Stieltjes átalakul

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2021. november 11-én felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 2 szerkesztést igényelnek .

A Stieltjes-transzformáció egy integrál transzformáció , amely egy függvényre a következő formában van: $f(x)$

F(\tau )=\int _{0}^{\infty }{\frac {f(x)}{x+\tau }}dx,

ahol az integráció a valós féltengely mentén történik, és a változások a komplex síkban , a negatív valós féltengely mentén vágva. $\tau$

Ez a transzformáció egy konvolúciós transzformáció , a Laplace-transzformáció iterációja során következik be . A Stieltjes-transzformáció egy félvégtelen terjedelem momentumfeladatához is kapcsolódik, és ennek következtében néhány folyamatos törthez .

Ha folytonos és korlátozódik , akkor az inverziós képlet érvényes: $f(x)x^{\frac {1}{2))$ $(0,\infty )$

f(x)=\lim _{n\to \infty }{\frac {(-1)^{n}}{2\pi }}\left({\frac {e}{n}} \right)^{2n}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\left(x^{2n}{\frac {d^{n}}{dx^{n}} }F(x)\jobbra),\quad x>0.

Ezt az átalakulást először T. I. Stiltjes vette figyelembe .

A Laplace-transzformáció iterációja

A függvény (változó ) közvetlen Laplace-transzformációját az új változó függvényeként jelöljük as $f(x)$ $x$ $s$

{\mathcal {L}}\left\{f(x)\right\}(s)=\int \limits _{0}^{\infty }e^{-sx}f(x)\ ,dx.

Ezután az ismételt (iterált) Laplace-transzformáció

{\mathcal {L}}\left\{{\mathcal {L}}\left\{f(x)\right\}(s)\right\}(\tau )=\int _{0 }^{\infty }{\frac {f(x)}{x+\tau }}dx

a Stieltjes transzformáció (az integrál átvétele után ). $s$

Ezért a Stieltjes-transzformáció számos tulajdonsága közvetlenül megkapható a Laplace-transzformáció tulajdonságaiból .

Alaptulajdonságok és tételek

Jelölje a függvény Stieltjes transzformációját as $f(x)$

{\mathcal {S}}\left\{f(x)\right\}=F(\tau ).

A megfelelő inverz transzformációt a következőképpen jelöljük:

{\mathcal {S}}^{-1}\left\{F(\tau )\right\}=f(x).

Szorozzuk meg az eredetit a változóval

Összegezve, az eredeti képe szorozva a változóval, valamint a változó és a kép szorzata egyenlő az eredeti pozitív valós féltengelye mentén lévő integrállal egyenlő állandóval:

{\mathcal {S}}\left\{xf(x)\right\}=\int _{0}^{\infty }f(x)dx-\tau F(\tau )

A képek különbségi származéka

{\mathcal {S}}^{-1}\left\{{\frac {F(\tau )-F(\alpha )}{\tau -\alpha }}\right\}=-{ \frac {f(x)}{x+\alpha }},\quad |\operátornév {arg} (\alpha )|<\pi

Az eredetik különbségi származéka

{\mathcal {S}}\left\{{\frac {f(x)-f(a)}{xa}}\right\}={\frac {{\frac {1}{2} }\left(F(ae^{i\pi })+F(ae^{i\pi })\right)-f(a)\ln \left({\frac {\tau }{a))\ jobb)-F(\tau )}{\tau +a}},\quad a>0

Argument Stretch

Amikor az eredeti változót egy tényezővel méretezzük, a képváltozót is egy tényezővel méretezzük: $a$ $a$

{\mathcal {S}}\left\{f(ax)\right\}=F(a\tau ),\quad a>0

Az eredeti megkülönböztetése

A derivált képének és a kép deriváltjának összege egy állandó osztva a képváltozóval, és ez az állandó egyenlő az eredeti nullán lévő értékével, ellenkező előjellel:

{\mathcal {S}}\left\{f'(x)\right\}=-{\frac {f(0)}{\tau }}-F'(\tau )

Általánosítások

Általánosított Stieltjes transzformáció

F(\tau )=\int _{0}^{\infty }{\frac {f(x)}{(x+\tau )^{\rho }}}dx.

Integrált Stieltjes transzformáció

F(\tau )=\int _{+0}^{\infty }K(\tau ,x)f(x)dx,

ahol

K(\tau ,x)=\left\{{\begin{matrix}{\frac {\ln {\frac {\tau }{x))}{\tau -x)),&\tau \neq x\\{\frac {1}{\tau }},&\tau =x\\\end{mátrix}}\jobbra.

Irodalom

Matematikai Enciklopédia Szerk. kollégium: I. M. Vinogradov (a szerkesztő vezetője) [és mások] M., "Soviet Encyclopedia", 1977-1985.
Bateman G., Erdeyi A. Integráltranszformációk táblázatai. 2. kötet: Bessel-transzformációk, speciális függvények integráljai . – M, Tudomány, 1970

Integrált transzformációk
Ábel átalakul Bessel átalakul Bushman átalakulás Gegenbauer átalakulás Hilbert átalakul Kontorovics-Lebegyev átalakulás Laplace transzformáció Meyer átalakul Mehler-Fock átalakulás Mellin átalakul Nerain transzformáció Radon átalakulás Stieltjes átalakul Fourier transzformáció Hankel transzformáció Hartley átalakul