Több integrál

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2020. december 27-én felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzéshez 1 szerkesztés szükséges .

A matematikai elemzésben a többszörös vagy többszörös integrál változókból vett integrálok halmaza . Például: $\d > 1$

{\displaystyle \underbrace {\int \cdots \int } _{d}f(x_{1},\ldots ,x_{d})dx_{1}\cdots dx_{d))

Megjegyzés: a többszörös integrál határozott integrál, és kiszámításakor mindig egy számot kapunk.

Többszörös integrál definíciója

Legyen egy n-dimenziós valós tér mérhető [1] halmaza, legyen függvény -on . $B\sub \R^n$ $f:B\to\R$ $B$

Egy halmaz partíciója $\sigma$ páronként diszjunkt részhalmazok halmaza, amelyek együttesen mindent megadnak . $B$ $\sigma =\left\{{{U}_{i}}\subset B\right\}$ $B$

A válaszfal finomsága a halmazok legnagyobb átmérője . $\left| \sigma \right|$ $U_i \in \sigma$

\left| \sigma \right|=\max \left\{ \operátornév{diam}\left( {{U}_{i}} \right) \right\}

Egy partíciót végesnek nevezünk, ha véges halmaz, és mérhetőnek , ha minden eleme mérhető (jelen esetben Jordan szerint) halmaz.

Egy függvény többszörös (n-szeres) integrálja egy halmazon olyan szám (ha létezik), hogy bármilyen kicsi -szomszédságában is legyen a beállított számnak, mindig van a halmaznak egy ilyen partíciója és egy halmaza. közbülső pontokat, hogy a partíció közbülső pontjában lévő függvény értékének szorzatainak összege a partíció mértékén ebbe a szomszédságba esik. Formálisan: $f$ $B$ $én$ $\varepsilon$ $én$ $B$

\forall \varepsilon>0\;\; \exists\delta>0

: :

\sigma = \{ U_i \}_{i=1}^{m}

\left| \sigma \right|<\delta \; \forall \xi_i \in U_i \; \; \left| {\sum_{i=1}^{m}f(\xi_i)\mu(U_i) - I} \right| < \varepsilon

Itt van a készlet mértéke . $\mu(U_i)$ $U_{i}$

Ez a meghatározás más formában is megfogalmazható integrálösszegekkel. Ugyanis egy adott partícióhoz és egy ponthalmazhoz vegyük figyelembe az integrál összeget $\sigma = \{ U_i \}_{i=1}^{m}$ $\xi = \{ \xi_i \in U_i \}$

\zeta(f,\sigma, \xi) = \sum_{i=1}^mf(\xi_i) \mu(U_i)

Egy függvény többszörös integrálja a határ $f:B\to \R$

I = \lim_{\left| \sigma \right|\to 0} \zeta(f,\sigma,\xi)

ha létezik. A határérték az összes partíciósorozat halmazát veszi át, 0-ra hajló finomsággal. Természetesen ez a definíció eltér az előzőtől, valójában csak a használt nyelvben.

Az integrált a következőképpen jelöljük:

Vektor formában [2]

\int\limits_{G}{f\left( X \right)dX}=I

Vagy beírják az integrál ikon időket, felírják a függvényt és a differenciálokat: . $\d$ $\d$ $\underbrace{\int{\cdots }\int }_{d}f({{x}_{1}},\ldots ,{{x}_{d}})d{{x}_{1} }\cdots d{{x}_{d}}=I$
Kettős és hármas integráloknál a és jelölés is használatos, ill. $\int$ $\iiiint$

A modern matematikai és fizikai cikkekben nem alkalmazzák az integráljel ismételt használatát.

Az ilyen többszörös integrált megfelelő integrálnak nevezzük .

