Pozitív határozott mátrix

A lineáris algebrában a pozitív határozott mátrix egy hermiti mátrix , amely sok tekintetben analóg egy pozitív valós számmal . Ez a fogalom szorosan összefügg a pozitív-definit szimmetrikus bilineáris alakkal (vagy komplex számok esetén a szeszkvilineáris alakkal ).

Formulációk

Legyen egy hermitikus dimenziómátrix . Jelölje a transzponált vektort -val , a konjugált transzponált vektort pedig -vel . $M$ $n\szer n$ $a$ $a^{T}$ $a^{*}$

Egy mátrix akkor pozitív határozott , ha megfelel az alábbi egyenértékű kritériumok bármelyikének: $M$

egy.	Minden nullától eltérő komplex vektor esetén $z \in \mathbb{C}^n$ $\textbf{z}^{} M \textbf{z} > 0.$ Vegye figyelembe, hogy a mennyiség mindig valós, mivel egy hermiti mátrix . $z^{} M z$ $M$
2.	Minden sajátérték , , pozitív. Bármely Hermiti mátrix a spektrális dekompozíciós tétel szerint ábrázolható valós átlós mátrixként , egy másik koordinátarendszerbe lefordítva (vagyis , ahol egy unitárius mátrix , melynek sorai ortonormális sajátvektorok , képezik az alapot ). Ezzel a definícióval a mátrix pozitív-határozott, ha a főátló minden eleme (vagy más szóval a sajátértékek ) pozitív. Azaz egy sajátvektorokból álló bázisban a vektorra gyakorolt hatás egyenértékű a pozitív vektorral való komponensenkénti szorzással. $M$ $\lambda_i, i = 1, 2, \pontok, n$ $D$ $M = P^{-1}DP$ $P$ $M$ $M$ $D$ $M$ $M$ $M$ $z \in \mathbb{C}^n$ $z$
3.	Másfél vonalas forma $\langle \textbf{x},\textbf{y}\rangle = \textbf{x}^{*} M \textbf{y}$ -ben határozza meg a pontszorzatot . A fentieket általánosítva, tetszőleges skaláris szorzat egy hermitikus pozitív definit mátrixból jön létre . $\mathbb{C}^n$ $\mathbb{C}^n$
négy.	$M$ a lineárisan független vektorok halmazából képzett Gram-mátrix $\textbf{x}_1,\ldots,\textbf{x}_n \in \mathbb{C}^k$ egyesek számára . Más szavakkal, az elemeket a következőképpen határozzuk meg $k$ $M$ $M_{ij} = \langle \textbf{x}_i, \textbf{x}_j\rangle = \textbf{x}_i^{} \textbf{x}_j.$ Így , ahol egy injektív , de nem feltétlenül négyzetmátrix . $M = A^{}A$ $A$
5.	A mátrixok összes szögmolljának determinánsa pozitív ( Sylveszter-kritérium ). Ennek a kritériumnak megfelelően a pozitív félig határozott mátrixok esetében minden szögbeli minor nemnegatív, ami azonban nem elégséges feltétele annak, hogy egy mátrix pozitív félig határozott legyen, amint az a következő példából látható. $\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{bmatrix}.$

A fenti tulajdonságú valós szimmetrikus mátrixok esetén a teret helyettesíthetjük -vel , és a transzponált vektorokat konjugálhatjuk transzponált vektorokkal. $\mathbb{C}^n$ $\mathbb {R} ^{n}$

Másodfokú formák

Pozitív meghatározottság megfogalmazása másodfokú formákkal is lehetséges . Legyen egy valós ( ) vagy összetett ( ) számok mezője , és egy vektortér felett . Hermitikus forma $K$ $\mathbb {R}$ $\mathbb {C}$ $\mathbb{V}$ $K$

B : V \szer V \jobbra K

egy bilineáris leképezés , ráadásul a konjugátuma is . Az ilyen függvényt pozitív határozottnak nevezzük, ha bármely nem nulla esetén . $B\bal(x, y\jobb)$ $B\bal(y, x\jobb)$ $B$ $B\left(x, x\right) > 0$ $x \ V-ben$

Negatív határozott, félig meghatározott és határozatlan mátrixok

Egy hermitikus dimenziómátrixot negatív határozottnak nevezünk, ha $M$ $n\szer n$

x^{*}Mx<0

minden nullától eltérő értékre (vagy ennek megfelelően minden nullától eltérőre ). $x \in \mathbb{R}^n$ $x \in \mathbb{C}^n$

$M$ pozitív félhatározottnak (vagy nemnegatív határozottnak ) nevezzük, ha

x^{*} M x \geq 0

mindenkinek (vagy ennek megfelelően mindenkinek ). $x \in \mathbb{R}^n$ $\mathbb{C}^n$

$M$ negatív félhatározottnak (vagy nem pozitív határozottnak ) nevezzük, ha

x^{*} M x \leq 0

mindenkinek (vagy ennek megfelelően mindenkinek ) [1] . $x \in \mathbb{R}^n$ $\mathbb{C}^n$

Így egy mátrix negatív határozott, ha minden sajátértéke negatív, pozitív félig határozott, ha minden sajátértéke nemnegatív, és negatív félig határozott, ha minden sajátértéke nem pozitív [2] .

Egy mátrix akkor és csak akkor pozitív félig meghatározott, ha valamilyen vektorhalmaz Gram-mátrixa . A pozitív határozott mátrixtól eltérően ezek a vektorok nem feltétlenül lineárisan függetlenek . $M$

Bármely mátrixra igaz a következő: pozitív félig határozott, és . Ennek a fordítottja is igaz: bármely pozitív félig határozott mátrix kifejezhető így ( Cholesky-dekompozíció ). $A$ $A^{*}A$ $\operátornév{rang}\left(A\jobb) = \operátornév{rang}\bal(A^{*}A\jobb)$ $M$ $M = A^{*}A$

Egy hermitiánus mátrixot , amely sem pozitívan, sem negatívan nem félig határozott, határozatlannak nevezzük .

