Gyökér (matematika)

Ez a cikk a gyökérkivonásról szól . Lásd még: Egyenletgyök és polinomgyök .

Egy szám th- edik fokának gyöke $n$ [1] olyan számként van definiálva , hogy Itt egy természetes szám , amelyet a gyök kitevőjének (vagy a gyök fokának) nevezünk; általában nagyobb vagy egyenlő, mint 2, mert az eset nem érdekes. $a$ $b$ $b^{n}=a.$ $n$ $n=1$

Jelölés: A jobb oldalon található szimbólumot ( gyökjelet ) radikálisnak nevezzük . A szám ( gyökkifejezés ) leggyakrabban valós vagy összetett , de vannak általánosítások más matematikai objektumokra is , például maradékokra , mátrixokra és operátorokra , lásd alább a #Variációk és általánosítások című részt . $b={\sqrt[{n}]{a}},$ $a$

Példák valós számokra:

A 9-es szám 2. fokának gyökei és mindkét számnak ugyanaz a négyzete és egyenlők 9 $+3$ $-3,$
${\sqrt[{3}]{\ 64}}=4,$ mert $4^{3}=64.$
${\sqrt[{3}]{\frac {8}{27}}}={\frac {2}{3)),$ mert $\left({\frac {2}{3}}\right)^{3}={\frac {8}{27}}.$

Amint az első példából látható, egy valódi páros gyöknek két értéke lehet (pozitív és negatív), és ez megnehezíti az ilyen gyökökkel való munkát, nem teszi lehetővé az aritmetikai számításokban való felhasználásukat. Az egyértelműség érdekében egy aritmetikai gyök fogalmát vezetjük be (nem negatív valós számból), melynek értéke mindig nem negatív, az első példában ez a szám . amelyhez a valós szám páros fokos gyökének előjele mindig számtani gyöket jelöl [2] [3] : Ha figyelembe kell venni a gyök többértelműségét, akkor a szám elé plusz vagy mínusz jel kerül. radikális [2] ; például így történik ez a másodfokú egyenlet megoldási képletében : $3.$ ${\sqrt[{2}]{9}}=3.$ $ax^{2}+bx+c=0$

x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}

A negatív számoknak nem léteznek valós páros gyökerei. Mindig lehetséges bármilyen fokú gyökér kinyerése egy komplex számból, de az eredmény kétértelműen definiált - egy nem nulla szám komplex th gyökének különböző értékei vannak (lásd: #Komplex számok gyökerei ). $n$ $n$

A gyökérkivonási művelet és annak megvalósítására szolgáló algoritmusok már az ókorban megjelentek a geometria és a csillagászat gyakorlati szükségletei kapcsán, lásd #Történelem .

Definíció és kapcsolódó fogalmak

A fentieken kívül a gyökér [4] két egyenértékű definíciója adható :

A szám gyöke $n$ az egyenlet megoldása ( megjegyzendő, hogy több megoldás is lehet, vagy egyetlen megoldás sem). $a$ $x$ $x^n=a$
A $n$ szám th- edik fokának gyöke a polinom gyöke , vagyis az az érték , amelynél a megadott polinom egyenlő nullával. $a$ $x^{n}-a,$ $x$

A számítási műveletet egy szám " adik gyökének felvételének" nevezik . Ez egyike annak a két műveletnek, amelyek inverzek a hatványozással [5] , nevezetesen a fokszám alapjának megállapítása ismert kitevőből és a hatványozás eredményéből . A második inverz művelet, a logaritmus , megkeresi a kitevőt az ismert alap és eredmény alapján. ${\sqrt[{n}]{a))$ $n$ $a$ $b$ $n$ $a=b^{n}$

A másod- és harmadfokú gyökereket különösen gyakran használják, ezért speciális neveik vannak [5] .

Négyzetgyök : Ebben az esetben a 2-es kitevőt általában elhagyják, és a "gyök" kifejezés a fok megadása nélkül leggyakrabban a négyzetgyököt jelenti. Geometriailag egy négyzet oldalának hosszaként értelmezhető, amelynek területe egyenlő . ${\sqrt {a}).$ ${\sqrt {a}}$ $a$
Kockagyök : Geometriailag ez egy olyan kocka élének hossza, amelynek térfogata . ${\sqrt[{3}]{a}}.$ ${\sqrt[{3}]{a))$ $a$

Valós számok gyökerei

Ebben a részben mindenhol - természetes szám, - valós szám. Egy valós szám th-edik fokának gyöke a paritástól és az előjeltől függően 0 és 2 valós értéket tartalmazhat. $n$ $a,b$ $n$ $a$ $n$ $a$

Általános tulajdonságok

A pozitív szám páratlan gyöke egy pozitív szám , amely egyedileg meghatározott .

${\sqrt[{n}]{a}}=b$ , hol a páratlan $a,b>0,$ $n$

Például,

{\sqrt[{3}]{125}}=5,\ {\sqrt[{5}]{32}}=2,\ {\sqrt[{15}]{1}}=1

A negatív szám páratlan gyöke egy egyedileg meghatározott negatív szám.

