Radon átalakulás

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2019. május 30-án felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 3 szerkesztést igényelnek .

A Radon transzformáció számos változó függvényének integrált transzformációja, hasonlóan a Fourier -transzformációhoz . Először Johann Radon osztrák matematikus munkájában mutatták be 1917-ben [1] .

A Radon transzformáció legfontosabb tulajdonsága a reverzibilitás , vagyis az a képesség, hogy a Radon transzformációból vissza tudja állítani az eredeti funkciót.

2D Radon transzformáció

A Radon-transzformációt célszerű a két változó függvényének legegyszerűbb esetével kezdeni, ráadásul a gyakorlatban ez az eset a legfontosabb.

Legyen két, a teljes síkon definiált valós változó függvénye, amely a végtelenben kellően gyorsan csökken (úgy, hogy a megfelelő nem megfelelő integrálok konvergálnak). Ekkor egy függvény Radon transzformációja a függvény $f(x,y)$ $f(x,y)$

R(s,\alpha )=\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(s\cos \alpha -z\sin \alpha ,s\sin \alpha +z\cos \ alfa )dz

(egy)

A Radon-transzformációnak egyszerű geometriai jelentése van - egy függvény integrálja, amely a vektorra merőleges egyenes mentén halad el (a vektor mentén mérve , a megfelelő előjellel) az origótól. ${\vec {n}}=(\cos \alpha ,\sin \alpha )$ $s$ ${\vec {n}}$

A Radon-transzformáció és a Fourier-transzformáció kapcsolata. A konverziós képlet

Tekintsük a függvény kétdimenziós Fourier transzformációját $f(x,y)$

F(k_{x},k_{y})=\int \limits _{-\infty }^{\infty }\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(x, y)e^{-i(k_{x}x+k_{y}y)}dxdy

(2)

Látható, hogy ebben az integrálban a kitevő nem változik, ha a vektorra merőleges egyenes mentén haladunk , és akkor változik a leggyorsabban, ha ezen a vektoron haladunk. Ezért kényelmes áttérni az új változókra. Jelölje , új változókat választunk . Az integrálban a változókat megváltoztatva megkapjuk ${\vec {k}}=(k_{x},k_{y})$ ${\vec {k}}=(k_{x},k_{y})=\omega (\cos \alpha ,\sin \alpha )$ $s=x\cos \alpha +y\sin \alpha ,$ $z=-x\sin \alpha +y\cos \alpha$

F(\omega \cos \alpha ,\omega \sin \alpha )=\int \limits _{-\infty }^{\infty }\left(\int \limits _{-\infty }^{ \infty }f(s\cos \alpha -z\sin \alpha ,s\sin \alpha +z\cos \alpha )e^{-i\omega s}dz\right)ds

vagyis

F(\omega \cos \alpha ,\omega \sin \alpha )=\int \limits _{-\infty }^{\infty }e^{-i\omega s}R(s,\alpha )ds

(3)

Így egy függvény Radon-transzformációjának egydimenziós Fourier-transzformációja nem más, mint a függvény kétdimenziós Fourier-transzformációja . $f(x,y)$ $f(x,y)$

Mivel a függvény Fourier-transzformációja létezik (ez egy szükséges kezdeti feltevés), akkor a függvény inverz Fourier-transzformációja is létezik . A (3) figyelembe vételével megállapíthatjuk, hogy az inverz Radon transzformációnak is léteznie kell. $f(x,y)$ $F(\omega \cos \alpha ,\omega \sin \alpha )$

A kétdimenziós Fourier-transzformáció inverziós képlete a következő

f(x,y)={\frac {1}{(2\pi )^{2))}\int \limits _{-\infty }^{\infty }\int \limits _{- \infty }^{\infty }F(k_{x},k_{y})e^{i(k_{x}x+k_{y}y)}dk_{x}dk_{y}.

Ezt a képletet célszerű polárkoordinátákkal átírni :

f(x,y)={\frac {1}{(2\pi )^{2))}\int \limits _{0}^{\infty }\int \limits _{0}^ {2\pi }e^{i\omega (x\cos \alpha +y\sin \alpha )}F(\omega \cos \alpha ,\omega \sin \alpha )\omega d\alpha d\omega

ami adott (3) megadja az inverz Radon transzformáció képletét :

f(x,y)={\frac {1}{(2\pi )^{2}}}\int \limits _{0}^{2\pi }\int \limits _{0} ^{\infty }e^{i\omega (x\cos \alpha +y\sin \alpha )}\ {\tilde {R))(\omega ,\alpha )\omega d\omega d\alpha

(négy),

ahol . ${\tilde {R}}(\omega ,\alpha )=\int \limits _{-\infty }^{\infty }R(s,\alpha )e^{-i\omega s}ds$

