Erdős-Borwein állandó

Az Erdős-Borwein állandó egy matematikai állandó , amely egyenlő a Mersenne-számok reciprokainak összegével . Nevét Erdős Pálról és Borwein Péterről kapta , akik kulcsfontosságú ingatlanait alapították .

Definíció szerint a konstans:

E=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}-1))

ami hozzávetőlegesen 1,606 695 152 415 291 763 783 301 523 190 924 580 480 579 671 505 756 435 778 079 553 778 079 553 691 408 691 408 40

Egyenértékű formák

Megmutatható, hogy a következő összegek ugyanazt az állandót adják:

E=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n^{2)))){\frac {2^{n}+1}{2 ^{n}-1}}

{\displaystyle E=\sum _{m=1}^{\infty }\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{mn))))

E=1+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}(2^{n}-1)))

{\displaystyle E=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sigma _{0}(n)}{2^{n))))

ahol az osztók szorzófüggvénye egyenlő a szám pozitív osztóinak számával . E képletek egyenértékűségének bizonyítására azt a tényt használjuk fel, hogy mindegyik a Lambert sorozatot képviseli [2] . $\sigma _{0}(n)=d(n)$ $n$

Irracionalitás

Erdős 1948 -ban kimutatta, hogy a konstans irracionális szám [3] . Borwein később alternatív bizonyítást mutatott be [4] .

Bár irracionális, egy konstans bináris reprezentációja hatékonyan számítható ki: Knuth a The Art of Programming 1998-as kiadásában megjegyezte, hogy a számítás elvégezhető a Clausen-sor segítségével, amely nagyon gyorsan konvergál [5] .

Alkalmazások

Az Erdős-Borwein konstans a halomrendezési algoritmus viselkedésének elemzésekor adódik [6]

Linkek

↑ OEIS szekvencia A065442 _
↑ Az első ilyen képletet Knuth vezette be 1998-ban; Knuth Thomas Clausen 1828-as munkájára hivatkozik
↑ Erdős, Pal (1948), On aritmetical properties of Lambert series , J. Indian Math. szoc. (NS) Vol . 12: 63–66 , < http://www.renyi.hu/~p_erdos/1948-04.pdf > Az eredetiből archiválva 2016. július 14-én.
↑ Borwein, Peter B. (1992), Egyes sorozatok irracionalitásáról , Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society 112. kötet (1): 141–146 , DOI 10.1017/S030500410007081X
↑ Crandall, Richard (2012), The googol-th bit of the Erdős–Borwein konstans , Integers T. 12: A23 , DOI 10.1515/integers-2012-0007
↑ Knuth, Donald (1998), A számítógép-programozás művészete , 1. évf. 3: Sorting and Searching (2. kiadás), Reading, MA: Addison-Wesley, p. 153–155 .

Irodalom

Weisstein, Eric W. Erdos-Borwein Constant (angol) a Wolfram MathWorld webhelyén .

Irracionális számok
Apéry állandó ( ζ(3) ) Erdős-Borwein állandó ( E ) Feigenbaum állandók Szofomor álom Prímszám állandó (ρ) Műanyag szám (ρ) Kettős logaritmus (ln 2) 2 12. gyöke ( 12 √ 2 ) 2 négyzetgyöke ( √ 2 ) 3 négyzetgyöke ( √ 3 ) 5 négyzetgyöke ( √5 ) Arany arány (φ) Szuper aranymetszés (ψ) Ezüst metszet ( δS ) e π Gelfond állandó ( e π ) Gelfond-Schneider állandó ( 2 √ 2 ) Inverz Fibonacci-állandó (ψ)
transzcendentális Trigonometrikus