${\sqrt[{n}]{a}}=b$ , hol a páratlan $a,b<0,$ $n$

Például,

{\sqrt[{3}]{-8}}=-2,\ {\sqrt[{5}]{-243}}=-3,\ {\sqrt[{7}]{-1}}= -egy

Egy pozitív szám páros fokának gyökere két ellentétes előjelű, de abszolút értékben egyenlő értékkel rendelkezik.

$\pm {\sqrt[{n}]{a}}=\pm b$ , hol van páros $a,b>0,$ $n$

Például,

\pm {\sqrt {4}}=\pm 2,\ \ \pm {\sqrt[{4}]{81}}=\pm 3,\ \ \pm {\sqrt[{10}] {1024}}=\pm 2

Negatív szám páros fokának gyöke nem létezik a valós számok mezőjében , mivel ha bármely valós számot páros kitevővel rendelkező hatványra emelünk, az eredmény egy nem negatív szám lesz. Az alábbiakban bemutatjuk, hogyan lehet kivonni az ilyen gyökereket egy szélesebb rendszerben - a komplex számok halmazában (akkor a gyökér értékei komplex számok lesznek). $n$

${\sqrt[{n}]{a))$ nem létezik a valós számok mezőjében , ha - páros $a<0,$ $n$

A nulla bármely természetes hatványának gyökere nulla.

${\sqrt[{n}]{0}}=0$

Figyelmeztetés

Ahogy fentebb említettük: " Negatív szám páros fokos gyöke nem létezik a valós számok mezőjében ". Ezenkívül létezik ilyen gyök a komplex számok tartományában. Ezért mindig mérlegelni kell, hogy melyik numerikus rendszerben (valós vagy komplex számokban) vonjuk ki a gyökért.

Példa. A valós számok birodalmában a négyzetgyök nem létezik. $-9$
Példa. A komplex számok területén a négyzetgyöke az $-9$ $\pm 3i.$

Aritmetikai gyök

Fentebb már elhangzott, hogy a páros fokozat gyökerei általában nem egyértelműek, és ez a tény használatuk során kényelmetlenséget okoz. Ezért ennek a koncepciónak egy gyakorlatilag fontos korlátját vezették be [6] .

$n$ Egy nem-negatív valós szám th- edik fokának számtani gyöke olyan nemnegatív szám , amelynek számtani gyökét gyökjellel jelöljük . $a$ $b$ $b^{n}=a.$

Így az aritmetikai gyök, ellentétben az általános alak gyökével ( algebrai ), csak nem negatív valós számokra van definiálva, és értéke mindig létezik, egyedileg [7] és nem negatívan. Például egy szám négyzetgyökének két értéke van: és , amelyek közül az első aritmetikai. $négy$ $2$ $-2$

Algebrai tulajdonságok

Az alábbiakban megadott képletek mindenekelőtt bármilyen fokú számtani gyök esetén helyesek (kivéve speciális eseteket). Érvényesek a páratlan fokú gyökökre is, amelyeknek szintén vannak negatív gyökkifejezései [8] .

A gyökér és a fokozat kölcsönös törlése: [9]
- páratlannak : , $n$ ${\sqrt[{n}]{a^{n))}=a$
- méghozzá : $n$ ${\color {blue}{\sqrt[{\color {black}n}]{\color {black}{a^{n))))}=|a|$
Ha , akkor és $a<b$ ${\color {blue}{\sqrt[{\color {black}n}]{\color {black}{a))))<{\color {blue}{\sqrt[{\color {black}n} ]{\szín {fekete}{b))))$

A szorzat gyökere egyenlő a tényezők gyökereinek szorzatával:

${\color {blue}{\sqrt[{\color {black}n}]{\color {black}{ab))))={\color {blue}{\sqrt[{\color {black}n} ]{\szín {fekete}{a)))){\color {kék}{\sqrt[{\color {black}n}]{\color {black}{b))))$

Hasonlóan a felosztáshoz:

${\color {blue}{\sqrt[{\color {black}n}]{\color {black}{\frac {a}{b))))}={\frac {\color {kék}{\ sqrt[{\color {black}n}]{\color {black}{a)))){\color {blue}{\sqrt[{\color {black}n}]{\color {black}{b }}}}}},\;b\neq 0$

A következő egyenlőség a törthatványra emelés definíciója [10] :

$a^{m/n}={\szín {kék}{\sqrt[{\color {black}n}]{\color {fekete}{a^{m))))}=\left({\color {kék}{\sqrt[{\color {black}n}]{\color {fekete}{a))))\jobbra)^{m}=\left(a^{1/n}\jobbra)^ {m}$

A gyök értéke nem változik, ha indexét és a gyökkifejezés mértékét ugyanazzal a számmal osztjuk (a gyökkifejezés kitevőjének és kitevőjének tényezője):

