Norm (térelmélet)

A norma egy K mező véges E kiterjesztésének elemeinek leképezése az eredeti K mezőbe , a következőképpen definiálva:

Legyen E a K mező n fokú véges kiterjesztése, az E mező valamely eleme . Mivel E vektortér K felett , ez az elem lineáris transzformációt határoz meg . Ez a transzformáció bizonyos alapokon a mátrixhoz köthető . Ennek a mátrixnak a determinánsát az α elem normájának nevezik . Mivel egy másik alapon a leképezés egy hasonló mátrixnak fog megfelelni $\alpha$ $x\mapsto \alpha x$ ugyanazzal a determinánssal a norma nem függ a választott alaptól, vagyis egy kiterjesztési elem egyedileg társítható a normájához. Jelöljük vagy egyszerűen , ha egyértelmű, hogy melyik kiterjesztésről van szó. $N_{K}^{E}(\alpha )$ $N(\alpha )$

Tulajdonságok

$N(\alpha )=0$ akkor és csak akkor . $\alpha =0$
$N_{K}^{E}(\alpha )=\alpha ^{[E:K]}$ bárkinek $\alpha \in K$
$N(\alpha \beta )=N(\alpha )\cdot N(\beta )$
A norma tranzitív, vagyis egy olyan kiterjesztési láncra, amelyre rendelkezünk $K\alhalmaz E\alhalmaz F$ $N_{K}^{E}(N_{E}^{F}(\alpha ))=N_{K}^{F}(\alpha )$
Ha E = K ( α ) egy egyszerű algebrai kiterjesztés és f ( x ) = x n + a n -1 x n -1 + … + a 1 x+ a 0 az α minimális polinom , tehát ${\displaystyle N_{K}^{E}(\alpha )=(-1)^{n}a_{0))$

A norma kifejezése az E automorfizmusaival K felett

Legyen σ 1 , σ 2 … σ m E minden olyan automorfizmusa, amely a K mező elemeit rögzítve tartja . Ha E egy Galois-kiterjesztés , akkor m egyenlő az [ E : K ] = n fokozattal . Ekkor a következő kifejezés létezik a normára:

$N_{K}^{E}(\alpha )=\sigma _{1}(\alpha )\sigma _{2}(\alpha )\ldots \sigma _{m}(\alpha )$

Ha E nem elválasztható, akkor m≠n , de n m többszöröse , és a hányados a p karakterisztikus valamely hatványa .

Akkor $N_{K}^{E}(\alpha )=(\sigma _{1}(\alpha )\sigma _{2}(\alpha )\ldots \sigma _{m}(\alpha )) ^{n/m}.$

Példa

Legyen R a valós számok mezeje , C az R kiterjesztésének tekintett komplex számok mezeje . Ekkor a bázisban a szorzás megfelel a mátrixnak ${\megjelenítési stílus (1,i)}$ $a+bi$

{\begin{pmatrix}a&-b\\b&a\end{pmatrix}}

Ennek a mátrixnak a determinánsa , vagyis egy komplex szám szokásos modulusának négyzete . Vegye figyelembe, hogy ezt a normát általában a következőképpen határozzák meg, és ez jól egyezik azzal a ténnyel, hogy a komplex számok területének egyetlen nem triviális automorfizmusa a komplex konjugáció . $a^{2}+b^{2}$ $|z|^{2}=z{\bar {z)),$

Lásd még

Irodalom

Van der Waerden B. L. Algebra. - M .: Nauka, 1975.
Zarissky O., Samuel P. Kommutatív algebra. - M. : IL, 1963. - T. 1.
Leng S. Algebra. - M .: Mir, 1967.