Komplex funkció

A komplex függvény egy komplex változó függvényelméletének fő tárgya, egy komplex argumentum komplex értékű függvénye: . $f\colon \mathbb {C} \to \mathbb {C}$

Valós változó komplex értékű függvénye mellett a következőképpen is ábrázolható:

f(z)=u(z)+iv(z)

ahol és egy komplex argumentum valós értékű függvényei, amelyeket a függvény valós és képzetes részének nevezünk . A valódi függvényekkel ellentétben a bővítési komponensek között mélyebb kapcsolat van, például ahhoz, hogy egy függvény egy komplex változó függvénye értelmében differenciálható legyen, a Cauchy -Riemann feltételeknek teljesülniük kell : $u(z)$ $v(z)$ $F z)$ $F z)$

{\frac {\partial u}{\partial x}}={\frac {\partial v}{\partial y}}

;

{\frac {\partial u}{\partial y))=-{\frac {\partial v}{\partial x))

Példák egy összetett változó analitikus függvényeire : hatványfüggvény , exponenciális , gammafüggvény , Riemann zéta függvény , spinális függvény és még sok más, valamint ezek inverz függvényei és ezek bármilyen kombinációja. A komplex szám valós része , az imaginárius része , a komplex konjugáció , a modulus és az argumentum azonban nem egy komplex változó analitikus függvényei, mivel nem teljesítik a Cauchy-Riemann feltételeket. ${\mathrm {Re}}\,z$ ${\mathrm {Im}}\,z$ ${\barz}$ $r=|z|$ $\varphi (z)$

Irodalom

Shabat BV Bevezetés a komplex elemzésbe. - M .: Nauka , 1969 . — 577 p.
Titchmarsh E. Függvényelmélet: Per. angolról. - 2. kiadás, átdolgozva. - M .: Nauka , 1980 . — 464 p.
Privalov II. Bevezetés egy komplex változó függvényelméletébe: Kézikönyv a felsőoktatás számára. - M. - L .: Állami Könyvkiadó, 1927 . — 316 p.
Evgrafov M. A. Analitikai függvények. - 2. kiadás, átdolgozva. és további - M .: Nauka , 1968 . — 472 p.
Sveshnikov A. G., Tikhonov A. N. Egy komplex változó függvényeinek elmélete. - M. : Nauka, 1974. - 320 p.