Abban az esetben, ha a többszörös integrál megegyezik a Riemann integrállal . $n=1$

Több integrál létezése

Elegendő feltételek

Ha egy függvény folytonos egy Jordan-mérhető kompakt halmazon, akkor arra integrálható.
- Előfordulhat, hogy egy halmaz korlátlan függvénye akkor sem integrálható, ha folytonos. Például a függvény nem integrálható az intervallumba . $y=1/x$ $\left(0;1 \jobb)$
Ha egy függvény van definiálva egy Jordan által mérhető halmazon, amelynek tetszőlegesen kis partíciói vannak, amelyeknél az adott függvény nem korlátos a pozitív mérték összes elemének unióján, akkor ez a függvény nem integrálható ezen a halmazon.

Darboux-kritérium

Legyen a függvény felső és alsó Darboux integrálja . Ezután, ha a felső és az alsó Darboux integrál egyenlő, akkor ez a függvény integrálható a , és: $én^*$ $ÉN_*$ $G$ $G$

I^*=I_*=\int\limits_{G}{f\left( X \right)dX}

Lebesgue-kritérium

Legyen egy Jordan mérhető halmaz. A funkció integrálható, ha: $G$ $G$

A funkció csak . $G$
A függvény folyamatos bekapcsolt állapotban van , ahol a halmaz nulla Lebesgue-mértékkel rendelkezik . $G\setminus E$ $E$

Több integrál tulajdonságai

Linearitás a függvényben . Legyen ekkor a mérhető, a függvények és az integrálható $\G$ $\f$ $\g$ $\G$

\forall \lambda ,\mu \in \R:~ \int\limits_{G}{\left( \lambda f+\mu g \right)dX}=\lambda \int\limits_{G}{fdX}+\ mu \int\limits_{G}{gdX}

Additivitás az integrációs halmazhoz képest . Legyenek a halmazok és mérhetőek, és . Legyen a függvény is definiálva és integrálható az és a halmazokon . Ekkor az over integrál létezik és egyenlő vele ${G}_{1}$ $G_{2}$ $G_1\cap G_2 = \varnothing$ $G_1\pohár G_2 = G$ $f(X)$ $G_{1}$ $G_{2}$ $G$

\int_G f(X) dX = \int_{G_1} f(X) dX + \int_{G_2} f(X) dX

A funkció monotonitása . Legyen mérhetően, függvények és integrálható , és . Akkor $G$ $f$ $g$ $G$ $\forall X\in G\colon f\left( X \right)\leqslant g\left( X \right)$

\int_G f(X)dX \leqslant \int_G g(X)dX

Integrált háromszög egyenlőtlenség . Az előző tulajdonság következménye.

\left| \int_G f(X)dX \right|\leqslant \int_G \left| f(X)\jobbra| dX

Integrál középérték tétel . Legyen kompakt, a függvény folytonos és integrálható -on , akkor $G$ $f(X)$ $G$

\exists Y\in G\colon \int_G f(X)dX = f(Y) \mu(G)

A konstans függvény bármely mérhető halmazba integrálható , és $f(X) = c$ $G$

\int_G f(X)dX = c\cdot \mu(G)

Ennek következtében ,. $\ \int_G dX = \mu(G)$

Több integrál számítása

Több integrál redukálása iteratívra

Legyen mérhető halmaz, legyen mérhető halmaz is, legyen definiálható és integrálható -on . Akkor $D\alhalmaz {{\mathbb{R}}^{d-1}}$ $G=\left\{ \left( {{x}_{1}},\ldots ,{{x}_{d}} \right):\left( {{x}_{1}},\ldots ,{{x}_{d-1}} \right)\in D;\varphi \left( {{x}_{1}},\ldots ,{{x}_{d-1}} \right )\le {{x}_{d}}\le \psi \left( {{x}_{1}},\ldots ,{{x}_{d-1}} \right) \right\}$ $f\bal (X\jobb)$ $\G$