${\color {blue}{\sqrt[{\color {black}nk}]{\color {black}{a^{mk)))}}={\color {kék}{\sqrt[{\color { black}n}]{\color {black}{a^{m))))},\;n,k\in \mathbb {N} .$ Példa: ${\color {blue}{\sqrt[{\color {black}6}]{\color {black}{64))))={\szín {kék}{\sqrt[{\color {black}{2 \cdot 3}}]{\color {black}{4^{3}}}}}={\szín {kék}{\sqrt {\color {black}{4}}}}=2$
${\color {blue}{\sqrt[{\color {black}n}]{\color {blue}{\sqrt[{\color {black}k}]{\color {black}{a)))) ))={\color {blue}{\sqrt[{\color {black}nk}]{\color {black}{a)))),\;n,k\in \mathbb {N}$

A páratlan fokú gyököknél egy további tulajdonságot jelezünk:

${\sqrt[{n}]{-a}}=-{\sqrt[{n}]{a}}$

Gyökér kivonása és törthatványra emelése

A hatványozási műveletet eredetileg a természetes számok szorzása műveletének rövidítéseként vezették be: . A következő lépés a hatványozás meghatározása volt egy tetszőleges egész számra, beleértve a negatív hatványt is: $m^{n}={\color {Gray}\underbrace {\color {Black}m\cdot m\cdot \dots \cdot m} _{\color {Black}n))$ $m^{-n}={\frac {1}{m^{n))}.$

Az aritmetikai gyök kinyerésének művelete lehetővé teszi egy pozitív szám tetszőleges racionális (tört) hatványra való emelését [10] :

a^{\frac {m}{n}}={\color {kék}{\sqrt[{\color {black}n}]{\color {black}{a^{m))))},

a>0

Ebben az esetben a tört számlálójának lehet előjele. A kiterjesztett művelet tulajdonságai alapvetően megegyeznek az egész hatványra való emeléssel. $m$ ${\frac {m}{n}}$

Ez a definíció azt jelenti, hogy egy gyökér kinyerése és fordított hatványozása valójában egyetlen algebrai műveletben egyesül. Különösen:

{\color {blue}{\sqrt[{\color {black}n}]{\color {black}{a))))=a^{\frac {1}{n))

A negatív számok racionális hatványra emelésére tett kísérletek hibákhoz vezethetnek, mivel az algebrai gyök értéke nem egyértelmű, és a számtani gyök tartománya a nem negatív számokra korlátozódik. Példa egy lehetséges hibára:

-1=(-1)^{2\ \cdot \ {\frac {1}{2}}}=\left({(-1)^{2}}\right)^{\frac {1}{ 2))=1^{\frac {1}{2))={\szín {kék}{\sqrt {\color {black}1))}=1

Root függvény

Gyökérfüggvények rajzai
A gyökérfüggvények és a hatványfüggvények egy intervallumon inverzek $[0;\ 1]$
Gyökérfüggvények:
- aritmetikai, páros hatványok 2, 4, 6
- közös, páratlan hatványok 3, 5, 7

Ha a gyökérkifejezést változónak tekintjük, akkor a th-edik fok gyökfüggvényét kapjuk: . A gyökérfüggvény az algebrai függvények kategóriájába tartozik . Bármely gyökfüggvény grafikonja átmegy az origón és a ponton . $n$ $y={\sqrt[{n}]{x}}$ $(tizenegy)$

Amint fentebb említettük, a páros gyöknél a függvény egyediségének biztosításához a gyökérnek aritmetikainak kell lennie, hogy az argumentum ne legyen negatív. A páratlan fok gyökfüggvénye egyértékű, és az argumentum bármely valós értékére létezik. $x$

Root függvény típusa	Tartomány	Értéktartomány	Egyéb tulajdonságok
Páros fokozat	$[0;\ +\infty )$	$[0;\ +\infty )$	A függvény konvex felfelé a teljes definíciós tartományban
páratlan fokozat	$(-\infty ;+\infty )$	$(-\infty ;+\infty )$	A függvény páratlan

Bármilyen fokozat esetén a gyökérfüggvény szigorúan növekszik, a definíciós tartományán belül mindenhol folyamatos . Határtalanul differenciálható mindenhol, kivéve az origót, ahol a derivált a végtelenbe megy [11] [12] . A származékot a [13] képlet határozza meg :

{\frac {d}{dx}}{\sqrt[{n}]{x}}={\frac {1}{n{\sqrt[{n}]{x^{n-1}}}} }

. Különösen, .

{\frac {d}{dx}}{\sqrt {x}}={\frac {1}{2{\sqrt {x}}}}

A függvény korlátlanul integrálható a teljes definíciós tartományban. A határozatlan integrált a következő képlettel keressük:

\int {\sqrt[{n}]{x}}\;dx={\frac {\sqrt[{n}]{x^{n+1}}}{1+{\frac {1}{n }}}}+C

. Különösen , ahol egy tetszőleges állandó.

