Fordított elem

Az inverz elem egy kifejezés az általános algebrában , amely általánosítja a reciprok szám (szorzás) és az ellentétes szám (összeadás) fogalmát.

Definíciók

Legyen egy halmaz , amelyen egy bináris művelet van definiálva , amelyet egy pont ( ) jelöl, semleges elemmel . Legyen a halmaz tetszőleges elemeinek párja . Ha az egyenlőség igaz, akkor jobboldali inverzének (vagy jobboldali inverzének ) nevezzük . $(M,\cdot )$ $M,$ $\cdot$ $e$ $x,y$ $M$ $x\cdot y=e,$ $y$ $x$

Hasonlóképpen, ha az egyenlőség teljesül, akkor bal inverznek (balról fordítottnak ) nevezzük $y\cdot x=e,$ $y$ $x.$

Egy olyan elem , amely mind a jobb, mind a bal inverze, vagyis olyan, amelyet egyszerűen az inverzének nevezünk , és jelöljük . Azt az elemet, amelyhez van inverz elem, invertálhatónak mondjuk . $y\in M$ $x$
$x\cdot y=y\cdot x=e,$
$x$ $x^{{-1}}$

Jegyzetek

A fenti definíciót szorzó jelöléssel adjuk meg. Ha additív jelölést használunk , akkor az inverz elemet ellentétes elemnek nevezzük és jelöljük . $(M+)$ $-x$
Általánosságban elmondható, hogy ugyanannak az elemnek több bal inverze és több jobb oldali inverze is lehet, és a balnak nem kell egyeznie a jobboldalival. $x\-ben M$

Tulajdonságok

Legyen a művelet asszociatív . Ekkor ha egy elemnek bal inverz és jobb oldali inverz elemei vannak, akkor ezek egyenlőek és egyediek. $\cdot$ $x\-ben M$

Következmény : monoidban minden elemnek legfeljebb egy inverze van. A monoid minden invertálható eleme egy csoportot alkot ; ez a csoport nem üres, mivel legalább egy semleges elemet tartalmaz.

Példák

Sok	bináris művelet	Fordított elem
Valós számok	$+$ ( kiegészítés )	$-x$ ( ellentétes szám )
A valós számok nem egyenlők nullával	$\cdot$ ( szorzás )	$1/x$ ( kölcsönös )
Funkciók megtekintése $f:M\ to M$	$\circ$ ( funkció összetétele )	$f^{-1}$ ( inverz függvény )

Lásd még

Csoport