Kronecker termék

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2021. november 22-én felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzéshez 1 szerkesztés szükséges .

A Kronecker-szorzat egy bináris művelet tetszőleges méretű mátrixokon , amelyeket jelöl . Az eredmény egy blokkmátrix . $\otimes$

A Kronecker szorzatot nem szabad összetéveszteni a közönséges mátrixszorzással . A művelet nevét Leopold Kronecker német matematikusról kapta .

Definíció

Ha A egy m × n mátrix és B egy p × q mátrix, akkor a Kronecker-szorzat egy mp × nq blokkmátrix

A\otimes B={\begin{bmatrix}a_{11}B&\cdots &a_{1n}B\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}B&\cdots &a_{mn}B \end{bmatrix}}.

Kiterjesztett

$\mathbf {A} \otimes \mathbf {B} ={\begin{bmatrix}a_{11}b_{11}&a_{11}b_{12}&\cdots &a_{11}b_{1q}& \cdots &\cdots &a_{1n}b_{11}&a_{1n}b_{12}&\cdots &a_{1n}b_{1q}\\a_{11}b_{21}&a_{11}b_{22} &\cdots &a_{11}b_{2q}&\cdots &\cdots &a_{1n}b_{21}&a_{1n}b_{22}&\cdots &a_{1n}b_{2q}\\\vdots &\ vpontok &\dpontok &\vpontok &&&\vpontok &\vpontok &\dpontok &\vpontok \\a_{11}b_{p1}&a_{11}b_{p2}&\cdots &a_{11}b_{pq}&\ cdots &\cdots &a_{1n}b_{p1}&a_{1n}b_{p2}&\cdots &a_{1n}b_{pq}\\\vdots &\vdots &&\vdots &\ddots &&\vdots &\vdots &&\vpontok \\\vpontok &\vpontok &&\vpontok &&\dpontok &\vpontok &\vpontok &&\vpontok \\a_{m1}b_{11}&a_{m1}b_{12}&\cpontok &a_{m1} b_{1q}&\cdots &\cdots &a_{mn}b_{11}&a_{mn}b_{12}&\cdots &a_{mn}b_{1q}\\a_{m1}b_{21}&a_{m1 }b_{22}&\cdots &a_{m1}b_{2q}&\cdots &\cdots &a_{mn}b_{21}&a_{mn}b_{22}&\cdots &a_{mn}b_{2q}\ \\vpontok &\vpontok &\dpontok &\vpontok &&&\vpontok &\vpontok &\dpontok &\vpontok \\a_{m1}b_{p1}&a_{m1}b_{p2}&\cdots &a_{m1}b_ {pq}&\cdots &\cdots &a_{mn}b_{p1}&a_{mn}b_{p2}&\cdots &a_{mn}b_{pq}\end{bmatrix}}.$

Ha A és B V 1 → W 1 és V 2 → W 2 lineáris transzformáció , akkor A ⊗ B két leképezés tenzorszorzata , V 1 ⊗ V 2 → W 1 ⊗ W 2 .

Példa

{\begin{bmatrix}1&2\\3&4\\\end{bmatrix}}\otimes {\begin{bmatrix}0&5\\6&7\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1\ cdot 0&1\cdot 5&2\cdot 0&2\cdot 5\\1\cdot 6&1\cdot 7&2\cdot 6&2\cdot 7\\3\cdot 0&3\cdot 5&4\cdot 0&4\cdot 5\\3\cdot 6&3\cdot \cdot 6&4\cdot 7\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&5&0&10\\6&7&12&14\\0&15&0&20\\18&21&24&28\end{bmátrix}}

Bilinearitás, asszociativitás és nem kommutativitás

A Kronecker termék a tenzorszorzat speciális esete , ami azt jelenti, hogy bilineáris és asszociatív :

A\otimes (B+C)=A\otimes B+A\otimes C,

{\megjelenítési stílus (A+B)\otimes C=A\otimes C+B\otimes C,}

{\megjelenítési stílus (kA)\otimes B=A\otimes (kB)=k(A\otimes B),}

(A\otimes B)\otimes C=A\otimes (B\otimes C),

ahol A , B és C mátrixok, k pedig skalár.