A (4) kifejezés amellett, hogy az inverz Radon transzformáció írásának egyik lehetősége, meghatározza a vetületeiből a rekonstrukciós módszert is , amelyet a szakértők Fourier-szintézis módszernek neveznek. Így a Fourier-szintézis módszerében először egy poláris rács feletti vetületek nagyszámú egydimenziós Fourier-képéből kétdimenziós spektrumot kell képezni (ebben az esetben a centrális szakasz tételét alkalmazzuk), majd végezze el az inverz kétdimenziós Fourier-transzformációt a polárkoordináta-rendszerben -ból . Vannak más rekonstrukciós módszerek is [2] $f(x,y)$ $R(s,\alpha _{i})$ ${\tilde {R}}(\omega ,\alpha _{i})$ ${\tilde {R}}(\omega ,\alpha )$ ${\tilde {R}}(\omega ,\alpha )$ $f(x,y)$ $R(s,\alpha )$

Központi szakasz tétel

Alkalmazzuk a közvetlen Fourier transzformáció műveletét a Radon transzformációra : $f(x,y)$ $\int \limits _{-\infty }^{\infty }R(s,\alpha )e^{-i\omega s}ds=$ $\int \limits _{-\infty }^{\infty }\left(\int \limits _{-\infty }^{\infty }\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(x,y)\delta (sx\cos \alpha -y\sin \alpha )dxdy\right)e^{-i\omega s}ds$

Az integrálás sorrendjének átrendezése és a delta függvény szűrési tulajdonságának alkalmazása elvezet a központi szakasz tételének megfogalmazásához: $\int \limits _{-\infty }^{\infty }R(s,\alpha )e^{-i\omega s}ds=$ $\int \limits _{-\infty }^{\infty }\int \limits _{-\infty }^{\infty }\left(\int \limits _{-\infty }^{\infty }e^{-i\omega s}\delta (sx\cos \alpha -y\sin \alpha )ds\right)f(x,y)dxdy=\int \limits _{-\infty }^{\ infty }\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(x,y)e^{-i\omega (x\cos \alpha +y\sin \alpha )}dxdy$

Az utolsó egyenlőségből különösen az következik, hogy a vetítés Fourier-transzformációja a függvény spektruma a frekvencia síkjában szögben átmenő egyenes mentén . Így a vetület Fourier-transzformációja a függvény kétdimenziós Fourier-transzformációjának központi része . A szakirodalomban ezt a tulajdonságot központi réteg vagy központi szakasz tételnek nevezik. $R(s,\alpha )$ $f(x,y)$ $\alpha +\pi /2$ $f(x,y)$

A Radon transzformáció alkalmazása

A számítógépes röntgen-tomográfiában detektorok sora méri a vizsgált tárgy párhuzamos sugárnyalábjának elnyelését (például röntgen az orvosi tomográfiában, szeizmikus hullámok a geofizikai tomográfiában). A Bouguer-Lambert-Beer törvénynek megfelelően a detektor által a sáv s pontjaiban mért sugárzási intenzitás arányos -val , ahol a tárgy anyagának abszorpciós együtthatója adott típusú sugárzáshoz, és az integrált együtt vesszük. az ezen a detektoron áthaladó és a detektorrúdra merőleges egyenes ( z a koordináta ezen az egyenesen). Ennek megfelelően az intenzitás ellenkező előjellel vett logaritmusa adja a Radon transzformációt az abszorpciós indexből. A sugárforrás és detektor rendszerének a tárgy körüli elforgatásával (azonban maradva), vagy magát a tárgyat az ábrán látható síkra merőleges tengely körül forgatva sugárösszegek halmazát kapjuk a kiválasztott szeletben. a tárgyról. Ezután a rekonstrukciós módszerek egyikével visszaállítható az abszorpciós index eloszlása a vizsgált objektum síkjának bármely pontján. ${\displaystyle \exp \left\{-\int \limits _{AA'}\rho (x,y)dz\right\))$ $\rho (x,y)$ $AA'$

A radontranszformációt a mágneses rezonancia képalkotásban is alkalmazzák [3] .

