Egyenlőtlenség

Az egyenlőtlenség a matematikában olyan összefüggés , amely két számot vagy más matematikai objektumot köt össze az alább felsorolt jelek valamelyikével [1] .

Szigorú egyenlőtlenségek

$a<b$ kevesebbet jelent , mint $a$ $b.$
$a>b$ többet jelent , mint $a$ $b.$

Az egyenlőtlenségek egyenértékűek . Azt mondják, hogy a jelek és ellentétesek ; például az "az egyenlőtlenség előjelét megfordították" kifejezés azt jelenti, hogy a helyére került, vagy fordítva. $a>b$ $b<a$ $>$ $<$ $<$ $>$

Nem szigorú egyenlőtlenségek

$a\leqslant b$ kisebbet vagy egyenlőt jelent $a$ $b.$
$a\geqslant b$ azt jelenti , hogy nagyobb vagy egyenlő $a$ $b.$

A ⩽ és ⩾ jelek írásának orosz nyelvű hagyománya megfelel az ISO 80000-2 nemzetközi szabványnak . Külföldön a ≤ és ≥ vagy a ≦ és ≧ jeleket néha használják. A ⩽ és ⩾ jeleket szintén ellentétesnek mondjuk .

Más típusú egyenlőtlenségek

$a\neq b$ - azt jelenti , hogy nem egyenlő . $a$ $b$
$a\gg b$ azt jelenti, hogy az érték sokkal nagyobb, mint $a$ $b.$
$a\ll b$ azt jelenti, hogy az érték sokkal kisebb, mint $a$ $b.$

A továbbiakban ebben a cikkben, hacsak másképp nem jelezzük, az egyenlőtlenség fogalma az első 4 típusra vonatkozik.

Az elemi matematikában a numerikus egyenlőtlenségeket tanulmányozzák (racionális, irracionális, trigonometrikus, logaritmikus, exponenciális). Az általános algebra , elemzés , geometria , egyenlőtlenségeket is figyelembe veszik a nem numerikus természetű objektumok között.

Kapcsolódó definíciók

Az azonos előjelű egyenlőtlenségeket azonos nevű egyenlőtlenségeknek nevezzük ( néha az "ugyanaz a jelentés" vagy az "azonos jelentés" kifejezést használják).

Megengedett a kettős vagy akár többszörös egyenlőtlenség, amely több egyenlőtlenséget egyesít. Példa:

a<b<c

egy egyenlőtlenségpár rövidítése: és

a<b

b<c.

Numerikus egyenlőtlenségek

A numerikus egyenlőtlenségek valós számokat tartalmaznak ( komplex számok esetén nincs meghatározva a több vagy kevesebb összehasonlítása ), és tartalmazhatnak ismeretlenek szimbólumait is . Az ismeretlen mennyiségeket tartalmazó numerikus egyenlőtlenségeket (hasonlóan az egyenletekhez ) algebrai és transzcendentális részekre osztják. Az algebrai egyenlőtlenségeket pedig elsőfokú, másodfokú stb. egyenlőtlenségekre osztjuk. Például az egyenlőtlenség elsőfokú algebrai, az egyenlőtlenség harmadfokú algebrai, az egyenlőtlenség transzcendentális [2] . $(x,y,\pontok ).$ $18x<414$ $2x^{3}-7x+6>0$ $2^{x}>x+4$

Tulajdonságok

A numerikus egyenlőtlenségek tulajdonságai bizonyos szempontból közel állnak az [1] egyenletek tulajdonságaihoz :