\int {\sqrt {x}}\;dx={\frac {2{\sqrt {x^{3}}}}{3}}+C

C

Egy függvény korlátlan differenciálhatósága és integrálhatósága

A függvény [14] harmadrendű deriváltjának $k$ megtalálásának képlete : ${\sqrt[{n}]{x}}$

${\frac {d^{k}}{dx^{k}}}{\sqrt[{n}]{x}}=(-1)^{k}{\frac {\prod _{m=0 }^{k-1}(mn-1)}{{n^{k}}{\sqrt[{n}]{x^{kn-1}}}}}$
ahol $\ k,n\in \mathbb {N} ,\ x\neq 0$

A függvény [15] határozatlan integráljának megkeresésére szolgáló képlet : $k$ ${\sqrt[{n}]{x}}$

$\underbrace {\int \cdots \int } _{k}{\sqrt[{n}]{x}}\ \underbrace {dx\cdots dx} _{k}={\frac {{n^{k} }{\sqrt[{n}]{x^{kn+1)))){\prod _{m=1}^{k}(1+mn)))+C$
ahol $k,n\in \mathbb {N} ,\ C=const$

A képletek megfelelő részei mindig létező algebrai kifejezések, természetes . Ezért a baloldal is.

k

Határarányok

Íme néhány hasznos korlát , amely gyököket tartalmaz [16] .

\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{n}}=\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{\ln n}}=1

\lim _{n\to \infty }n\left({\sqrt[{n}]{x}}-1\right)=\lim _{n\to \infty }n\left(1-{\ frac {1}{\sqrt[{n}]{x}}}\right)=\ln x

\lim _{x\to 0}{\frac {{\sqrt[{n}]{(x+1)^{m}}}-1}{x}}={\frac {m}{n} }

\lim _{n\to \infty }\left({\frac {{\sqrt[{n}]{a}}+{\sqrt[{n}]{b}}}{2}}\jobbra) ^{n}={\sqrt {ab}}

Gyökerek gyakorlati számítása

A négyzet- és kockagyök-számítás funkciót számos számológép biztosítja; például a Windows számológép a megfelelő gombokat "Műszaki" (Tudományos) módban mutatja. Ha van hatványozó kulcs az elektronikus számológépen: akkor a gyökér kinyeréséhez az aktuális számból a következő billentyűket kell megnyomni [17] . $y^{x},$

y^{x}

Szerezd meg a gyökérkitevőt Nyomj meg egy gombot

1/x

Nyomj meg egy gombot

=

A kézi számításhoz használhatja az " Algoritmus az n-edik fok gyökerének megtalálásához " című cikkben leírt gyors konvergens módszert . A harmadik feletti hatványokhoz a logaritmikus azonosság használható :

{\sqrt[{n}]{x}}=a^{\frac {\log _{a}(x)}{n}}=e^{\frac {\ln(x)}{ n}}

A gyökér kinyeréséhez meg kell találnia a gyökérkifejezés logaritmusát, el kell osztania a gyökér hatványával, és meg kell találnia az eredmény antilogaritmusát .

Komplex számok gyökerei

A komplex szám fogalmának eredete történelmileg a negatív számok négyzetgyökeinek „legalizálásának” vágyával függ össze. Amint fokozatosan világossá vált, a komplex számok gazdag algebrai és analitikai tulajdonságokkal rendelkeznek; különösen a gyökerek kinyerése belőlük mindig lehetséges, bár kétértelműen. Az összetett tartomány gyökeinek esetében a gyökjelet általában vagy nem használjuk, vagy nem a gyökérfüggvényt jelöli, hanem az összes gyökér halmazát; ez utóbbi esetben a hibák elkerülése érdekében a gyökjelet nem szabad számtani műveletekben használni. Példa egy lehetséges hibára:

-1=({\sqrt {-1}})^{2}={\sqrt {(-1)^{2}}}={\sqrt {1}}=1

(ami persze nem igaz)

A hiba azért keletkezett, mert a nem aritmetikai négyzetgyök többértékű függvény , és nem használható az aritmetikában.

A keresés módjai

Írjunk fel egy komplex számot trigonometrikus formában : $z$

z=r\left(\cos {\varphi }+i\sin {\varphi }\right)

Ekkor a th fok gyökereit a De Moivre-formula (trigonometrikus forma) határozza meg [18] : $n$ $z$

{\sqrt[{n}]{z}}={\color {kék}{\sqrt[{\color {black}n}]{\color {black}{r}}}}\left(\cos { \frac {\varphi +2\pi k}{n}}+i\sin {\frac {\varphi +2\pi k}{n}}\right),\;k=0,1,\dots , n-1

vagy exponenciális formában :

z=re^{i\varphi}

{\sqrt[{n}]{z}}={\color {kék}{\sqrt[{\color {black}n}]{\color {black}{r}}}}e^{\left( i{\frac {\varphi +2\pi k}{n}}\right)},\;k=0,1,\dots ,n-1

Jelölés

$z=x+iy,\z\in \mathbb {C}$ (komplex szám), (komplex szám valós része), (komplex szám képzeletbeli része), - képzeletbeli egység , (komplex szám modulusa), (komplex szám argumentuma), - természetes logaritmus alapja .
$x=\operátornév {Re} (z)\in \mathbb {R}$
$y=\operátornév {Im} (z)\in \mathbb {R}$
$én$
$r=|z|={\szín {kék}{\sqrt {\color {black}{x^{2}+y^{2))))}$
$\varphi =\operátornév {arg} z=\operátornév {arctg} {\frac {y}{x))$
$e$