A Kronecker termék nem kommutatív . Bár mindig léteznek olyan P és Q permutációs mátrixok , amelyek

A\otimes B=P\,(B\otimes A)\,Q.

Ha A és B négyzetmátrixok , akkor A B és B A permutációsan hasonlóak , azaz P = Q T. $\otimes$ $\otimes$

Átültetés

A transzpozíció és a hermitiánus ragozás műveletei felcserélhetők a Kronecker-termékkel:

(A\otimes B)^{T}=A^{T}\otimes B^{T},

(A\otimes B)^{H}=A^{H}\otimes B^{H}.

Vegyes termék

Ha A , B , C és D olyan méretű mátrixok , hogy vannak AC és BD szorzatai , akkor

(A\otimes B)(C\otimes D)=AC\otimes BD.

A B akkor és csak akkor reverzibilis , ha A és B reverzibilis, és akkor $\otimes$

(A\otimes B)^{-1}=A^{-1}\otimes B^{-1}.

(A\otimes B)\odot (C\otimes D)=(A\odot C)\otimes (B\odot D)

, hol van Hadamard terméke

\odot

A\otimes B=(I\otimes B)(A\otimes I)

, hol van az identitásmátrix.

én

Összeg és Kronecker kitevő

Legyen A egy n × n mátrix , B egy m × m mátrix és egy k × k azonosságmátrix . Ekkor a Kronecker-összeget a következőképpen határozhatjuk meg $E_k$ $\oplus$

A\oplus B=A\otimes E_{m}+E_{n}\otimes B.

Szintén korrekt

e^{A\oplus B}=e^{A}\otimes e^{B}.

Spektrum, nyomkövetés és determináns

Ha A és B n és q méretű négyzetmátrixok . Ha λ 1 , …, λ n az A mátrix sajátértékei és μ 1 , …, μ q a B mátrix sajátértékei . Ekkor A B sajátértékei : $\otimes$

\lambda _{i}\mu _{j},\qquad i=1,\ldots ,n,\,j=1,\ldots ,q.

A Kronecker-szorzat nyoma és meghatározója egyenlő

\operátornév {tr} (A\otimes B)=\operátornév {tr} (A)\,\operátornév {tr} (B),

\det(A\otimes B)=(\det A)^{q}(\det B)^{n}.

Szinguláris érték dekompozíció és rang

Ha az A mátrixnak r A nem nulla szinguláris értéke van :

\sigma _{A,i},\qquad i=1,\ldots ,r_{A}.

A B mátrix nem nulla szinguláris értékei :

\sigma _{B,i},\qquad i=1,\ldots ,r_{B}.

Ekkor az A B Kronecker - szorzatnak r A r B nem nulla szinguláris értéke van $\otimes$

\sigma _{A,i}\sigma _{B,j},\qquad i=1,\ldots ,r_{A},\,j=1,\ldots ,r_{B}.

Egy mátrix rangja megegyezik a nullától eltérő szinguláris értékek számával,

\operátornév {rang} (A\otimes B)=\operátornév {rang} (A)\,\operátornév {rang} (B).

Történelem

Kronecker darabja Leopold Kronecker nevéhez fűződik , bár kevés bizonyíték van arra, hogy ő volt az első, aki meghatározta és használta a műveletet. A múltban a Kronecker terméket néha Zefuss-mátrixnak is nevezték .

A Kronecker termék verzióinak blokkolása

Blokkmátrixok esetén a Kronecker-szorzathoz kapcsolódó és a megfelelő blokkszorzás sorrendjében eltérő mátrixműveletek használhatók. Ezek Tracy-Singh ( Eng. Tracy-Singh termék ) és Khatri-Rao munkái .