Ugyanazt a számot hozzáadhatja az egyenlőtlenség mindkét oldalához.
Ugyanazt a számot levonhatja az egyenlőtlenség mindkét oldaláról. Következmény: ami az egyenleteket illeti, az egyenlőtlenség bármely tagja átvihető egy másik részre ellenkező előjellel. Ebből például az következik $a+b<c$ $a<cb.$
Az egyenlőtlenség mindkét oldalát meg lehet szorozni ugyanazzal a pozitív számmal.
Azonos elnevezésű egyenlőtlenségeket hozzá lehet adni: ha például és akkor Az ellentétes előjelű egyenlőtlenségeket hasonlóan tagonként kivonhatjuk. $a<b$ $c<d,$ $a+c<b+d.$
Ha két egyenlőtlenség mind a négy része pozitív, akkor az egyenlőtlenségek szorozhatók.
Ha az egyenlőtlenség mindkét része pozitív, akkor ugyanarra a (természetes) hatványra emelhető, és tetszőleges alappal logaritmikus is (ha a logaritmus alapja kisebb, mint 1, akkor az egyenlőtlenség előjelét meg kell fordítani) .

Egyéb tulajdonságok

Tranzitivitás : ha és akkor és hasonlóképpen más jeleknél. $a<b$ $b<c,$ $a<c$
Ha az egyenlőtlenség mindkét részét ugyanazzal a negatív számmal szorozzuk vagy osztjuk, akkor az egyenlőtlenség előjele az ellenkezőjére változik: nagyobb , mint kisebb , nagyobb vagy egyenlő , mint kisebb vagy egyenlő , stb.

Egyenlőtlenségek megoldása

Ha az egyenlőtlenség az ismeretlenek szimbólumait tartalmazza, akkor annak megoldása azt jelenti, hogy meg kell találni azt a kérdést, hogy az ismeretlenek mely értékeire teljesül az egyenlőtlenség. Példák:

x^{2}<4

órakor előadták

-2<x<2.

x^{2}>4

végezzük, ha ill

x>2

x<-2.

x^{2}<-4

soha nem hajtották végre (nincs megoldás).

x^{2}>-4

mindenkire érvényes ( identitás ).

x

Figyelem : ha egy ismeretleneket tartalmazó egyenlőtlenséget páros hatványra emelünk, „extra” megoldások jelenhetnek meg. Példa: ha az egyenlőtlenség négyzetes: akkor egy hibás megoldás jelenik meg, amely nem elégíti ki az eredeti egyenlőtlenséget. Ezért minden így kapott megoldást az eredeti egyenlőtlenségbe való behelyettesítéssel kell igazolni. $x>3$ $x^{2}>9,$ $x<-3,$

Elsőfokú egyenlőtlenségek

Az elsőfokú egyenlőtlenség általános formátumú: vagy hol (jelekkel dolgozik és hasonló). A megoldáshoz osszuk el az egyenlőtlenséget és ha fordítsuk meg az egyenlőtlenség előjelét [3] . Példa: $ax>b$ $ax<b,$ $a\neq 0$ $\geqslant$ $\leqslant$ $a$ $a<0,$

5x-11>8x+1.

Itt vannak hasonló kifejezések: vagy

-3x>12,

x<-4.

Elsőfokú egyenlőtlenségrendszerek

Ha ugyanaz az ismeretlen több egyenlőtlenségben is szerepel, akkor minden egyenlőtlenséget külön kell megoldani, majd ezeket a megoldásokat össze kell hasonlítani, amit együtt kell végrehajtani.

1. példa . A rendszerből két megoldást kapunk: az első egyenlőtlenségre a másodikra: Ezeket kombinálva a választ kapjuk: ${\begin{cases}4x-3>5x-5\\2x+4<8x\end{cases))$ $x<2,$ $x>{2 \over 3}.$ ${2 \over 3}<x<2.$

2. példa . Megoldások: és A második megoldás elnyeli az elsőt, tehát a válasz: ${\begin{cases}2x-3>3x-5\\2x+4>8x\end{cases))$ $x<2$ $x<{2 \over 3}.$ $x<{2 \over 3}.$

3. példa . Megoldások: és nem kompatibilisek, így az eredeti rendszernek nincs megoldása. ${\begin{cases}2x-3<3x-5\\2x+4>8x\end{cases))$ $x>2$ $x<{2 \over 3},$

Másodfokú egyenlőtlenségek

A másodfokú egyenlőtlenség általános formája ( másodfokú egyenlőtlenségnek is nevezik ):

x^{2}+px+q>0

vagy

x^{2}+px+q<0.