A nem nullától eltérő komplex szám hatványgyökének vannak értékei (ez az algebra alaptételének következménye ), és mindegyik különbözik. A -val kapott gyök értékét gyakran főnek nevezik . $n$ $n$ $k=0$

Mivel a modulus a gyök minden értékénél azonos (az eredeti komplex szám modulusának aritmetikai gyökeként van definiálva), és csak az argumentuma változik , minden gyökérték a komplex síkon helyezkedik el. egy sugarú kör, amelynek középpontja az origó. A gyökerek ezt a kört egyenlő részekre osztják. $n$ ${\color {blue}{\sqrt[{\color {black}n}]{\color {black}{r))))$ $n$

Példák

Találjuk meg . Mivel a képlet szerint a következőket kapjuk: ${\sqrt {-4}}$ $-4=4(\cos {\pi }+i\sin {\pi }),$

{\sqrt {-4}}=2\left(\cos {\frac {\pi +2\pi k}{2}}+i\sin {\frac {\pi +2\pi k}{2} }\jobbra),\;k=0,1

Amikor megkapjuk az első gyökeret , amikor megkapjuk a második gyökeret $k=0$ $2i$ $k=1$ $(-2i).$

Egy másik példa: keresse meg . Ábrázoljuk a radikális kifejezést trigonometrikus formában: ${\sqrt[{4}]{-16}}$

-16=16\ (\cos(\pi +2k\pi )+i\sin(\pi +2k\pi ))

A Moivre-képlet szerint a következőket kapjuk:

z_{k}={\sqrt[{4}]{-16}}={\sqrt[{4}]{16}}\left(\cos {\frac {\pi +2k\pi }{4} }+i\sin {\frac {\pi +2k\pi }{4}}\jobbra)

Ennek eredményeként négy gyökérértékünk van [19] :

z_{0}=2\left(\cos {\frac {\pi }{4))+i\sin {\frac {\pi }{4))\right)={\sqrt {2))\ ( 1+i)

z_{1}=2\left(\cos {\frac {3\pi }{4}}+i\sin {\frac {3\pi }{4}}\right)={\sqrt {2}} \ (-1+i)

z_{2}=2\left(\cos {\frac {5\pi }{4}}+i\sin {\frac {5\pi }{4}}\right)=-{\sqrt {2} }\ (1+i)

z_{3}=2\left(\cos {\frac {7\pi }{4}}+i\sin {\frac {7\pi }{4}}\right)={\sqrt {2}} \(1-i)

Az összefoglaló választ így írhatod: ${\sqrt[{4}]{-16}}={\sqrt {2}}\ (\pm 1\pm i)$

Komplex gyökérfüggvény és Riemann felület

Tekintsük a th- edik fok gyökének komplex függvényét: A fentiek szerint ez a függvény egy többértékű (pontosabban -értékű) függvény, és ez kényelmetlenséget okoz a tanulmányozásában és alkalmazásában. A komplex elemzés során a többértékű függvények komplex síkon történő figyelembevétele helyett más döntés született: a függvényt egyértékűnek tekintjük, de nem a síkon, hanem egy összetettebb sokaságon , amit Riemann -nak nevezünk. felület [20] . $n$ $w={\sqrt[{n}]{z}}.$ $n$

Riemann felület összetett négyzetgyökhöz
Riemann felület a 4. fokú komplex gyökér számára

fokú komplex gyökérfüggvényhez Riemann felülete (lásd az ábrákat) spirálisan összekötött ágakból ( lapokból ) áll, és az utolsó levél az elsőhöz kapcsolódik. Ez a felület folyamatos és egyszerűen összekapcsolható . Az egyik lap tartalmazza a gyökér fő értékeit, amelyeket a valódi gyökér analitikus folytatásaként kapunk a valós tengely pozitív sugarából. $n$ $n$

Az egyszerűség kedvéért leírjuk a négyzetgyök komplex függvényét. Riemann felülete két lapból áll. Az első lapot komplex síkként ábrázolhatjuk, amelyből a valós tengely pozitív sugara ki van vágva. A gyökérfüggvény értékei ezen a levélen feleakkora argumentumúak, és így kitöltik a komplex értéksík felső részét. A vágáson az első lapot a másodikhoz ragasztjuk, és a funkció folyamatosan a vágáson keresztül a második lapig folytatódik, ahol annak értékei kitöltik a komplex értéksík alsó részét. Az első lap fennmaradó szabad elejét és a második végét is összeragasztják, ezután a Riemann felületen a kapott függvény egyértékűvé és mindenhol folytonossá válik [20] . $w$ $z$

A függvény egyetlen nulláját (elsőrendű) kapjuk meg . Szinguláris pontok: és (végtelen rendű elágazási pontok) [20] . Az elágazási pont fogalma azt jelenti, hogy egy zárt kontúr a nulla közelében elkerülhetetlenül tartalmaz átmenetet levélről levélre. $z=0$ $z=0$ $z=\infty$

