, indexeket és primitív gyökereket . A felépített elmélet fő vívmánya a kölcsönösség biquadratikus törvénye volt, amelynek bizonyítását Gauss a következő kötetben ígérte; ez a kötet soha nem jelent meg, de egy szigorú bizonyíték részletes vázlatát megtalálták Gauss kézirataiban [3] .

Gauss az általa bevezetett számokat más munkáiban is felhasználta, például az algebrai egyenleteknél [34] . Gauss gondolatait Carl Gustav Jacob Jacobi és Ferdinand Gotthold Eisenstein írásai dolgozták ki . A 19. század közepén Eisenstein, Dirichlet és Hermite bevezette és tanulmányozta az algebrai egész szám általánosított fogalmát .

A Gauss-egész számok gyűrűje volt az egyik első példa egy szokatlan tulajdonságokkal rendelkező algebrai szerkezetre. Idővel nagyszámú ilyen típusú szerkezetet fedeztek fel, és a 19. század végén megjelent az absztrakt algebra , amely az algebrai tulajdonságokat az ezeket a tulajdonságokat hordozó objektumoktól elkülönítve vizsgálja.

Jegyzetek

↑ 1 2 Matematikai enciklopédia, 1977 .
↑ K. F. Gauss, 1959 , p. 655-754.
↑ 1 2 3 A 19. század matematikája. I. kötet: Matematikai logika, algebra, számelmélet, valószínűségszámítás, 1978 , p. 88-92.
↑ Kuzmin R. O., Faddeev D. K., 1939 , p. 146.
↑ Ireland K., Rosen M., 1987 , p. 23.
↑ Okunev L. Ya., 1941 , p. 27-28.
↑ 1 2 3 4 Kuzmin R. O., Faddeev D. K., 1939 , p. 147-149.
↑ 1 2 3 Okunev L. Ya., 1941 , p. 29.
↑ Okunev L. Ya., 1941 , p. 32.
↑ Kuzmin R. O., Faddeev D. K., 1939 , p. 150.
↑ 1 2 Kuzmin R. O., Faddeev D. K., 1939 , p. 155.
↑ Kuzmin R. O., Faddeev D. K., 1939 , p. 156.
↑ Okunev L. Ya., 1941 , p. 41, 44.
↑ A Gauss-prímek osztályozása , p. tíz.
↑ K. F. Gauss, 1959 , p. 698.
↑ Kuzmin R. O., Faddeev D. K., 1939 , p. 158.
↑ 1 2 3 Conrad, Keith , 9. fejezet.
↑ Okunev L. Ya., 1941 , p. 33-34.
↑ Conrad, Keith , 6. fejezet.
↑ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Conrad, Keith , 7. fejezet.
↑ Conrad, Keith , 3. fejezet.
↑ Okunev L. Ya., 1941 , p. 30-31.
↑ Okunev L. Ya., 1941 , p. 35-36.
↑ Conrad, Keith , 4. fejezet.
↑ 1 2 Conrad, Keith , 5. fejezet.
↑ Kuzmin R. O., Faddeev D. K., 1939 , p. 153-155.
↑ 1 2 3 4 Conrad, Keith , 8. fejezet.
↑ Kuzmin R. O., Faddeev D. K., 1939 , p. 164-166.
↑ Kuzmin R. O., Faddeev D. K., 1939 , p. 162-163.
↑ Conway JH, Sloane NJA Sphere Packings, Lattices and Groups. — Springer-Verlag. – 106. o.
↑ OEIS sorozat A000328 _
↑ Ribenboim, Paulo. The New Book of Prímszám Records, Ch.III.4.D Ch. 6.II, Ch. 6.IV. — 3. kiadás. - New York: Springer, 1996. - ISBN 0-387-94457-5 .
↑ Guy Richard K. Megoldatlan problémák a számelméletben. — 3. kiadás. - New York: Springer, 2004. - P. 55-57. - ISBN 978-0-387-20860-2 .
↑ Hardy GH, Wright EM, 1968 , p. 189.

Irodalom

Ireland K., Rosen M. Klasszikus bevezetés a modern számelméletbe. — M .: Mir, 1987. — 416 p.
Alfutova N. B., Ustinov A. V. Algebra és számelmélet. Feladatgyűjtemény matematikai iskolák számára. - 3. kiadás, Rev. és további - M. : MTSNMO, 2009. - 336 p. - ISBN 978-5-94057-550-4 .
Gauss KF A számelméleten dolgozik. - M . : A Szovjetunió Tudományos Akadémia Kiadója, 1959. - S. 695-754.
Gauss-szám // Mathematical Encyclopedia (5 kötetben). - M . : Szovjet Enciklopédia , 1977. - T. 1.
Kaluzsnin L. A. Az aritmetika fő tétele. — M .: Nauka, 1969. — 32 p. - ( Népszerű matematikai előadások ).
Kolmogorov A. N., Juskevics A. P. (szerk.). A 19. század matematikája. Matematikai logika, algebra, számelmélet, valószínűségszámítás. - M . : Nauka, 1978. - T. I.
Kuzmin R. O., Faddeev D. K. Algebra és komplex számok aritmetikája. Útmutató tanároknak. - M . : Uchpedgiz, 1939. - 187 p.
Okunev L. Ya. Komplex egész számok. - M . : Állam. uch.-ped. Az RSFSR Oktatási Népbiztosságának Kiadója, 1941. - 56 p.
Senderov V., Spivak A. Négyzetösszegek és Gauss-egészek // Kvant . - 1999. - 3. sz . - S. 14-22 .
Hardy GH, Wright EM Bevezetés a számelméletbe . — 4. kiadás. - Oxford.: Oxford University Press, 1968. - 421 p.

Linkek

Komplex Gauss-egészek a „Gauss-grafikához” (angol) (hivatkozás nem érhető el) . Letöltve: 2013. szeptember 11. Az eredetiből archiválva : 2006. június 14.
Butler, Lee A. A Gauss- prímek osztályozása . Hozzáférés időpontja: 2017. január 16.
Conrad, Keith. Gauss-egészek (angolul) . Letöltve: 2013. szeptember 11.

Szótárak és enciklopédiák	Larussa Britannica (online)

Algebrai számok
Fajták	Algebrai egész számok Csebisev csomópontok Konstruktív számok Eisenstein egésze Gauss-egészek Kummer gyűrű Perron számok Piso-Vijayaraghavan számok Kvadratikus irracionalitás ℚ Gyökerek az egységből Salem számok
Különleges	Conway állandó 3 √ 2 φ δS_ _ √2 _ √ 3 √5 _ 12 √ 2