Transzcendentális szám

A transzcendentális szám (a latin  transzcendere  - átadni, túllépni) olyan valós vagy komplex szám , amely nem algebrai  - más szóval olyan szám, amely nem lehet egy egész együtthatós polinom gyöke (nem azonos nullával) . 1] . A definícióban a polinomokat egész együtthatóval helyettesíthetjük racionális együtthatós polinomokkal, mivel ezeknek ugyanazok a gyökerei.

Tulajdonságok

Minden komplex szám két nem átfedő osztályra van osztva - algebrai és transzcendentális. Halmazelmélet szempontjából sokkal több transzcendentális szám létezik, mint algebrai: a transzcendentális számok halmaza folytonos , az algebrai számok halmaza megszámlálható .

Minden transzcendentális valós szám irracionális , de fordítva nem igaz. Például egy szám  irracionális, de nem transzcendens: egy egyenlet gyöke (és ezért algebrai).

Ellentétben az algebrai számok halmazával, amely egy mező , a transzcendentális számok nem alkotnak semmilyen algebrai struktúrát az aritmetikai műveletek tekintetében - a transzcendentális számok összeadása, kivonása, szorzása és osztása lehet transzcendentális szám és algebrai szám is. Van azonban néhány korlátozott mód arra, hogy egy másik transzcendens számból transzcendens számot kapjunk.

1. Az if  transzcendentális szám, akkor és szintén transzcendentális.
2. Ha  egy nem nulla algebrai szám és  egy transzcendentális szám, akkor transzcendentálisak.
3. Ha  transzcendentális szám és természetes szám , akkor transzcendentális szám  is .

Szinte bármely ( a Lebesgue-mérték értelmében ) transzcendentális szám irracionalitásának mértéke 2.

Példák transzcendentális számokra

• Szám ( F. von Lindemann , 1882).
• Szám ( Sh. Remete , 1873).
• Gelfond-állandó ( A. O. Gelfond , 1934).
• , ( Yu. V. Neszterenko , 1996).
• Bármely természetes szám decimális logaritmusa [2] , kivéve a formájú számokat .
• és , bármely nem nulla algebrai számra ( a Lindemann-Weierstrass tétel alapján ).

Történelem

A transzcendentális szám fogalmát (és magát ezt a kifejezést) először Leonhard Euler vezette be „ De relation inter tres pluresve quantitates instituenda ” című munkájában (1775) [3] . Euler már az 1740-es években foglalkozott ezzel a témával [4] ; kijelentette, hogy a racionális számok logaritmusának értéke nem algebrai („ gyökös ”, ahogy akkor mondták) [5] , kivéve azt az esetet, amikor valamely racionális Euler-állítás igaznak bizonyult, de ezt csak a 20. század.

A transzcendentális számok létezését Joseph Liouville bizonyította 1844 - ben , amikor közzétett egy tételt , miszerint egy algebrai számot nem lehet túl jól közelíteni racionális törttel. Liouville konkrét példákat konstruált (" Liouville-számok "), amelyek a transzcendentális számok első példái lettek.

1873- ban Charles Hermite bebizonyította a természetes logaritmusok alapja, az e szám meghaladását. 1882 -ben Lindemann bebizonyította a transzcendencia tételt egy e szám fokára nem nulla algebrai kitevővel, ezzel bizonyítva a szám transzcendenciáját és a kör négyzetesítési feladatának megoldhatatlanságát .

1900-ban, a II. Nemzetközi Matematikus Kongresszuson Hilbert az általa megfogalmazott problémák között megfogalmazta a hetedik problémát : „Ha ,  algebrai szám, és  algebrai, de irracionális, igaz, hogy  transzcendentális szám?” Konkrétan a szám transzcendentális ? Ezt a problémát 1934-ben Gelfond oldotta meg , aki bebizonyította, hogy minden ilyen szám valóban transzcendentális.

Változatok és általánosítások

A Galois-elmélet egy általánosabb definíciót vesz figyelembe: egy P mezőbővítés eleme transzcendentális, ha nem egy P feletti polinom gyöke .

Létezik analógja a transzcendentális számok elméletének a p-adikus számok mezőjében definiált egész együtthatós polinomokra [1] .

Néhány nyitott probléma

• Nem ismert, hogy a szám racionális vagy irracionális , algebrai vagy transzcendens [6] .
• A számok irracionalitásának mértéke ismeretlen [7] .

Lásd még

• A periódusok gyűrűje
• A transzcendencia foka

Jegyzetek

1. ↑ 1 2 Matematikai enciklopédia, 1985 .
2. ↑ Gelfond A. O. , Transzcendentális és algebrai számok, M., 1952.
3. ↑ Zsukov A. Algebrai és transzcendentális számok . Letöltve: 2017. augusztus 9. (határozatlan)
4. ↑ Gelfond A. O. Transzcendentális és algebrai számok. - M. : GITTL, 1952. - S. 8. - 224 p.
5. ↑ Euler, L. Introductio in analysin infinitorum  (lat.) . – Lausanne, 1748.
6. ↑ Weisstein, Eric W. π szám  (angolul) a Wolfram MathWorld webhelyen .
7. ↑ Weisstein, Eric W. Az irracionalitás  mértéke a Wolfram MathWorldnél .

Irodalom

• Sprindzhuk V. G. Transzcendentális szám // Matematikai enciklopédia  : [5 kötetben] / Ch. szerk. I. M. Vinogradov . - M . : Szovjet Enciklopédia, 1985. - T. 5: Slu - Ya. - S. 426-427. - 1248 stb. : ill. — 150.000 példány.
• Feldman N. Algebrai és transzcendentális számok  // Kvant . - 1983. - 7. sz . - S. 2-7 .

Szótárak és enciklopédiák	Nagy katalán Nagy orosz Britannica (online) Universalis
Bibliográfiai katalógusokban	BNF : 11939601n J9U : 987007538746705171 LCCN : sh85093223 NDL : 00573599 NKC : ph215331