$\int \limits _{\ \varphi \left({{x}_{1)),\ldots ,{{x}_{d-1}}\right)}^{\psi \left( {{x}_{1}},\ldots ,{{x}_{d-1}}\right)}{f\left({{x}_{1}},\ldots ,{{x} _{d}}\jobbra)d{{x}_{d}}}\equiv I\left({{x}_{1}},\ldots ,{{x}_{d-1}}\ jobb)$ mindenhol létezik a -n , kivéve a Lebesgue-féle nulla mértékhalmazt ( lehet, hogy üres); $D$ $D_0$ $D_0$
hol létezik $\int \limits _{D}{\tilde {I}}\left({{x}_{1)),\ldots ,{{x}_{d-1}}\right)d{ {x}_{1}}\ldots d{{x}_{d-1}}\equiv \int \limits _{D}{\left[\int \limits _{\,\varphi \left({ {x}_{1}},\ldots ,{{x}_{d-1}}\right)}^{\psi \left({{x}_{1}}),\ldots ,{{ x }_{d-1}}\right)}{f\left({{x}_{1}},\ldots ,{{x}_{d}}\right)d{{x}_{ d }}}\right]d{{x}_{1}}\ldots d{{x}_{d-1}}}$

\tilde I\left( {{x}_{1}},\ldots ,{{x}_{d-1}} \right) \equiv \begin{cases} I\left( {{x}_{ 1}},\ldots ,{{x}_{d-1}} \right), & ({{x}_{1}},\ldots ,{{x}_{d-1}}) \ in D \backslash D_0 \\ \qquad \quad 0 & ({{x}_{1}},\ldots ,{{x}_{d-1}}) \in D_0, \end{cases}

egy függvény halmaz feletti iterált integráljának nevezzük ;

f\left( {{x}_{1}},\ldots ,{{x}_{d-1}} \right)

G

$\int \limits _{G}{f\left({{x}_{1}},\ldots ,{{x}_{d}}\right)d{{x}_{1} }\ldots d{{x}_{d}}}=\int \limits _{D}{\left[\int \limits _{\,\varphi \left({{x}_{1}}, \ldots ,{{x}_{d-1}}\right)}^{\psi \left({{x}_{1}},\ldots ,{{x}_{d-1}}\ jobb)}{f\left({{x}_{1}},\ldots ,{{x}_{d}}\right)d{{x}_{d}}}\right]d{{ x}_{1}}\ldots d{{x}_{d-1}}}$ .

Bármely d-dimenziós integrál d egydimenziósra redukálható.

Változók módosítása többszörös integrálban

Adjunk meg egy bijektív leképezést , amely átalakítja a tartományt a következőre: ${{\mathbb{R}}^{d}} \leftrightarrow {{\mathbb{R}}^{d}}$ $\ {{D}'}$ $\D$

\left\{ \begin{align} {{t}_{1}}={{\psi }_{1}}\left( {{x}_{1}},\ldots ,{{x}_ {d}} \jobbra) \\ {{t}_{2}}={{\psi }_{2}}\left( {{x}_{1}},\ldots ,{{x}_ {d}} \jobbra) \\ \ldots \\ {{t}_{d}}={{\psi }_{d}}\left( {{x}_{1}},\ldots ,{ {x}_{d}} \right) \\ \end{align} \right.

hol vannak a "régi" és az "új" koordináták. Továbbá legyen a leképezést meghatározó függvényeknek a tartományban elsőrendű folytonos parciális deriváltjai, valamint korlátos és nem nulla Jacobi- $t$ $x$ $\ {{D}'}$

\frac{D\left( t \right)}{D\left( x \right)}=\frac{D\left( {{t}_{1}},\ldots ,{{t}_{d }} \jobbra)}{D\left( {{x}_{1}},\ldots ,{{x}_{d}} \jobbra)}

Ezután azzal a feltétellel, hogy az integrál létezik

\int\limits_{D}{f\left( T \right)dT}=\int{\int\limits_{D}{\ldots \int{f\left( {{t}_{1)),\ ldots ,{{t}_{d}} \right)d{{t}_{1}}\ldots d{{t}_{d}}}}}

a változók változásának képlete érvényes:

\int{\int\limits_{D}{\ldots \int{f\left( {{t}_{1)),\ldots ,{{t}_{d)) \right)d{{t} _{1}}\ldots d{{t}_{d}}}}}=\int{\int\limits_{{{D}'}}{\ldots \int{f\left( {{\psi }_{1}}\left( {{x}_{1}},\ldots ,{{x}_{d}} \right),\ldots ,{{\psi }_{d}}\left ( {{x}_{1}},\ldots ,{{x}_{d}} \right) \right)\left| \frac{D\left( {{t}_{1}},\ldots ,{{t}_{d}} \right)}{D\left( {{x}_{1}},\ldots ,{{x}_{d}} \right)} \right|d{{x}_{1}}\ldots d{{x}_{d}}}}}

A szimmetria használata

Ha az integrációs tartomány legalább az egyik integrációs változó koordinátáinak origójához képest szimmetrikus, és az integrandus páratlan ebben a változóban, akkor az integrál egyenlő nullával, mivel az integrációs tartomány két felén lévő integrálok ugyanaz az abszolút érték, de ellentétes előjelek. Ha az integrandus páros ezen a változón felül, akkor az integrál az integrációs tartomány egyik felében lévő integrál kétszeresével egyenlő, mivel az integrálok mindegyik fele egyenlő.

1. példa. Legyen a függvény integrálva a tartományon keresztül $f(x,y) = 2\sin(x)-3y^3+5$

T=\left \{ ( x,y) \in \mathbf{R}^2 \ : \ x^2+y^2\le 1 \right \},

egy 1 sugarú kör , amelynek középpontja az origó.

A linearitási tulajdonság segítségével az integrál három részre bontható:

\iint_T (2\sin x - 3y^3 + 5) \, dx \, dy = \iint_T 2 \sin x \, dx \, dy - \iint_T 3y^3 \, dx \, dy + \iint_T 5 \ , dx \, dy

A 2sin( x ) és a 3 y 3 páratlan függvények, és az is világos, hogy a T lemez szimmetrikus mind az x , mind az y tengelyre . Így csak a konstans 5 járul hozzá a végeredményhez.

2. példa. Legyen az f ( x , y , z ) = x exp( y 2 + z 2 ) függvény integrálva egy 2 sugarú gömbön , amelynek középpontja az origóban van,

T = \left \{ ( x,y, z) \in \mathbf{R}^3 \ : \ x^2+y^2+z^2 \le 4 \right \}.

A "golyó" mindhárom tengely mentén szimmetrikus, de elég az x tengely mentén integrálni , hogy az integrál 0 legyen, mivel a függvény ebben a változóban páratlan.

Dupla integrál

A kettős integrál a többszörös integrál . $\d=2$

\iint\limits_{D}{f\left( P \right)d\sigma }

. Itt van a terület elem a figyelembe vett koordinátákban.

\d\sigma

Téglalap koordinátákban: , ahol a terület elem téglalap koordinátákban. $\iint\limits_{D}{f\left(x,y \right)dxdy}$ $\dxdy$

A kettős integrál geometriai jelentése

Hagyja, hogy a függvény csak pozitív értékeket vegyen fel a tartományban. Ekkor a kettős integrál numerikusan egyenlő az alapra épített, felülről a megfelelő felületdarabbal határolt függőleges hengeres test térfogatával . $f\left(x,y\jobb)$ $\D$ $\iint \limits _{D}{f\left(x,y\right)d\sigma }::$ $\V$ $\D$ $z=f\left(x,y\jobb)$

A kettős integrál kifejezése polárkoordinátákkal

Egyes esetekben a kettős integrált nem derékszögű, hanem poláris koordinátákban könnyebb kiszámítani , mivel ebben az esetben az integrációs régió formája és a teljes integrációs folyamat egésze jelentősen leegyszerűsödhet.

Alkalmazzuk a változók változásának tételét. Az átmenetnek megfelelő transzformáció alakja:

\left\{{\begin{aligned}&x=r\cos \varphi \\&y=r\sin \varphi \end{aligned}}\right.

