Sgn

sgn (signum, latin signum - jel)valós argumentum darabonként állandó függvénye . Kijelölve. A következőképpen definiálva: $\operátornév{sgn} x$

\operátornév{sgn} x={\begin{cases}\ \ 1,&x>0\\\ \ 0,&x=0\\-1,&x<0\end{cases}}

A függvény nem elemi .

Gyakran használt reprezentáció

\operatorname {sgn} x={\frac {d}{dx}}|x|

Ebben az esetben a modul nullánál lévő deriváltját , amely szigorúan véve nincs definiálva, tovább definiálja a megfelelő bal és jobb származékok számtani átlaga .

A funkciónak vannak alkalmazásai a jelfeldolgozás elméletében , a matematikai statisztikákban és a matematika egyéb területein, ahol kompakt jelölés szükséges a szám előjelének jelzéséhez .

Történelem és megnevezések

A funkciót Leopold Kronecker vezette be 1878-ban, eleinte másként jelölte: . 1884-ben a Kroneckernek egy cikkben kellett használnia az " integer part " függvényt , amelyet szintén szögletes zárójelek jeleztek. A félreértések elkerülése érdekében Kronecker bevezette a jelölést , amely (az érvelés előtti pont levonása után) a tudományban rögzített. Néha egy függvényt . $\operátornév{sgn} x$ $[x]$ $\operátornév{sgn}$ $sgn.x$ $\operatorname {sign} x$

Funkció tulajdonságai

Meghatározási tartomány : . $\mathbb {R}$
Értéktartomány : . $\{-1;0;+1\}$
A nulla kivételével minden ponton sima .
A függvény páratlan .
A pont az első típusú megszakítási pont , mivel a nullától jobbra és balra eső határértékek egyenlőek , ill. $x=0$ $+1$ $-egy$
$|x|=\operátornév{sgn} x\cdot x$ és . _ Más szavakkal, $x=\operátornév{sgn} x\cdot |x|$ $\forall x\in {\mathbb {R}}$

\operatorname {sgn} x={x \over |x|}={|x|  \over x}

at .

x \ne 0

${\frac {d}{dx}}\operátornév{sgn} x=2\cdot \delta (x)$ , ahol a Dirac delta függvény . $\delta(x)$
$\operátornév{sgn} x\cdot \operátornév{sgn} y=\operátornév{sgn}(x\cdot y)$ .
$\operátornév{sgn} x={\frac {2}{\pi }}\int _{{0}}^({\infty }}{\frac {\sin tx}{t}}dt$ .

Függvényáltalánosítások összetett argumentumhoz

Teljesítmény

\operatorname {sgn} z={\begin{cases}{\frac {z}{|z|}},&z\neq 0\\0,&z=0\end{cases}}

megadja az előjelfüggvény egyik lehetséges általánosítását a komplex számok halmazára . Ebben az esetben hol van a komplex szám argumentuma . Amikor a függvény eredménye az egységkör számhoz legközelebb eső pontja . Ennek az általánosításnak az a jelentése, hogy az egységnyi hosszúságú sugárvektort használjuk a számnak megfelelő komplex síkon az irány megjelenítésére . Ugyanez a polárkoordináták iránya határozza meg a szöget . A számnak megfelelő határozatlan irányt a függvény nulla értéke fejezi ki. Például így van definiálva a szignum függvény a Haskell nyelvű komplex számok standard könyvtárában [1] . ${\frac {z}{|z|}}=\cos \varphi +i\sin \varphi =e^{i\varphi }$ $\varphi =\operátornév {Arg} z$ $z$ $z\neq 0$ $\operatorname {sgn} z$ $z$ $z$ $\varphi$ $z=0$

A függvény általánosításának egy másik változata, amelyet a következőképpen jelölünk : $\operátornév {csgn}$

\operátornév {csgn} (z)={\begin{cases}1,&\operátornév {Re} z>0\\-1,&\operátornév {Re} z<0\\\operátornév {sgn} \operátornév {Im} z&\operátornév {Re} z=0\end{cases}}

Ezt az általánosítást használják például a Mathcad és a Maple [2] alkalmazásokban .

Lásd még

Heaviside funkció

Jegyzetek

↑ Simon Peyton Jones (szerkesztő) et al. 13. Komplex számok // Haskell 98 Language and Libraries : The Revised Report. – 2002.
↑ Maple V dokumentáció. 1998. május 21

Irodalom

Bronstein I. N., Semendyaev K. A. A matematika kézikönyve. — M .: Nauka, 1964. — 608 p.
Vodnev V. T., Naumovich A. F., Naumovich N. F. Matematikai alapképletek . Könyvtár. - Minszk: Felsőiskola, 1988. - 269 p.