Tracy-Singh alkotásai

A jelzett blokkmátrix szorzási művelet abból áll, hogy a bal oldali mátrix minden blokkját szekvenciálisan megszorozzuk a jobb oldali mátrix blokkjaival. Ebben az esetben a kapott mátrix képzett szerkezete eltér a Kronecker-szorzat jellemzőitől. A Tracey–Singh termék meghatározása: [1] [2]

\mathbf {A} \odot \mathbf {B} =\left(\mathbf {A} _{ij}\odot \mathbf {B} \right)_{ij}=\left(\left(\) mathbf {A} _{ij}\otimes \mathbf {B} _{kl}\right)_{kl}\right)_{ij}

Például:

\mathbf {A} =\left[{\begin{array}{c |  c}\mathbf {A} _{11}&\mathbf {A} _{12}\\\hline \mathbf {A} _{21}&\mathbf {A} _{22}\end{tömb}} \right]=\left[{\begin{array}{cc |  c}1&2&3\\4&5&6\\\hline 7&8&9\end{array}}\right],\quad \mathbf {B} =\left[{\begin{array}{c |  c}\mathbf {B} _{11}&\mathbf {B} _{12}\\\hline \mathbf {B} _{21}&\mathbf {B} _{22}\end{tömb}} \right]=\left[{\begin{array}{c |  cc}1&4&7\\\hline 2&5&8\\3&6&9\end{array}}\right],

{\begin{aligned}\mathbf {A} \odot \mathbf {B} =\left[{\begin{array}{c |  c}\mathbf {A} _{11}\odot \mathbf {B} &\mathbf {A} _{12}\odot \mathbf {B} \\\hline \mathbf {A} _{21}\odot \mathbf {B} &\mathbf {A} _{22}\odot \mathbf {B} \end{array}}\right]={}&\left[{\begin{array}{c |  c |  c |  c}\mathbf {A} _{11}\otimes \mathbf {B} _{11}&\mathbf {A} _{11}\otimes \mathbf {B} _{12}&\mathbf {A} _ {12}\otimes \mathbf {B} _{11}&\mathbf {A} _{12}\otimes \mathbf {B} _{12}\\\hline \mathbf {A} _{11}\otimes \mathbf {B} _{21}&\mathbf {A} _{11}\otimes \mathbf {B} _{22}&\mathbf {A} _{12}\otimes \mathbf {B} _{21 }&\mathbf {A} _{12}\otimes \mathbf {B} _{22}\\\hline \mathbf {A} _{21}\otimes \mathbf {B} _{11}&\mathbf { A} _{21}\otimes \mathbf {B} _{12}&\mathbf {A} _{22}\otimes \mathbf {B} _{11}&\mathbf {A} _{22}\otimes \mathbf {B} _{12}\\\hline \mathbf {A} _{21}\otimes \mathbf {B} _{21}&\mathbf {A} _{21}\otimes \mathbf {B} _{22}&\mathbf {A} _{22}\otimes \mathbf {B} _{21}&\mathbf {A} _{22}\otimes \mathbf {B} _{22}\end{tömb }}\right]\\={}&\left[{\begin{array}{cc |  cccc |  c |  cc}1&2&4&7&8&14&3&12&21\\4&5&16&28&20&35&6&24&42\\\hline 2&4&5&8&10&16&6&15&24\\3&6&6&9&12&18&9&18&27\\8&10&20&32&25&40&12&30&48\\12&15&24&36&30&45&18&36&54\\\hline 7&8&28&49&32&56&9&36&63\\\hline 14&16&35&56&40&64&18&45&72\\21&24&42&63&48&72&27&54&81\end{array}}\right].\end{aligned}}

Khatri-Rao alkotásai

A szorzásnak ez a változata azonos blokkszerkezetű mátrixokra van definiálva. Előírja, hogy a Kronecker szorzat művelete blokkonként, az azonos nevű mátrixblokkon belül, az elemi Hadamard szorzat analógiájával történik , csak ebben az esetben a mátrixblokkok elemként jelennek meg, és a Kronecker szorzat a blokkok szorzására szolgál.

Jegyzetek

↑ Tracy, D.S.; Singh, R. P. (1972). „Egy új mátrixtermék és alkalmazásai a mátrix-differenciálásban”. Statistica Neerlandica . 26 (4): 143-157. DOI : 10.1111/j.1467-9574.1972.tb00199.x .
↑ Liu, S. (1999). „Matrix Results on the Khatri–Rao and Tracy–Singh Products.” Lineáris algebra és alkalmazásai . 289 (1-3): 267-277. DOI : 10.1016/S0024-3795(98)10209-4 .

Irodalom

Horn R. Mátrixanalízis: Per. angolról. / R. Horn, Ch. Johnson. – M.: Mir, 1989.– 655 p.