A leképezés jakobi modulusa: . Így azt kapjuk $\r$

\iint \limits _{D}{f\left(x,y\right)dxdy}=\iint \limits _{{D}'}{g\left(r,\varphi \right)rdrd\ varphi },\quad

ahol .

g\left(r,\varphi \right)=f\left(r\cos \varphi ,r\sin \varphi \right)

Itt látható a terület elem polárkoordinátában. $\rdrd\varphi$

Példa tetszőleges koordinátarendszerre való átmenetre

Számítsuk ki a régió területét . $D=\left\{ \left( x,y \right):{{x}^{2}}+\frac{{{y}^{2}}}{4}\le 1 \right\}$

A poláris koordináta-rendszerre váltás nem teszi könnyebbé a területet:

{D}'=\left\{ \left( r,\varphi \right):{{r}^{2}}\left( {{\cos }^{2}}\varphi +\frac{1} {4}{{\sin }^{2}}\varphi \right)\le 1 \right\}

A szinusz előtti szorzó "zavarja". Ebben az esetben az átmenet kissé módosítható:

\left\{ \begin{align} & x=r\cos \varphi \\ & y=2r\sin \varphi \\ \end{align} \right.

Ez az átalakítás az eredeti területet a következőre fordítja:

{D}''=\left\{ \left( r,\varphi \right):{{r}^{2}}\le 1 \right\}\Rightarrow \left\{ \begin{align} & 0 \le \varphi \le 2\pi \\ & 0\le r\le 1 \\ \end{align} \right.

Jacobi kijelző:

\left| \begin{mátrix} {{{{x}'}}_{r}} & {{{{y}'}}_{r}} \\ {{{{x}'}}_{\varphi } } & {{{{y}'}}_{\varphi }} \\ \end{mátrix} \right|=\left| \begin{mátrix} \cos \varphi & 2\sin \varphi \\ -r\sin \varphi & 2r\cos \varphi \\ \end{mátrix} \right|=2r

A jakobi modulus is . $2r$

Innen

S\left( D \right)=\iint\limits_{{{D}''}}{2rdrd\varphi }=2\int\limits_{0}^{2\pi }{d\varphi }\int\ limits_{0}^{1}{rdr}=\int\limits_{0}^{2\pi }{d\varphi }=2\pi

Az eredmény helyes, mert a területet a kanonikus egyenlet által megadott ellipszis határolja. A terület a képlet segítségével számítható ki . Behelyettesítéssel megbizonyosodunk arról, hogy az integrál számítása helyes. $\D$ $S=\pi ab$

Kettős integrálok alkalmazásai

Érték neve	Általános kifejezés	Téglalap koordináták	Poláris koordináták
Lapos alak területe	$S=\iint\limits_{G}{d\sigma }$	$\iint\limits_{G}{dxdy}$	$\iint\limits_{G}{rdrd\varphi }$
Vékony lapos lemez tömege sűrűség $\mu$	$m=\iint\limits_{G}{\mu \left( \sigma \right)d\sigma }$	$\iint\limits_{G}{\mu \left(x,y \right)dxdy}$	$\iint\limits_{G}{\mu \left( r,\varphi \right)rdrd\varphi}$
Felületi darab terület $^{1)}$	$S=\iint\limits_{G}{\frac{d\sigma }{\cos \gamma }}$	$\iint\limits_{G}{\sqrt{1+{{\left( \frac{\partial z}{\partial x} \right)}^{2))+{{\left( \frac{\partial z}{\partial y} \right)}^{2}}}dxdy}$	$\iint\limits_{G}{\sqrt{{{r}^{2}}+{{r}^{2}}{{\left( \frac{\partial z}{\partial \rho } \right )}^{2))+{{\left( \frac{\partial z}{\partial \varphi } \right)}^{2))}drd\varphi }$
Egy hengeres test térfogata, a repülőn állva $XOY$	$V=\iint\limits_{G}{zd\sigma }$	$\iint\limits_{G}{zdxdy}$	$\iint\limits_{G}{zrdrd\varphi }$
Lapos alak tehetetlenségi nyomatéka $^{2)}$ a tengelyről $O{{Z}^{3)}}$	${{I}_{z}}=\iint\limits_{G}{{{r}^{2}}d\sigma }$	$\iint\limits_{G}{\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)dxdy}$	$\iint\limits_{G}{{{r}^{3}}drd\varphi }$
Lapos alak tehetetlenségi nyomatéka $^{2)}$ a tengelyről $O{{X}^{3)}}$	${{I}_{z}}=\iint\limits_{G}{{{y}^{2}}d\sigma }$	$\iint\limits_{G}{{{y}^{2}}dxdy}$	$\iint\limits_{G}{{{r}^{3}}{{\sin }^{2}}\varphi drd\varphi }$
Tömegkoordináták középpontja homogén lemez $^{3)}$	${{x}_{c}}=\frac{1}{S}{\iint\limits_{G}{xd\sigma }}$ ${{y}_{c}}=\frac{1}{S}{\iint\limits_{G}{yd\sigma }}$	$\begin{align} & \frac{1}{S}{\iint\limits_{G}{xdxdy}} \\ & \frac{1}{S}{\iint\limits_{G}{ydxdy}} \ \ \end{igazítás}$	$\begin{align} & \frac{1}{S}{\iint\limits_{G}{{{r}^{2}}\cos \varphi drd\varphi }} \\ & \frac{1}{ S}{\iint\limits_{G}{{{r}^{2}}\sin \varphi drd\varphi }} \\ \end{align}$
Megjegyzések	1) Terület – síkra vetítés ; a terület minden pontjába csak a felület egy pontja vetül; $G$ $XOY$ $\gamma$ az érintősík és a sík közötti szög . $XOY$ 2) A síkkal kombinálva . $XOY$ 3) Vagy ami ugyanaz, az O középponthoz képest.