A gyökér Riemann-felülete egyszerű összekapcsolásánál fogva univerzális borítása [21] a pont nélküli összetett síknak . $0$

Változatok és általánosítások

A gyöke az egyenlet megoldása , és elvileg mindenhol definiálható, ahol egy ilyen egyenletnek van értelme. Leggyakrabban az ilyen általánosításokat algebrai gyűrűkben veszik figyelembe . Az általánosított négyzetgyökök a legjobban tanulmányozottak. $n$ $a$ $x^n=a$

Ha a gyűrű egy integritási tartomány , akkor egy nem nullától eltérő elem négyzetgyöke kettő vagy egy sem lehet. Valóban, ha két gyök van , akkor honnan: , azaz nulla osztók hiánya miatt , . Általánosabban fogalmazva, ha a gyűrűnek nulla osztója van, vagy nem kommutatív , akkor tetszőleges számú gyök lehet. $a, b,$ $a^{2}=b^{2},$ $(ab)(a+b)=0$ $a=\pm b$

A számelméletben a maradékok véges gyűrűjét modulo tekintjük : ha az összehasonlításnak van megoldása, akkor az egész számot n fokú maradéknak (egyébként n fokú nem maradéknak ) nevezzük . A megoldás , ha létezik, egy egész szám n- edik gyökének teljes analógja . A leggyakrabban használt esetek [22] : $m$ $x^{n}\equiv a{\pmod {m))$ $a$ $x$ $a$

$n=2$ ( négyzetes maradékok )
$n=3$ (köbös levonások)
$n=4$ (kétkvadratikus maradékok)

A kvaterniók gyökerei sok hasonlóságot mutatnak az összetettekkel, de vannak jelentős jellemzők is. A négyzetgyöknek általában 2 értéke van, de ha a gyökkifejezés negatív valós szám, akkor végtelen sok érték van. Például a négyzetgyökök egy háromdimenziós gömböt alkotnak, amelyet a [23] képlet határoz meg : $-egy$

\{ai+bj+ck\mid a^{2}+b^{2}+c^{2}=1\}\,.

A négyzetes mátrixok gyűrűjére bebizonyosodott, hogy ha a mátrix pozitív határozott , akkor a mátrix pozitív határozott négyzetgyöke létezik és egyedi [24] . Más típusú mátrixoknál tetszőleges számú gyök lehet (beleértve az egyiket sem).

A négyzetgyököket a függvények [25] , az operátorok [26] és más matematikai objektumok esetében is bevezetik.

Történelem

A koncepció kidolgozása

A négyzetgyök kinyerésével kapcsolatos első problémákat a babiloni matematikusok munkáiban találták meg (az ókori Egyiptom e tekintetben elért eredményeiről semmit sem tudunk). Az ilyen feladatok között [27] :

A Pitagorasz-tétel alkalmazása derékszögű háromszög oldalának megkeresésére a másik két ismert oldal mellett.
Egy négyzet oldalának megkeresése , amelynek területe adott.
Másodfokú egyenletek megoldása .

A babiloni matematikusok (Kr. e. II. évezred) egy speciális numerikus módszert dolgoztak ki a négyzetgyök kinyerésére. A kezdeti közelítést a gyökérhez legközelebb eső természetes szám alapján számítottuk ki (lefelé) . A gyök kifejezést a következő formában ábrázolva a következőt kapjuk: , akkor egy iteratív finomítási eljárást alkalmaztunk, amely megfelel Newton módszerének [28] : ${\sqrt {a}}$ $n$ $a=n^{2}+r$ $x_{0}=n+{\frac {r}{2n))$

x_{n+1}={\frac {1}{2}}~\left(x_{n}+{\frac {a}{x_{n}}}\right)\

Az iterációk ebben a módszerben nagyon gyorsan konvergálnak. Például , és egy közelítési sorozatot kapunk: ${\sqrt {5}}$ $a=5;\;n=2;\;r=1;\ x_{0}={\frac {9}{4))=2{,}25,$

x_{1}={\frac {161}{72}}=2{,}23611;\;x_{2}={\frac {51841}{23184}}=2{,}2360679779

A végső értékben az utolsó kivételével minden számjegy helyes.

Hasonló problémák és módszerek találhatók az ókori kínai „ Mathematics in Nine Books ” -ban [29] . Az ókori görögök egy fontos felfedezést tettek: - egy irracionális számot . Az athéni Theaetetus (Kr. e. 4. század) részletes tanulmánya kimutatta, hogy ha egy természetes szám gyökét nem nyerjük ki teljesen, akkor annak értéke irracionális [30] . ${\sqrt {2}}$

A görögök megfogalmazták a kocka megkettőzésének problémáját , ami egy kockagyök megalkotásába torkollott egy iránytű és egyengető segítségével . A probléma megoldhatatlannak bizonyult. A kockagyök kivonására szolgáló numerikus algoritmusokat Heron (a " Metric " című értekezésben , Kr.u. 1. század) és Aryabhata I indiai matematikus (5. század) tette közzé [31] .

