Tömörítő térképezés

A kontrakciós leképezés egy metrikus tér önmagába való leképezése , amely valamilyen erős értelemben csökkenti a pontok közötti távolságot.

Definíció

Legyen egy operátor definiálva egy metrikus téren . Szűkülésnek nevezzük, ha létezik olyan nemnegatív szám , amely bármely két pontra egyenlőtlenséget jelent $({\mathbb {M)],\rho )$ $V:{\mathbb {M}}\to {\mathbb {M}}$ ${\mathbb {M}}$ $\alpha<1$ $x,y\in {\mathbb {M}}$

{\rho (Ax,Ay)\leqslant \alpha {\cdot }\rho (x,y)}

Tulajdonságok

(Folytonosság) Legyen egy metrikus tér és egy összehúzódási operátor a -n . Ezután egy folyamatos funkció be van kapcsolva . $({\mathbb {M)],\rho )$ ${\mathbb {}}A$ ${\mathbb {M}}$ ${\mathbb {}}A$ ${\mathbb {M}}$

(Rögzített pont) A Banach-tétel szerint a teljes metrikus térre vonatkozó összehúzódási leképezésnek egyedi fix pontja van :

{\mathbb {}}x^{{*}}:Ax^{{*}}=x^{{*}}

(Iteratív sorozat) Ha a metrikus tér egy tetszőleges elemét vesszük, és egy elemsorozatot veszünk figyelembe , akkor ez az iteratív sorozat az operátor fix pontjához fog konvergálni . $x$ $x,Ax,A^{2}x,...$ $A$

Alkalmazás

Egyenletek numerikus megoldása
Létezési és egyediségi tételek differenciál- és integrálegyenletekben .

Linkek

A. N. Kolmogorov, S. V. Fomin. A függvényelmélet és a funkcionális elemzés elemei. - 4. kiadás - M .: Nauka, 1976. - 544 p.
Zorich V.A. Matematikai elemzés , - Bármelyik kiadás.