Lindemann-Weierstrass tétel

A Lindemann–Weierstrass-tétel , amely a Lindemann-tétel általánosítása, a számok nagy osztályának transzcendenciáját bizonyítja. A tétel a következőket mondja ki [1] :

Ha különböző algebrai számok lineárisan függetlenek -tól , akkor algebrailag függetlenek -tól , azaz a kiterjesztés transzcendenciájának mértéke $\alpha _{1},\alpha _{2},\dots \alpha _{n}$ $\mathbb {Q}$ $e^{{\alpha _{1}}},e^{{\alpha _{2}}},\dots e^{{\alpha _{n}}}$ $\mathbb {Q}$ ${\mathbb {Q}}(e^{{\alpha _{1}}},e^{{\alpha _{2}}},\dots e^{{\alpha _{n}}})$ $n$

Egy másik ekvivalens megfogalmazást gyakran használnak [2] :

Bármilyen eltérő algebrai szám esetén a számok lineárisan függetlenek az algebrai számok területén . $\alpha _{1},\alpha _{2},\dots \alpha _{n}$ $e^{{\alpha _{1}}},e^{{\alpha _{2}}},\dots e^{{\alpha _{n}}}$ $\overline {{\mathbb {Q}}}$

Történelem

1882-ben Lindemann bebizonyította, hogy ez minden nullától eltérő algebra esetén transzcendentális [3] , 1885 -ben pedig Karl Weierstrass bizonyította a fenti általánosabb állítást. $e^{\alpha }$ $\alpha$

Az e és π számok transzcendenciája könnyen következik a Lindemann-Weierstrass tételből .

π transzcendenciájának bizonyítása

Az ellentmondásos bizonyítási módszert alkalmazzuk . Tegyük fel, hogy a szám algebrai. Ekkor a szám , ahol az imaginárius egység , szintén algebrai, ezért a Lindemann-Weierstrass-tétel szerint a szám transzcendentális, de az Euler-azonosság szerint egyenlő a algebrai számmal , ami ellentmondást okoz. Ezért a szám transzcendentális. $\pi$ $i\pi$ $én$ $e^{i\pi }$ $-egy$ $\pi$

Jegyzetek

↑ Weisstein, Eric W. Lindemann–Weierstrass-tétel (angolul) a Wolfram MathWorld weboldalán .
↑ Alan Baker. Transzcendentális számelmélet. - Cambridge University Press, 1975. - ISBN 052139791X . . 1. fejezet, 1.4. Tétel.
↑ F. Lindemann. Über die Zahl π (német) // Mathematische Annalen. — bd. 20 (1882) . - S. 213-225 .

Irodalom

Leng S. Algebra. - Moszkva: Mir, 1968. - 564 p.
Shidlovsky A. B. "Diofantin közelítések és transzcendentális számok" (M. FIZMATLIT, 2007) ISBN 978-5-9221-0720-4