Radon transzformáció tetszőleges számú változó függvényére

A két változó függvényének Radon transzformációja kényelmesen átírható integrálként a teljes térben a Dirac delta függvény segítségével :

R(s,{\vec {n)))=\int \delta ({\vec {n}}{\vec {r}}-s)f({\vec {r}})d{ \vec{r}}

(2)

Itt a sugárvektor az origóból, a kétdimenziós térfogatelem, és az egységvektor, amely paraméterezhető: . A változók változásával könnyen ellenőrizhető, hogy az (1) és (2) Radon transzformáció definíciói teljesen megegyeznek. ${\vec {r}}=(x,y)$ $d{\vec {r}}=dxdy$ ${\vec {n}}$ ${\vec {n}}=(\cos \alpha ,\sin \alpha )$

A (2) képletet tetszőleges számú dimenzió esetére általánosítjuk, ehhez nem is kell átírni, elég, ha , és értjük rendre a méretsugárvektort az origóból, a térfogatelemet a dimenziótér és a méretegységvektor. Elvileg egy vektor tetszőleges számú térben szögekkel paraméterezhető. Például a háromdimenziós térben van egy paraméterezés . ${\vec {r))$ $dV$ ${\vec {n}}$ $N$ $N$ $N$ ${\vec {n}}$ ${\vec {n}}=(\sin \theta \cos \alpha ,\sin \theta \sin \alpha ,\cos \theta )$

A Radon transzformáció geometriai jelentése többdimenziós esetben: a függvény integrálja a hipersík mentén , a vektorra merőleges és az origótól távol haladva (mínusz előjellel vesszük, ha az origótól a síkra merőleges ellentétes vektorral irányítva ). ${\vec {n}}$ $s$ ${\vec {n}}$

A többdimenziós Radon transzformáció megfordítása

Többdimenziós esetben egy elég jó függvény Radon transzformációja is reverzibilis. Tekintsük a Fourier-transzformációt a változóra vonatkozóan , i.e. $R(s,{\vec {n)))$ $s$

\int R(s,{\vec {n)))e^{-is\omega }ds

A (2) képlet és a delta függvény tulajdonságainak felhasználásával kapjuk:

\int R(s,{\vec {n)))e^{-is\omega }ds=\int f({\vec {r)))e^{-i{\vec {r} }{\vec {n}}\omega }d{\vec {r}}

Jegyezzük meg most, hogy van egy integrál a teljes -dimenziós térre (itt az integrál a -dimenziós gömb feletti integrált jelenti, különösen for , for ). Ebből következik, hogy $\int \limits _{0}^{\infty }\omega ^{N-1}d\omega \int d{\vec {n))$ $N$ $\int d{\vec {n))$ $(N-1)$ $N=2$ $\int d{\vec {n}}=\int \limits d\alpha$ $N=3$ $\int d{\vec {n}}=\int \limits d\phi \cos \theta d\theta$

\int \limits _{0}^{\infty }{\frac {\omega ^{N-1}d\omega }{(2\pi )^{N))}\int d{\vec {n}}e^{i({\vec {r}}'-{\vec {r}})\omega {\vec {n}}}=\delta ({\vec {r}}-{\ vec{r}}')

A vektor delta függvény e reprezentációjával megkapjuk az inverziós képletet:

f({\vec {r}}')=\int d{\vec {n}}\int \limits _{0}^{\infty }{\frac {\omega ^{N-1} d\omega }{(2\pi )^{N}}}e^{i{\vec {r}}'{\vec {n}}\omega }\int dse^{-is\omega }R( s,{\vec {n)))

Lásd még

Jegyzetek

↑ J. Radon. Über die Bestimmung von Funktionen durch ihre Integralwerte längs gewisser Mannigfaltigkeiten // Berichte Sächsische Akademie der Wissenschaften , Bande 29, s. 262-277, Lipcse, 1917.
↑ 1. fejezet (lefelé irányuló kapcsolat) . Letöltve: 2012. október 15. Az eredetiből archiválva : 2010. szeptember 18.. (határozatlan)
↑ Deans SR, Roderick S. A radontranszformáció és néhány alkalmazása. – New York: John Wiley & Sons, 1983. – 289 p. — ISBN 047189804X .

Irodalom

Gruzman I. S. A számítógépes tomográfia matematikai problémái // Soros Educational Journal 2001. 5. szám.
Deans SR A radon transzformáció és néhány alkalmazása. – New York: John Wiley & Sons, 1983.
Natterer F. A számítógépes tomográfia matematikája (Classics in Applied Mathematics, 32). - Philadelphia, PA: Society for Industrial and Applied Mathematics, 2001. - ISBN 0-89871-493-1 .
Natterer F., Wubbeling F. Matematikai módszerek a képrekonstrukcióban. - Philadelphia, PA: Society for Industrial and Applied Mathematics, 2001. - ISBN 0-89871-472-9 .

Integrált transzformációk
Ábel átalakul Bessel átalakul Bushman átalakulás Gegenbauer átalakulás Hilbert átalakul Kontorovics-Lebegyev átalakulás Laplace transzformáció Meyer átalakul Mehler-Fock átalakulás Mellin átalakul Nerain transzformáció Radon átalakulás Stieltjes átalakul Fourier transzformáció Hankel transzformáció Hartley átalakul