Ha a másodfokú egyenletnek valós gyökerei vannak , akkor az egyenlőtlenség a következő alakra redukálható: $x^{2}+px+q=0$ $x_{1},x_{2},$

(x-x_{1})(x-x_{2})>0

vagy

(x-x_{1})(x-x_{2})<0.

Az első esetben, és ugyanazokkal a jelekkel kell rendelkeznie, a másodikban - különböző. A végső válaszhoz a következő egyszerű szabályt kell alkalmazni [4] . ${\displaystyle x-x_{1))$ ${\displaystyle x-x_{2))$

A különböző valós gyökökkel rendelkező négyzetes trinom negatív a gyökök közötti intervallumban, és pozitív ezen az intervallumon kívül. $x^{2}+px+q$

Ha kiderült, hogy az egyenletnek nincs valós gyöke, akkor a bal oldala mindenkinek ugyanazt az előjelét megtartja , ezért a másodfokú eredeti egyenlőtlenség vagy azonosság, vagy nincs megoldása (lásd az alábbi példákat [5] ). $x^{2}+px+q=0$ $x.$

1. példa . -vel osztva az egyenlőtlenséget a formába hozzuk: A másodfokú egyenlet megoldása után megkapjuk a gyököket , tehát az eredeti egyenlőtlenség ezzel ekvivalens: A fenti szabály szerint ez a válasz. $-2x^{2}+14x-20>0.$ $-2,$ $x^{2}-7x+10<0.$ $x^{2}-7x+10=0,$ $x_{1}=2;x_{2}=5,$ $(x-2)(x-5)<0.$ $2<x<5,$

2. példa . Hasonlóképpen megkapjuk, hogy és ugyanazok a jelek, vagyis a szabály szerint, ill $-2x^{2}+14x-20<0.$ $x-2$ $x-5$ $x<2,$ $x>5.$

3. példa . Az egyenletnek nincsenek valódi gyökerei, így a bal oldala mindenkinek megtartja előjelét. A bal oldal pozitív, tehát az eredeti egyenlőtlenség azonosság (mindenre igaz ). $x^{2}+6x+15>0.$ $x^{2}+6x+15=0$ $x.$ $x=0$ $x$

4. példa . Az előző példához hasonlóan itt is a bal oldal mindig pozitív, így az egyenlőtlenségnek nincs megoldása. $x^{2}+6x+15<0.$

Hasonlóan faktorálással nagyobb fokú egyenlőtlenségeket is meg lehet oldani. Egy másik módszer a bal oldali grafikon felépítése és annak meghatározása, hogy milyen előjelei vannak különböző intervallumokban [6] .

Egyéb egyenlőtlenségek

Vannak tört racionális, irracionális, logaritmikus és trigonometrikus egyenlőtlenségek is.

Néhány jól ismert egyenlőtlenség

Az alábbiakban gyakorlatilag hasznos egyenlőtlenségeket mutatunk be, amelyek azonosan teljesülnek, ha az ismeretlenek a megadott határok közé esnek [7] .

$a+{1 \over a}\geqslant 2,$ ahol az egyenlőség csak arra érvényes $a>0.$ $a=1.$
${\sqrt {ab}}\leqslant {a+b \over 2},$ ahol Jelentés: két szám mértani közepe nem haladja meg a számtani átlagukat . Az egyenlőség csak akkor valósul meg $a,b>0.$ $a=b.$
Az egyenlőtlenség az eszközökkel kapcsolatban
Bernoulli-egyenlőtlenség :

(1+x)^{n}\geqslant 1+nx,

ahol egy pozitív szám nagyobb, mint 1.

x\geqslant -1,n

|a+b|\leqslant |a|+|b|

Az egyenlőtlenség következményeiről lásd az Abszolút érték című cikket .

