Mehler-Fock átalakulás

A függvény Mehler-Fock transzformációja a következő formában van: $f(x)$

F(\tau )=\int _{1}^{\infty }f(x)P_{-{\frac {1}{2}}+i\tau }(x)dx,\quad \ tau \geqslant 0,

hol van az első típusú gömb alakú Legendre-függvény . Ha egy valós függvény , és $P_{\nu }(x)$ $f(x)$

f(x)f(x)P_{-{\frac {1}{2}}}(x)\in L(1,+\infty ),

akkor a Lebesgue -i értelemben vett integrál egy tetszőlegesre meghatározott valós függvény . $F(\tau )$ $\tau \geqslant 0$

A fordított átalakítás így néz ki:

f(x)=\int _{0}^{\infty }\tau \,\mathrm {th} \,(\pi \tau )F(\tau )P_{-{\frac {1} {2}}+i\tau }d\tau .

Ezt a transzformációt először G. F. Mehler vezette be 1881-ben, az ezzel kapcsolatos fő tételeket V. A. Fock igazolta .

A Mehler-Fock transzformáció a potenciálelméleti problémák megoldásában, a hővezetési elméletben , a lineáris integrálegyenletek megoldásában és más matematikai fizika problémák megoldásában is alkalmazható .

Egyéb meghatározások

Néha a meghatározást kiterjesztik -ra, feltételezve $F(\tau )$ $\tau <0$

F(-\tau )=F(\tau ).

A Mehler-Fock transzformáció elmélete egy tetszőleges függvény Fourier-típusú integrállá való bővítésén alapul:

f(x)=\int _{0}^{\infty }\int _{1}^{\infty }\tau \,\mathrm {th} \,(\pi \tau )P_{- {\frac {1}{2}}+i\tau }f(\xi )P_{-{\frac {1}{2}}+i\tau }(\xi )d\xi d\tau .

Ennek alapján a Mehler-Fock transzformáció más lehetséges definíciói is beszerezhetők.

A szakirodalomban van egy meghatározás:

{\tilde {F}}(x)=\int _{0}^{\infty }P_{-{\frac {1}{2}}+i\tau }(x)f(\tau )d\tau ,\quad x\geqslant 1.

Ekkor, ha , lokálisan integrálható és -on , akkor az inverziós képlet igaz: $f(\tau )\in L[0,\infty )$ $|f'(\tau )|$ $[0, \infty)$ $f(0) = 0$

f(\tau )=\tau \,\mathrm {th} \,(\pi \tau )\int _{1}^{\infty }P_{-{\frac {1}{2)) +i\tau }(x){\tilde {F}}(x)dx.

Számítás

A Mehler-Fock transzformáció tényleges számítása a Legendre-függvények integrál reprezentációival és az integráció sorrendjének ezt követő megváltoztatásával történik.

Példák az ilyen integrál reprezentációkra:

P_{-{\frac {1}{2}}+i\tau }(\mathrm {ch} \,\alpha )={\frac {2}{\pi }}\int _{0} ^{\alpha }{\frac {\cos \tau s}{\sqrt {2(\mathrm {ch} \,\alpha -\mathrm {ch} \,s)))}ds,\quad \alpha \ geqslant 0,

(ezt az ábrázolást Mehler-integrálnak is nevezik)

P_{-{\frac {1}{2}}+i\tau }(\mathrm {ch} \,\alpha )={\frac {2}{\pi }}\mathrm {ch} \ ,\pi \tau \int _{0}^{\infty }{\frac {\cos \tau s}{\sqrt {2(\mathrm {ch} \,\alpha -\mathrm {ch} \,s )}}}ds,\quad \alpha \geqslant 0.

Parseval egyenlősége

A Mehler-Fock transzformációhoz a Parseval-egyenlőség analógja nyerhető a Fourier-transzformációhoz .

