Hadamard termék

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2020. augusztus 14-én felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 13 szerkesztést igényelnek .

A Hadamard-szorzat [1] ( Schur szorzat [2] , komponensenkénti szorzat ) egy bináris művelet két azonos dimenziójú mátrixon , melynek eredménye egy azonos dimenziójú mátrix, amelyben minden indexes elem a szorzata elemeket az eredeti mátrixok indexeivel . A művelet nevét Jacques Hadamard francia matematikus és Isai Schur német matematikus után kapta . $i,j$ $i,j$

Definíció és tulajdonságok

Két azonos méretű mátrix esetén a Hadamard-szorzatot két mátrix komponensenkénti szorzataként határozzuk meg: $A,B$ $m\szer n$

{\displaystyle (A\circ B)_{i,j}=(A\odot B)_{i,j}=(A)_{i,j}\cdot (B)_{i,j))

Két különböző méretű mátrix esetén a Hadamard-szorzat nincs meghatározva.

Példa 3×3 mátrixokra:

{\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\ vége{bmatrix}}\odot {\begin{bmatrix}b_{11}&b_{12}&b_{13}\\b_{21}&b_{22}&b_{23}\\b_{31}&b_{32}&b_ {33}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{11}\,b_{11}&a_{12}\,b_{12}&a_{13}\,b_{13}\\a_{ 21}\,b_{21}&a_{22}\,b_{22}&a_{23}\,b_{23}\\a_{31}\,b_{31}&a_{32}\,b_{32} &a_{33}\,b_{33}\end{bmatrix}}

Egy asszociatív és elosztó művelet, és a szokásos mátrixszorzattól eltérően kommutatív :

A\odot B=B\odot A

A\odot (B\odot C)=(A\odot B)\odot C

A\odot (B+C)=A\odot B+A\odot C

A mátrixszorzás más változataival kevert termékek tulajdonságai:

(A\otimes B)\odot (C\otimes D)=(A\odot C)\otimes (B\odot D)

, hol van a Kronecker termék ;

\otimes

(A\bullet B)\odot (C\bullet D)=(A\odot C)\bullet (B\odot D)

, hol van a végtermék [3] ;

\bullet

(A\bullet B)(C\ast D)=(AC)\odot (BD)

, hol van a Khatri-Rao oszloptermék .

\ast

Alkalmazások

Veszteséges tömörítési algoritmusokban , például JPEG -ben használják .

A MATLAB és GNU Octave szoftvercsomagokban a műveletet szabványos tömbszorzási műveletként használják, és a ".*" [4] szimbólummal jelölik .

A vektoros adattípusokon történő termékművelet a GPGPU programozási technológiákban szintén a Hadamard termékelv szerint valósul meg. Más primitív matematikai műveletek vektoros adattípusokon komponensenkénti műveletekként valósulnak meg az összetevőiken.

Verzió blokkolása

Átható végtermék

Ez a fajta mátrixművelet a Hadamard-szorzaton alapul, és lehetővé teszi a mátrix elemenkénti szorzását tetszőleges számú azonos méretű blokkkal , így blokkmátrixot alkotva [5] : $p\times g$ $\mathbf {A}$ $p\times g$ $\mathbf {B}$

\mathbf {A} [\circ ]\mathbf {B} =\left[{\begin{array}{c |  c |  c |  c }\mathbf {A} \odot \mathbf {B} _{1}&\mathbf {A} \odot \mathbf {B} _{2}&\ ...\ &\mathbf {A} \odot \ mathbf {B} _{n}\end{array}}\right]

Például azért

\mathbf {A} =\left[{\begin{array}{c}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{array}}\right],\quad \mathbf {B} =\left[{ \begin{array}{c |  c |  c }\mathbf {B} _{1}&\mathbf {B} _{2}&\mathbf {B} _{3}\end{array}}\right]=\left[{\begin{array} {cc|  ccc |  cccc }1&4&7&2&8&14&3&12&21\\8&20&5&10&25&40&12&30&6\\2&8&3&2&4&2&7&3&9\end{array}}\jobbra]

kapunk:

\mathbf {A} [\circ ]\mathbf {B} =\left[{\begin{array}{ccc |  ccc |  cccc }1&8&21&2&16&42&3&24&63\\32&100&30&40&125&240&48&150&36\\14&64&27&14&32&18&49&24&81\end{tömb}}\jobbra]

Főbb tulajdonságai :

\mathbf {A} [\circ ]\mathbf {B} =\mathbf {B} [\circ ]\mathbf {A}

;

\mathbf {M} \bullet \mathbf {M} =\mathbf {M} [\circ ](\mathbf {M} \otimes \mathbf {1} ^{\textsf {T)))

ahol a mátrixok végtermékének szimbóluma . $\bullet$

\mathbf {c} \bullet \mathbf {M} =\mathbf {c} [\circ ]\mathbf {M}

, ahol egy vektor.

\mathbf {c}

Ezt a típusú mátrixszorzást 1998-ban javasolta Slyusar V.I. nem azonos vételi csatornákkal rendelkező digitális antennatömb válaszainak leírására [5] . Ezenkívül ez a munka lehetővé teszi a konvolúciós neurális hálózat működési folyamatának formalizálását. Például, ha a megadott mátrixot képpontok tömbjének tekintjük a neurális hálózati algoritmus bemenetén, akkor a mátrix blokkjai különböző együtthatókészleteknek felelnek meg, amelyek a képfeldolgozás több párhuzamos csatornájában konvolúciós réteget képeznek. neurális hálózattal [6 ] . $\mathbf {A}$ $\mathbf {B}$

Egy vektor és egy mátrix behatoló végtermékének működése a TensorFlow gépi tanulási könyvtárban valósul meg a beépített "tf.multiply" [6] [7] függvény segítségével .

Jegyzetek

↑ Million, Elizabeth A Hadamard termék . Letöltve: 2012. január 2. Az eredetiből archiválva : 2013. június 12. (határozatlan)
↑ Davis, Chandler. "A Schur termék működésének normája." Numerische Mathematik 4.1 (1962): 343-344.
↑ Slyusar, VI Végtermékek mátrixokban radar alkalmazásokban // Radioelectronics and Communications Systems.– 1998, Vol. 41; 3. szám - 1996. - december 27. - S. 50-53 .
↑ Aritmetikai operátorok + - * / \ ^ ' - (lefelé irányuló kapcsolat) . MATLAB dokumentáció . Math Works. Letöltve: 2012. január 2. Az eredetiből archiválva : 2012. április 24.. (határozatlan)
↑ 1 2 Slyusar, VI A Face Products of Matrix and its properties // Kibernetika és rendszerelemzés C/C of Kibernetika I Sistemnyi Analiz. 1999. : folyóirat. - 1998. - március 13. ( 35. köt. , 3. sz.). - P. 379-384 . - doi : 10.1007/BF02733426 .
↑ 1 2 Slyusar V.I. Neurális hálózatok tenzormátrix modellje. // Össz-ukrán tudományos és gyakorlati internetes konferencia „Automatizálás és számítógép-integrációs technológiák az oktatás területén: tábor, teljesítmény, fejlődési kilátások”, 2021. február 15-21., Cserkaszi, Cserkaszi Nemzeti Bogdan Egyetem
↑ Tenzorfolyam, hogyan lehet 2D tenzort (mátrixot) megszorozni a megfelelő elemekkel egy 1D vektorban. – 2017. . Letöltve: 2021. január 17. Az eredetiből archiválva : 2021. október 15. (határozatlan)

Irodalom

Horn R. Mátrixanalízis: Per. angolról. / R. Horn, Ch. Johnson. – M.: Mir, 1989.– 655 p.