A Gauss-árkok probléma a számelméletben azt kérdezi, hogy lehetséges-e olyan Gauss -prímek végtelen sorozatát találni , amelyben a sorozatban lévő két egymást követő szám különbsége korlátos. Még színesebben, a Gauss-prímek kövekként ábrázolhatók az összetett számok tengerében, és kérdés, hogy lehet-e úgy járni ezeken a köveken, hogy a korlátozott hosszúságú ugrásokkal az origótól a végtelenig ne nedvesítsük meg a lábunkat. A problémát 1962-ben Basil Gordon vetette fel (bár néha tévesen Erdősnek tulajdonították ) , és továbbra is megoldatlan [1] . A közönséges prímszámok esetében ilyen sorozat lehetetlen - a prímszámok eloszlására vonatkozó tételből az következik, hogy a prímszámok sorozatában tetszőleges hosszúságú szakadások vannak , és ennek elemi közvetlen bizonyítéka van: bármely n számra n − 1 egymást követő számból álló sorozatban n ! + 2, n ! + 3, …, n ! + n minden szám összetett [1] .
A maximális ugrást minimalizáló két Gauss-prím közötti útvonal megtalálásának problémája a minimax útvonalprobléma egyik változata, az optimális út lépésnagysága pedig a két prím közötti legszélesebb árok szélessége , ahol az árok meghatározható. úgy, hogy a prímeket elosztjuk két részhalmazzal, és az árok szélessége megegyezik a legközelebbi elempár távolságával (minden részhalmazból egy). Ekkor a Gauss-árkok problémája más, de ekvivalens formában is átfogalmazható: van-e véges határa azoknak az árkoknak a szélességének, amelyeknek véges számú prímje van az origó oldalán [1] ?
Egy számítógépes keresés kimutatta, hogy a koordináták origóját a végtelentől egy 6 szélességű árok választja el [2] . Ismeretes, hogy bármely pozitív k számhoz vannak olyan Gauss-prímek, amelyeknél a legközelebbi szomszédos szám k vagy annál nagyobb távolságra van. Valójában az ilyen számok kereséséhez korlátozhatja magát a valós tengelyen lévő számokra. Például a 20785207 számot egy 17 széles árok veszi körül, tehát tetszőleges szélességű árkok biztosan léteznek, de nem feltétlenül választják el az eredetet a végtelentől [1] .