Ábel integrál transzformáció

Az Abel integrál transzformáció egy olyan transzformáció , amelyet gyakran használnak gömb- vagy hengerszimmetrikus függvények elemzésére. Nevét N. H. Abel norvég matematikusról. Egy függvényesetében az Abel-transzformációt az egyenlet adja meg $f(r)$

F(y)=2\int \limits _{y}^{\infty }{\frac {f(r)r\,dr}{\sqrt {r^{2}-y^{2} }}}.

Ha a függvény gyorsabban esik le , mint , akkor kiszámíthatja az inverz Abel transzformációt: $f(r)$ $r$ $1/r$

f(r)=-{\frac {1}{\pi }}\int \limits _{r}^{\infty }{\frac {dF}{dy}}\,{\frac {dy }{\sqrt {y^{2}-r^{2)))).

A képfeldolgozás során az Abel-transzformációt szimmetrikus, optikailag vékony emissziós függvény síkra vetítésére használják. Az inverz transzformáció egy függvény visszaállítására szolgál a vetületéből (pl. fényképek).

Geometriai értelmezés

Az Abel-transzformáció a kétdimenziós esetben egy tengelyszimmetrikus függvény vetületének tekinthető a tengelytől távolabb elhaladó párhuzamos egyenesek mentén. A jobb oldali ábra szerint a megfigyelő (I) látni fogja az értéket $F(y)$ $f(r)$ $y$

F(y)=\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(r)\,dx,

ahol az ábrán látható tengelyszimmetrikus függvény szürke színnel. Feltételezzük, hogy a megfigyelő a helyen van, és így az integráció határai egyenlőek . Minden megfigyelési vonal párhuzamos a tengellyel . $f(r)$ $x=\infty ,$ $\pm\infty$ $x$

Figyelembe véve, hogy a sugár összefügg a -val és a -val , ezt kapjuk $r$ $x$ $y$ ${\displaystyle r^{2}=x^{2}+y^{2))$

dx={\frac {r\,dr}{\sqrt {r^{2}-y^{2)))).

Mivel a változó nem változtat előjelet az integráció során , az integrandus (mindkettő és a kifejezés is ) páros függvény . Ezért lehet írni $r$ $f(r)$ $dx$

\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(r)\,dx=2\int \limits _{0}^{\infty }f(r)\,dx.

Ha a változót a következőre cseréljük, akkor az Abel transzformációs képletet kapjuk: $x$ $r$

F(y)=2\int \limits _{y}^{\infty }{\frac {f(r)r\,dr}{\sqrt {r^{2}-y^{2} }}}.

Az Abel transzformáció több dimenzióra is általánosítható. Különösen érdekes a három dimenzió esete. Tengelyszimmetrikus függvény esetén, ahol a sugár hengeres koordinátákban van, lehetséges a függvényt a tengellyel párhuzamos síkra vetíteni . Az általánosság elvesztése nélkül vehetünk egy síkkal párhuzamos síkot . Ahol $f(\rho ,z)$ $\rho ^{2}=x^{2}+y^{2}$ $z$ $yz$

F(y,z)=\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(\rho ,z)\,dx=\int \limits _{y}^{\infty }{ \frac {f(\rho ,z)\rho \,d\rho }{\sqrt {\rho ^{2}-y^{2)))),

ami az Abel-transzformáció az és változókban . $f(\rho ,z)$ $\rho$ $y$

Az axiális szimmetria speciális esete a gömbszimmetria . Ebben az esetben van egy függvény , ahol . $f(r)$ ${\displaystyle r^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2))$

A síkra vetítésnek körszimmetriája lesz, amely így írható fel , ahol . Az integrálással azt kapjuk $yz$ $F(ek)$ $s^{2}=y^{2}+z^{2}$

F(s)=\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(r)\,dx=\int \limits _{s}^{\infty }{\frac {f( r)r\,dr}{\sqrt {r^{2}-s^{2))))),

ami ismét az Abel-transzformáció az és változókban . $f(r)$ $r$ $s$

Kapcsolat más transzformációkkal

Az Abel-transzformáció az úgynevezett Fourier-Hankel-Abel ciklus tagja. Például két dimenzió esetén, ha Abel-transzformációval, Fourier -transzformációval és nulladrendű Hankel -transzformációval jelöljük , akkor körszimmetriájú függvényeknél az egyenlőség $A$ $F$ $H$

FA=H,

vagyis ha először az Abel-transzformációt alkalmazzuk egy egydimenziós függvényre, majd a Fourier-transzformációt, akkor az eredmény ugyanaz lesz, mint a Hankel-transzformáció alkalmazása után.

Integrált transzformációk
Ábel átalakul Bessel átalakul Bushman átalakulás Gegenbauer átalakulás Hilbert átalakul Kontorovics-Lebegyev átalakulás Laplace transzformáció Meyer átalakul Mehler-Fock átalakulás Mellin átalakul Nerain transzformáció Radon átalakulás Stieltjes átalakul Fourier transzformáció Hankel transzformáció Hartley átalakul