Bernoulli egyenlőtlensége

Bernoulli egyenlőtlensége kimondja [1] : ha , akkor $x>-1$

(1+x)^{n}\geqslant 1+nx

minden természetesnek

n\geqslant 1.

Bizonyítás

Az egyenlőtlenség bizonyítása a matematikai indukció módszerével történik n- en . n = 1 esetén az egyenlőtlenség nyilvánvalóan igaz. Tegyük fel, hogy igaz n -re , bizonyítsuk be, hogy n +1-re igaz:

(1+x)^{n+1}=(1+x)(1+x)^{n}\geqslant (1+x)(1+nx)\geqslant (1+nx)+x =1+(n+1)x

h.t.d.

Általánosított Bernoulli-egyenlőtlenség

Az általánosított Bernoulli-egyenlőtlenség kimondja [1] , hogy for és : $x > -1 \!\$ $n\in\mathbb{R}$

ha , akkor $n\in(-\infty ;0)\cup(1;+\infty )$ $(1+x)^{n}\geqslant 1+nx$
ha , akkor $n\in(0;1) \!\$ $(1+x)^{n}\leqslant 1+nx$
míg az egyenlőség két esetben valósul meg: $\left[\begin{mátrix} \forall x\neq -1, n=0, n=1 \\ \forall n\neq 0, x=0 \end{mátrix}\jobbra.$

Bizonyíték

Fontolja meg , és . Származék : , óta . A függvény kétszer differenciálható a pont szúrt környezetében . Ezért . Kapunk: $f(x)=(1+x)^n-nx \!\$ $x>-1,n \neq 0, n \neq 1 \!\$
$f'(x)=n(1+x)^{n-1}-n=0 \!\$ $x=x_0=0 \!\$ $n \neq 0 \!\$
$f\!\$ $x_0 \!\$ $f''(x)=n(n-1)(1+x)^{n-2} \!\$

$f''(x)>0 \!\$ ⇒ órakor $f(x)\geqslant f(x_{0})\!\$ $n\in(-\infty ;0)\cup(1;+\infty )$
$f''(x)<0 \!\$ ⇒ órakor $f(x)\leqslant f(x_{0})\!\$ $n\in(0;1) \!\$

A függvény értéke tehát a következő állítások igazak: $f(x_0)=1 \!\$

ha , akkor $n\in(-\infty ;0)\cup[1;+\infty )$ $(1+x)^{n}\geqslant 1+nx$
ha , akkor $n\in(0;1] \!\$ $(1+x)^{n}\leqslant 1+nx$

Könnyen belátható, hogy a vagy a megfelelő értékei esetén a függvény . Ebben az esetben a végső egyenlőtlenségben a bizonyítás elején megadott korlátozások eltűnnek, mivel az egyenlőség érvényes rájuk. ■ $x_0=0 \!\$ $n=0, n=1 \!\$ $f(x)=f(x_0) \!\$ $n\!\$

Jegyzetek

Az egyenlőtlenség (at ) esetén is érvényes , ha kizárjuk azt az esetet, amikor a nullát nulla hatványára kapjuk . Az eset bizonyítása ugyanazzal a matematikai indukciós módszerrel végezhető el: $x\geqslant-2$ $n\in\mathbb{N}_0$ $x\in\bal[-2,-1\jobb)$

(1+x)^{n+1}+(1+x)^{n}=(1+x)^{n}(1+x+1)\geqslant (1+nx)(1 +x+1)=1+(n+1)x+1+nx(1+x).

Mióta elégedett , akkor . $x\in\bal[-2,-1\jobb)$ $(1+x)^{n}\leqslant 1\leqslant 1+nx(1+x)$ $(1+x)^{n+1}\geqslant 1+(n+1)x$

Jegyzetek

↑ 1 2 Bronstein, Semendyaev, 1985 , p. 212.

Irodalom

Bronshtein IN , Semendyaev KA Matematikai kézikönyv mérnököknek és középiskolásoknak . - szerk. 13. - M. : Nauka, 1985. - 544 p.