További tulajdonságok

Vezessük be a pozitív félig meghatározott mátrixok és a pozitív határozott mátrixok jelölését. $M \siker 0$ $M\succ 0$

Tetszőleges négyzetes mátrixokra akkor írunk , ha , azaz pozitív félig határozott mátrix. Így a reláció négyzetmátrixok halmazán egy részleges sorrendet határoz meg . Hasonló módon definiálható a teljes sorrendi reláció is . $M, N$ $M \succeq N$ $M - N \sikerq 0$ $M-N$ $\succeq$ $M \succ N$

egy.	Bármely pozitív-definit mátrix invertálható , és az inverz mátrixa is pozitív-definit. Ha , akkor . $M \succeq N \succ 0$ $N^{-1} \succeq M^{-1} \succe 0$
2.	Ha egy pozitív-definit mátrix és , akkor egy pozitív-definit mátrix. $M$ $0 < r \in \mathbb{R}$ $r \cdot M$ Ha és pozitív határozott mátrixok, akkor a és szorzatok is pozitív határozottak. Ha , akkor szintén pozitív határozott. $M$ $N$ $MNM$ $NMN$ $MN=NM$ $MN$
3.	Ha pozitív határozott mátrix, akkor a főátló elemei pozitívak. Ezért ,. Továbbá, $M$ $m_{ii}$ $\operatorname{trace}\left(M\right) > 0$ $\| m_{ij} \| \leq \sqrt{m_{ii} m_{jj}} \leq \frac{m_{ii}+m_{jj}}{2}$ .
négy.	$M$ akkor és csak akkor pozitív-definit mátrix, ha létezik olyan pozitív-definit mátrix , amelyre . Jelöljük . Egy ilyen mátrix egyedi, feltéve, hogy . Ha , akkor . $B \sicc 0$ $B^2 = M$ $B = M^{\frac{1}{2}}$ $B$ $B \sicc 0$ $M \succ N \succ 0$ $M^{\frac{1}{2}} > N^{\frac{1}{2}}>0$
5.	Ha és pozitív határozott mátrixok, akkor (ahol a Kronecker-szorzatot jelöli ). $M$ $N$ $M\otimes N \succ 0$ $\otimes$
6.	Ha és pozitív határozott mátrixok, akkor (ahol a Hadamard-szorzatot jelöli ). Ha a mátrixok valósak, a következő egyenlőtlenség is fennáll ( Oppenheim-egyenlőtlenség ): $M$ $N$ $M\circ N \succ 0$ $\circ$ $M,N$ $\det(M\circ N) \geq (\det N) \prod_{i} m_{ii}$ .
7.	Ha pozitív határozott mátrix, a hermitikus mátrix és , akkor . $M$ $N$ $MN + NM \succeq 0$ $\bal (MN+NM \succ 0 \jobb)$ $N \siker 0$ $\left (N \succ 0 \right)$
nyolc.	Ha és pozitív félig meghatározott valós mátrixok, akkor . $M$ $N$ $\operatorname{trace}\left(MN\right)\succeq 0$
9.	Ha egy pozitív határozott valós mátrix, akkor létezik olyan szám , hogy , ahol az azonosságmátrix . $M$ $\delta>0$ $M\succeq \delta I$ $én$

Nem hermitikus mátrixok

Valós nem szimmetrikus mátrixok is kielégíthetik az egyenlőtlenséget minden nullától eltérő valós vektorra . Ilyen például a mátrix $x^TM x > 0$ $x$

\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{bmatrix},

mivel minden nullától eltérő valós vektorra $x = (x_1, x_2)^T$

\begin{bmatrix} x_1 & x_2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} = x_1^2 + x_2^2 > 0 .

Általánosabban, minden nem nulla valós vektorra akkor és csak akkor, ha a szimmetrikus rész pozitív határozott. $x^TM x > 0$ $x$ $\frac{M + M^T}{2}$

Komplex mátrixok esetén az egyenlőtlenségnek számos általánosítása létezik . Ha minden nullától eltérő komplex vektornál , akkor a mátrix hermitikus . Azaz ha , akkor Hermitian . Másrészt minden nullától eltérő komplex vektorra akkor és csak akkor, ha a Hermitiánus rész pozitív határozott. $x^{*} M x > 0$ $x^{*} M x > 0$ $x$ $M$ $x^{*} M x > 0$ $M$ $\operátornév{Re}\left(x^{*} M x\right) > 0$ $x$ $\frac{M + M^{*}}{2}$

Lásd még

Jegyzetek

↑ Nyikolaj Bogoljubov, Anatolij Logunov, Anatolij Okszak, Ivan Todorov. A kvantumtérelmélet általános elvei . - FIZMATLIT, 2006. - S. 20. - 744 p. — ISBN 9785457966253 .
↑ Vaszilij Fomicsev, Andrej Furszov, Szergej Korovin, Sztanyiszlav Emelyanov, Alekszandr Iljin. Az irányításelmélet matematikai módszerei. A stabilitás, az irányíthatóság és a megfigyelhetőség problémái . - FIZMATLIT, 2014. - S. 182. - 200 p. — ISBN 9785457964747 .

Irodalom

R. A. Horn, C. R. Johnson. Matrix Analysis, Cambridge University Press, Ch. 7, 1985.
R. Bhatia , Pozitív határozott mátrixok, Princeton Series in Applied Mathematics, 2007.