Tripla integrál

A hármas integrál egy többszörös integrál a következővel: $\d=3$

\iiiint\limits_{D}{f\left( P \right)dV }

ahol a térfogatelem a figyelembe vett koordinátákban. $\dV$

A hármas integrál kifejezése derékszögű koordinátákkal

Téglalap alakú koordinátákban a hármas integrálnak a következő alakja van:

\iiiint\limits_{D} f(x,y,z) \, dx \, dy \, dz

ahol a térfogatelem téglalap alakú koordinátákkal. $\dxdydz$

A hármas integrál kifejezése hengerkoordinátákkal

Hasonlóképpen, bizonyos esetekben a hármas integrált nem téglalap alakú, hanem hengeres koordinátákkal könnyebb kiszámítani . Alkalmazzuk a változók változásának tételét. Az átmenetnek megfelelő transzformáció alakja:

\left\{ \begin{align} & x=r\cos \varphi \\ & y=r\sin \varphi \\ & z=h \\ \end{align} \right.

A leképezés jakobi modulusa: . Így azt kapjuk $\r$

\iiiint\limits_{D}{f\left( x,y,z \right)dxdydz}=\iiint\limits_{{{D}'}}{f\left( r,\varphi ,h \right)rdrd \varphi dh}

ahol a térfogatelem hengeres koordinátákkal. $rdrd\varphi dh$

A hármas integrál kifejezése gömbkoordinátákkal

A hengeres koordináták mellett átválthat gömbkoordinátákra is . Alkalmazzuk a változók változásának tételét. Az átmenetnek megfelelő transzformáció alakja:

\left\{ \begin{align} & x=r\sin \theta \cos \varphi \\ & y=r\sin \theta \sin \varphi \\ & z=r\cos \theta \\ \end{ igazítás}\jobbra.

A leképezés jakobi modulusa: . Így azt kapjuk $\ {{r}^{2}}\sin \theta$

\iiiint\limits_{D}{f\left( x,y,z \right)dxdydz}=\iiint\limits_{{{D}''}}{f\left( r,\varphi ,\theta \right ){{r}^{2}}\sin \theta drd\varphi d\theta }

ahol a térfogatelem gömbkoordinátákkal. ${{r}^{2}}\sin \theta drd\varphi d\theta$