A középkori Európában továbbfejlesztették az indiai és iszlám matematikusok által kifejlesztett, tetszőleges fokú gyökök egész számból történő kinyerésére szolgáló algoritmusokat . Nicholas Orem (XIV. század) volt az első, aki hatványozásként értelmezte [32] a th fok gyökerét . $n$ ${\frac {1}{n}}$

A Cardano-formula (XVI. század) megjelenése után megkezdődött a képzeletbeli számok használata a matematikában , amelyek a negatív számok négyzetgyökét jelentik [33] . A komplex számokkal való munka alapjait a 16. században Rafael Bombelli dolgozta ki , aki egy eredeti módszert is javasolt a gyökök kiszámítására (a törtek folytatásával ). A Moivre-képlet (1707) felfedezése megmutatta, hogy a komplex számból tetszőleges fokú gyök kinyerése mindig lehetséges, és nem vezet új típusú számokhoz [34] .

Az összetett, tetszőleges fokú gyököket a 19. század elején Gauss tanulmányozta behatóan , bár az első eredmények Eulernek köszönhetőek [35] . Rendkívül fontos felfedezés ( Galois ) annak a bizonyítéka volt, hogy nem minden algebrai szám (a polinomok gyöke) nyerhető ki természetes számokból négy aritmetikai és gyökkivonási művelettel [36] .

A kifejezés etimológiája és a szimbolika eredete

A gyökér kifejezésnek hosszú és bonyolult története van. Az ókori görögök a négyzetgyök kivonását szigorúan geometriailag értették: a négyzet oldalának megtalálását az ismert terület alapján. Miután lefordították szanszkritra , az "oldal" görög szóból " mula " (alap) lett. A „ mula ” szónak „gyökér” jelentése is volt, ezért az indiai sziddhanták arabra fordítása során a „ jizr ” (növénygyökér) kifejezést használták. Ezt követően a hasonló jelentésű „ radix ” szót az arab latin fordításokban rögzítették, és ezen keresztül az orosz matematikai terminológiában („gyökér”, „radikális”) [37] .

A középkori matematikusok (például Cardano ) a négyzetgyököt [38] az R x szimbólummal jelölték , amely a „radix” szó rövidítése. A modern jelölést először Christoph Rudolf német matematikus használta 1525-ben, a cossistok (vagyis algebraisták) iskolájából [39] . Ez a szimbólum ugyanazon " radix " szó stilizált első betűjéből származik . A radikális kifejezés feletti vonal eleinte hiányzott; később Descartes (1637) vezette be más céllal (zárójelek helyett), és ez a tulajdonság hamarosan összeolvadt a gyökér jelével.

A kitevő megjelent a gyökjelben Wallis és Newton „ Univerzális aritmetikájának ” (XVIII. század) [40] köszönhetően .

Lásd még

Irodalom

Vygodsky M. Ya. Az elemi matematika kézikönyve . - szerk. 25. - M .: Nauka, 1978. - ISBN 5-17-009554-6 .
Zajcev V. V., Ryzhkov V. V., Skanavi M. I. Alapfokú matematika. Ismételje meg a tanfolyamot. - Harmadik kiadás, sztereotip. — M .: Nauka, 1976. — 591 p.
Matematika története, három kötetben / Szerk.: A. P. Juskevics . - M .: Nauka, 1970-1972.
Korn G., Korn T. Matematika kézikönyve (kutatóknak és mérnököknek) . - 2. kiadás — M .: Nauka, 1970. — 720 p.
Mordkovich A. G. Algebra és az elemzés kezdetei. Tankönyv 10-11. osztályosoknak 1. rész - szerk. 4. — M .: Mnemozina, 2003. — 376 p.
Sveshnikov A. G., Tikhonov A. N. Egy komplex változó függvényeinek elmélete. — M .: Nauka, 1967. — 304 p.
Fikhtengol'ts G. M. A differenciál- és integrálszámítás menete. - szerk. 6. — M .: Nauka, 1966. — 680 p.

