A bikvadratikus maradék természete

A bikvadratikus maradék karaktere két argumentum számelméleti függvénye, amely a hatványmaradék szimbólum speciális esete . Szintén egy karakter egy egyszerű mezőben .

A bikvadratikus maradék karaktere a Legendre szimbólumhoz hasonló , kiszámításához pedig a bikvadratikus reciprocitás törvényét használják , amely a másodfokú reciprocitás törvényével analóg .

Definíció

Tekintsük D=Z[i] — a Gauss-egészek gyűrűjét , azaz a alakú számokat , ahol a és b egész számok . $\alpha =a+b\,i$

Legyen prím a D gyűrűben normával . A bikvadratikus maradék természetét a következőképpen határozzák meg: $\pi$ $N\pi$

$\left({\frac {\alpha }{\pi }}\right)_{4}=0$ , ha osztható -vel . $\alpha$ $\pi$
$\left({\frac {\alpha }{\pi }}\right)_{4}=1$ , ha nem osztható és . $\alpha$ $\pi$ $N\pi =2$
Minden más esetben a maradékosztály egyik értéke (ez az érték egyedileg van meghatározva). $\left({\frac {\alpha }{\pi }}\right)_{4}$ $\{1,\ -1,\ i,\ -i\}$ $\alpha ^{(N\pi -1)/4}\mod \pi$

A kölcsönösség kétnegyedes törvénye

Elsődlegesnek nevezzük a -t, amely nem egy egység, ha 1 modulo-val összehasonlítható az ideális . Ugyanakkor egy nem egység akkor és csak akkor elsődleges, ha , vagy , . $\alpha$ $((1+i)^{3})$ $\alpha =a+b\,i$ $a\equiv 1{\pmod {4}}$ $b\equiv 0{\pmod {4}}$ $a\equiv 3{\pmod {4}}$ $b\equiv 2{\pmod {4}}$

Legyen és legyünk D - beli koprím elsődleges elemek , akkor $\pi$ $\theta$

$\left({\frac {\pi }{\theta }}\right)_{4}=\left({\frac {\theta }{\pi }}\jobb)_{4}(- 1)^{{\frac {N\pi -1}{4}}{\frac {N\theta -1}{4}}}$

A bikvadratikus maradék karakterének egyéb tulajdonságai

$\left({\frac {\alpha }{\pi }}\right)_{4}=1$ akkor és csak akkor, ha az összehasonlítás feloldható, azaz akkor és csak akkor - bikvadratikus maradék $x^{4}\equiv \alpha \mod {\pi }$ $\alpha$
Multiplicativitás : $\left({\frac {\alpha \beta }{\pi }}\right)_{4}=\left({\frac {\alpha }{\pi }}\right)_{4} \cdot \left({\frac {\beta }{\pi }}\right)_{4}$
Periodika : ha , akkor $\alpha \equiv \beta \mod {\pi }$ $\left({\frac {\alpha }{\pi }}\right)_{4}=\left({\frac {\beta }{\pi }}\right)_{4}$
Ha egyszerű elsődleges, akkor $\pi =a+bi$ $\left({\frac {-1}{\pi }}\right)_{4}=(-1)^{\frac {a-1}{2}}$

Hivatkozások

Ireland K., Rosen M. Klasszikus bevezetés a modern számelméletbe . - Moszkva: Mir, 1987.

Franz Limmermeyer. Kölcsönösségi törvények: Eulertől Eisensteinig. - Springer Verlag, 2000. - ISBN 3-540-66957-4 .

Karakterek a számelméletben és a csoportelméletben
Másodfokú karakterek	A legenda szimbóluma Jacobi szimbólum Kronecker szimbólum - Jacobi
Az erőmaradékok karakterei	A köbös maradék természete A bikvadratikus maradék természete Teljesítmény maradék szimbólum