Legyen két tetszőleges függvény, amely kielégíti a feltételeket: $g_{k}(x),\;i=1,2$

g_{k}(x)x^{-{\frac {1}{2}}}\ln(1+x)\in L(1,\infty ),\quad g_{k}(x )\in L_{2}(1,\infty ),

és a Mehler-Fock transzformációt az egyenlőségek adják meg:

G_{k}(\tau )=\int _{1}^{\infty }{\sqrt {\tau \mathrm {th} \,\pi \tau }}P_{-{\frac {1 }{2}}+i\tau }(x)g_{k}(x)dx,\quad i=1,2,

g_{k}(x)=\int _{0}^{\infty }{\sqrt {\tau \mathrm {th} \,\pi \tau }}P_{-{\frac {1} {2}}+i\tau }(x)G_{k}(\tau )dx,\quad i=1,2,

akkor a Parseval egyenlőség érvényes a Mehler-Fock transzformációra:

\int _{0}^{\infty }G_{1}(\tau )G_{2}(\tau )d\tau =\int _{1}^{\infty }g_{1}( x)g_{2}(x)dx.

Használati példa

Tekintsünk egy példát egy megoldásra, amely az integrál egyenlet Mehler-Fock transzformációját használja:

f(x)=g(x)+\lambda \int _{1}^{\infty }{\frac {f(s)}{x+s}}ds,\quad x\geqslant 1, \quad \pi \lambda<1.

Legyen a Mehler-Fock transzformáció

F(\tau )=\int _{1}^{\infty }f(x)P_{-{\frac {1}{2}}+i\tau }(x)dx,

G(\tau )=\int _{1}^{\infty }g(x)P_{-{\frac {1}{2}}+i\tau }(x)dx,

létezik.

Ekkor az egyenlet a következő alakra alakítható:

F(\tau )=G(\tau )+{\frac {\lambda \pi }{\mathrm {ch} \,(\pi \tau )))F(\tau ),

ahol:

F(\tau )={\frac {G(\tau )}{1-{\frac {\lambda \pi }{\mathrm {ch} \,(\pi \tau ))))).

Ha bármely véges intervallum korlátos változásának folytonos függvénye, és $g(x)$ $x\in(1,b),$

g(x)P_{\frac {1}{2}}(x)\in L(1,+\infty ),

G(\tau )\tau \in L(0,+\infty ),

akkor az inverziós képlet segítségével megkapjuk az eredeti egyenlet megoldását:

f(x)=\int _{0}^{\infty }\tau \mathrm {th} \,(\pi \tau ){\frac {G(\tau )}{1-{\frac {\lambda \pi }{\mathrm {ch} \,(\pi \tau )))))P_{-{\frac {1}{2))+i\tau }(x)d\tau .

Általánosított Mehler-Fock transzformáció

Az általánosított Mehler-Fock transzformációt a következő képlet adja meg:

{\tilde {F}}_{k}(x)=\int _{0}^{\infty }P_{-{\frac {1}{2}}+i\tau }^{( k)}f(\tau )d\tau ,

hol vannak az első típusú kapcsolódó Legendre-függvények. $P_{\nu }^{(k)}(x)$

A megfelelő konverziós képlet a következő:

f(\tau )={\frac {\tau \,\mathrm {th} \,(\pi \tau )}{2))\Gamma \left({\frac {1}{2)) -k+ix\jobbra)\Gamma \left({\frac {1}{2}}-k-ix\jobbra)\int _{1}^{\infty }P_{-{\frac {1}{ 2}}+i\tau }^{(k)}(x){\tilde {F}}_{k}(x)dx.

Különleges esetek

A -nál megkapjuk a szokásos Mehler-Fock transzformáció esetét . $k = 0$ ${\tilde {F}}(x)$
Ha megkapod a koszinusz Fourier transzformációt . $k={\frac {1}{2)),x=\,\mathrm {ch} \,\alpha$
Ha megkapja a szinuszos Fourier transzformációt . $k=-{\frac {1}{2)),x=\,\mathrm {ch} \,\alpha$

Irodalom

Matematikai Enciklopédia Szerk. kollégium: I. M. Vinogradov (a szerkesztő vezetője) [és mások] M., "Soviet Encyclopedia", 1977-1985.
Ditkin V. A., Prudnikov A. P. Integrális transzformációk és műveleti számítások. - M, Fizmatgiz, 1961

Integrált transzformációk
Ábel átalakul Bessel átalakul Bushman átalakulás Gegenbauer átalakulás Hilbert átalakul Kontorovics-Lebegyev átalakulás Laplace transzformáció Meyer átalakul Mehler-Fock átalakulás Mellin átalakul Nerain transzformáció Radon átalakulás Stieltjes átalakul Fourier transzformáció Hankel transzformáció Hartley átalakul