Egyenlőtlenségi jelek programozási nyelvekben

A „nem egyenlő” szimbólum különböző programozási nyelvekben eltérően van írva .

szimbólum	nyelvek
!=	C , C++ , C# , Java , JavaScript , Perl , PHP , Python , Wolfram nyelv
<>	Basic , Pascal , 1C
~=	Lua
/=	Haskell , Fortran , Ada
#	Modula-2 , Oberon

Egyenlőtlenség jelkódok

szimbólum	kép	Unicode		Orosz név	HTML			Latex
szimbólum	kép	a kód	cím	Orosz név	hexadecimális	decimális	mnemonika	Latex
<	$<$	U+003C	Kevesebb, mint jel	Kevésbé	<	<	<	<, \textless
>	$>$	U+003E	Nagyobb, mint a jel	Több	>	>	>	>, \textgreater
⩽	$\leqslant$	U+2A7D	Kisebb vagy ferde egyenlő	Kisebb vagy egyenlő	⩽	⩽	Nem	\leqslant
⩾	$\geqslant$	U+2A7E	Nagyobb vagy ferde egyenlő	Több vagy egyenlő	⩾	⩾	Nem	\geqslant
≤	$\leq$	U+2264	Kisebb vagy egyenlő	Kisebb vagy egyenlő	≤	≤	≤	\le, \leq
≥	$\geq$	U+2265	Nagyobb vagy egyenlő	Több vagy egyenlő	≥	≥	≥	\ge, \geq
≪	$\ll$	U+226A	Sokkal kevesebb, mint	Sokkal kevesebb	≪	≪	Nem	\ll
≫	$\gg$	U+226B	Sokkal nagyobb, mint	Sokkal több	≫	≫	Nem	\gg

Lásd még

Összehasonlítás (programozás)

Jegyzetek

↑ 1 2 Egyenlőtlenségek // Mathematical Encyclopedia (5 kötetben) . - M .: Szovjet Enciklopédia , 1982. - T. 3. - S. 999.
↑ Az elemi matematika kézikönyve, 1978 , p. 177.
↑ Az elemi matematika kézikönyve, 1978 , p. 178.
↑ Elemi matematika, 1976 , p. 217-222.
↑ Az elemi matematika kézikönyve, 1978 , p. 180-181.
↑ Elemi matematika, 1976 , p. 212-213, 219-222.
↑ Az elemi matematika kézikönyve, 1978 , p. 174-176.

Irodalom

Beckenbach E.F. Egyenlőtlenségek. - M .: Mir, 1965.
Vygodsky M. Ya. Az elemi matematika kézikönyve . - M .: Nauka, 1978.
- Újrakiadás: M.: AST , 2006, ISBN 5-17-009554-6 , 509 p.
Zajcev V. V., Ryzhkov V. V., Skanavi M. I. Alapfokú matematika. Ismételje meg a tanfolyamot. - Harmadik kiadás, sztereotip. — M .: Nauka, 1976. — 591 p.
Hardy G. G., Littlewood D. I., Polia D. Egyenlőtlenségek. - M . : Külföldi irodalom, 1948.

Matematikai jelek

Plusz ( + )
Mínusz ( - )
Szorzójel ( · vagy × )
Osztályjel ( : vagy / )
Obelus ( ÷ )
Gyökér jel ( √ )
Faktoriális ( ! )
Integrált jel ( ∫ )
Nabla ( ∇ )
egyenlőségjel ( = , ≈ , ≡ stb. )
Egyenlőtlenség jelei ( ≠ , > , < stb. )
Arányosság ( ∝ )
zárójelek ( ( ) , [ ] , ⌈ ⌉ , ⌊ ⌋ , { } , ⟨ ⟩ )
Függőleges sáv ( | )
Perjel, perjel ( / )
fordított perjel, fordított perjel ( \ )
Végtelen jel ( ∞ )
Fokozatjel ( ° )
Stroke ( ′ , ″ , ‴ , ⁗ )
Csillag ( * )
Százalék ( % )
Ppm ( ‰ )
Tilde ( ~ )
Karet ( ^ )
Circumflex ( ˆ )
Plusz-mínusz ( ± )
Mínusz-plusz jel ( ∓ )
Tizedes elválasztó ( , vagy . )
bizonyítási karakter vége ( ∎ )