A hármas integrálok alkalmazásai

Érték neve	Általános kifejezés	Téglalap koordináták	Hengeres koordináták	Gömb koordináták
test térfogata	$V=\iiiint\limits_{G}{dV }$	$\iiiint\limits_{G}{dxdydz}$	$\iiiint\limits_{G}{rdrd\varphi dh}$	$\iiiint\limits_{G}{{{\rho }^{2}}\sin \theta d\rho d\varphi d\theta }$
A geometria tehetetlenségi nyomatéka testek a tengely körül $oz$	${{I}_{z}}=\iiiint\limits_{G}{{{r}^{2}}dV }$	$\iiiint\limits_{G}{\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)dxdydz}$	$\iiiint\limits_{G}{{{r}^{3}}drd\varphi dh}$	$\iiiint\limits_{G}{{{\rho }^{4}}{{\sin }^{3}}\theta d\rho d\varphi d\theta }$
Egy fizikai test tömege sűrűséggel $\mu$	$m=\iiiint\limits_{G}{\mu dV }$	$\iiiint\limits_{G}{\mu dxdydz}$	$\iiiint\limits_{G}{\mu rdrd\varphi dh}$	$\iiiint\limits_{G}{\mu {{\rho }^{2}}\sin \theta d\rho d\varphi d\theta }$
Tömegkoordináták középpontja homogén test	$\begin{align} & {{x}_{c}}={\frac{1}{V}}{\iiiint\limits_{G}{xdV }} \\ & {{y}_{c}} ={\frac{1}{V}}{\iiiint\limits_{G}{ydV }} \\ & {{z}_{c}}={\frac{1}{V}}{\iiiint\ limits_{G}{zdV }} \\ \end{align}$	$\begin{align} & {\frac{1}{V}}{\iiiint\limits_{G}{xdxdydz}} \\ & {\frac{1}{V}}{\iiiint\limits_{G}{ ydxdydz)) \\ & {\frac{1}{V)){\iiiint\limits_{G}{zdxdydz)) \\ \end{align}$	—	—

Lásd még

Jegyzetek

↑ Itt és lent mindenhol, hacsak másképp nem jelezzük, egy halmaz mérhetőségét jordán értelemben értjük.
↑ Egy ilyen jelölésben meglehetősen jellemző, hogy az ( n - dimenziós) integrációs hatókör elemére más betűt használunk, mint az integrálható függvény vektorargumentumának megjelölésére, pl. nem , hanem például vagy egyszerűen vagy stb., mivel a koordináta jelölésben ez a térfogatelem a legegyszerűbb esetben a koordináta-differenciálok szorzata , és a görbe vonalú koordináták általánosabb esetben X -nek tartalmaznia kell a metrika determinánsát is : $\int\limits_{G}{f\left( X \right)dX},$ $\int\limits_{G}{f\left( X \right)dV_X}$ $\int\limits_{G}{f\left( X \right)dV}$ $\int\limits_{G}{f\left( X \right)d\Omega}$ $dV_X = \prod_i dX_i$ $dV_X = |\det g| \prod_i dX_i.$

Irodalom

Vygodsky, M. Ya. Több érv függvényeinek differenciálása és integrációja // Magasabb matematika kézikönyve. - M . : Astrel, AST, 2005. - 991 p. — 10.000 példány. - ISBN 5-17-012238-1 , 5-271-03651-0.
Ilyin, V. A., Poznyak, E. G. 2. fejezet Kettős és n-szeres integrálok // A matematikai elemzés alapjai. - 4. - M. : FIZMATLIT, 2001. - T. 2. - 464 p. — (Felsőfokú matematika és matematikai fizika tantárgy). - 5000 példány. — ISBN 5-9221-0131-5 .
Kudrjavcev, L. D. 6. fejezet: Több változó függvényeinek integrálszámítása // Matematikai elemzés pálya. - M . : Felsőiskola, 1981. - T. 2. - 584 p.
Budak, B. M., Fomin S. V. Több integrál és sorozat. — M .: Nauka , 1967. — 608 p.

Szótárak és enciklopédiák	Nagy orosz Britannica (online)
Bibliográfiai katalógusokban	BNE : XX552555 NKC : ph385192

Integrálszámítás

Fő

A Riemann-integrál általánosításai

Integrált
transzformációk

Numerikus
integráció

mértékelmélet

Kapcsolódó témák

Integrálok listái