Jegyzetek

↑ Gyökér // Mathematical Encyclopedia (5 kötetben) . - M . : Szovjet Enciklopédia , 1982. - T. 3.
↑ 1 2 Alapfokú matematika, 1976 , p. 49.
↑ Korn G., Korn T. Matematika kézikönyve, 1970 , p. 33.
↑ Skanavi M. I. Alapfokú matematika. P. 1.11. S. 49.
↑ 1 2 Vygodsky M. Ya. Handbook of elementary mathematics, 1978 , p. 64.
↑ Aritmetikai gyök // Matematikai enciklopédia (5 kötetben) . - M . : Szovjet Enciklopédia , 1982. - T. 1.
↑ Fikhtengolts G. M. A differenciál- és integrálszámítás tanfolyama, 1966 , T. I, S. 35-36.
↑ Vygodsky M. Ya. Handbook of elementary mathematics, 1978 , p. 141-143.
↑ Algebra és az elemzés kezdete. Tankönyv 10-11. évfolyamnak, szerk. A. N. Kolmogorova. M.: Felvilágosodás, 2002, S. 209.
↑ 1 2 Vygodsky M. Ya. Handbook of elementary mathematics, 1978 , p. 183.
↑ Fikhtengolts G. M. A differenciál- és integrálszámítás tanfolyama, 1966 , T. I, S. 194, 198.
↑ Mordkovich A. G., 2003 , p. 236-238.
↑ Fikhtengolts G. M. A differenciál- és integrálszámítás tanfolyama, 1966 , T. I, S. 215.
↑ Fikhtengolts G. M. A differenciál- és integrálszámítás menete, 1966 , T. I, S. 233, speciális eset a számára . $\mu ={\frac {1}{n}}.$
↑ Nem tévesztendő össze a több integrállal . Jelölésük meglehetősen hasonló, de a -edik integrál határozatlan , míg a -szeres integrál határozott . $k$ $k$
↑ Fikhtengolts G. M. A differenciál- és integrálszámítás tanfolyama, 1966 , I. kötet, 67., 131-132., 164., 166-167.
↑ Algebra. 9. évfolyam Tankönyv oktatási intézmények számára / Szerk. S. A. Teljakovszkij. - Szerk. 18. - M . : Oktatás, 2011. - S. 53. - ISBN 978-5-09-025168-6 .
↑ Korn G., Korn T. Matematika kézikönyve, 1970 , p. 36-37.
↑ Zajcev V.V., Ryzskov V.V., Skanavi M.I. Alapfokú matematika. Ismételje meg a tanfolyamot. - harmadik kiadás, sztereotip. - M. : Nauka, 1976. - S. 68. - 591 p.
↑ 1 2 3 Sveshnikov A. G., Tikhonov A. N. Egy komplex változó függvényeinek elmélete, 1967 , p. 96-99, 28-29.
↑ Boltyansky V. G. , Efremovich V. A. Vizuális topológia . - M . : Nauka, 1982. - S. 112. - (Quantum Library, 21. szám).
↑ Vinogradov I. M. A számelmélet alapjai . - M. - L. : GITTL, 1952. - S. 71. - 180 p.
↑ Porteous, Ian R. Clifford Algebras and the Classical Groups. Cambridge, 1995, 60. oldal.
↑ Lásd például: Gantmakher F. R. Theory of Matrices. Moszkva: GITTL, 1953, 212-219. o., vagy: V. Voevodin, V. Voevodin. Lineáris algebra enciklopédiája. LINEAL elektronikus rendszer. SPb.: BHV-Pétervár, 2006.
↑ Lásd például: Ershov L. V., Raikhmist R. B. Függvénygráfok felépítése . M .: Oktatás, 1984, vagy: Kaplan I. A. Gyakorlati órák a felsőbb matematikából. Harkov: KhGU Kiadó, 1966.
↑ Lásd például: Hutson W., Pim J. A funkcionális elemzés és operátorelmélet alkalmazásai. M.: Mir, 1983, vagy: Halmosh P. Hilbert tér a problémákban. M.: Mir, 1970.
↑ Matematika története, 1970-1972 , I. kötet, 42-46.
↑ Matematika története, 1970-1972 , I. kötet, S. 47.
↑ Matematika története, 1970-1972 , I. kötet, 169-171.
↑ Bashmakova I. G. Az algebra kialakulása (matematikai eszmetörténetből). - M . : Tudás, 1979. - P. 23. - (Új az életben, tudományban, technikában. Matematika, kibernetika, 9. sz.).
↑ Abhishek Parakh. Ariabhata gyökérkivonási módszerei // Indian Journal of Science of Science. - 2007. - Kiadás. 42.2 . - S. 149-161 . Az eredetiből archiválva : 2010. június 9.
↑ Matematika története, 1970-1972 , I. kötet, 275-276.
↑ Matematika története, 1970-1972 , I. kötet, 296-298.
↑ Matematika története, 1970-1972 , III. kötet, 56-59.
↑ Matematika története, 1970-1972 , III. kötet, S. 62.
↑ Kolmogorov A. N., Juskevics A. P. (szerk.). A 19. század matematikája. Matematikai logika, algebra, számelmélet, valószínűségszámítás. - M. : Nauka, 1978. - T. I. - S. 58-66.
↑ Matematika története, 1970-1972 , I. kötet, 185. o.
↑ Nikiforovsky V. A. A XVI-XVII. századi algebra történetéből. - M. : Nauka, 1979. - S. 81. - 208 p. — (Tudomány- és technikatörténet).
↑ Matematikai jelek // Mathematical Encyclopedia . - M . : Szovjet Enciklopédia , 1982. - T. 2.
↑ Alexandrova N. V. Matematikai kifejezések, fogalmak, jelöléstörténet: Szótár-tájékoztató könyv, szerk. 3. . - Szentpétervár. : LKI, 2008. - S. 82 . — 248 p. - ISBN 978-5-382-00839-4 .