Integrált transzformációk

A differenciálegyenletek megoldásának egyik leghatékonyabb módja, mind a közönséges , mind pedig különösen a parciális deriváltokban az integráltranszformációk módszere . A Fourier-, Laplace-, Hankel- és más transzformációkat a rugalmasság , a hővezetőképesség , az elektrodinamika és a matematikai fizika más szakaszaiban felmerülő problémák megoldására használják . Az integráltranszformációk alkalmazása lehetővé teszi egy differenciál-, integrál- vagy integro-differenciálegyenlet algebraivá való redukálását, illetve parciális differenciálegyenlet esetén a dimenzió csökkentését is .

Az integrál transzformációkat a képlet adja meg

Tf(u)=\int \limits _{{S}}K(t,u)\,f(t)\,dt

ahol a függvényeket eredetinek és képnek nevezzük , és valamilyen függvénytér elemei , míg a függvényt az integráltranszformáció magjának . $f,Tf$ $L$ $K$

A legtöbb integrál transzformáció reverzibilis, azaz egy ismert képről az eredeti visszaállítható, gyakran integrál transzformációval is:

f(t)=\int \limits _{{S'}}K^{{-1}}(u,t)\,(Tf(u))\,du.

Bár az integrál transzformációk tulajdonságai meglehetősen kiterjedtek, sok közös vonásuk van. Például minden integrál transzformáció egy lineáris operátor .

Transzformációs táblázat (egydimenziós eset)

Ha az integráltranszformációt és annak inverzióját a képletek adják meg

Tf(u)=\int \limits _{{t_{1}}}^{{t_{2}}}K(t,u)\,f(t)\,dt

f(t)=\int \limits _{{u_{1}}}^{{u_{2}}}K^{{-1}}(u,t)\,(Tf(u))\, du

akkor:

Integrált transzformációk táblázata (egydimenziós eset)

átalakítás	Kijelölés	$K$	t1_ _	t2_ _	$K^{{-1}}$	u 1	u 2
Fourier transzformáció	${\mathcal {F}}$	${\frac {e^{{-iut}}}{{\sqrt {2\pi }}}}$	$-\infty$	$\infty$	${\frac {e^{{+iut}}}{{\sqrt {2\pi }}}}$	$-\infty$	$\infty$
Szinusz Fourier transzformáció	${\mathcal {F}}_{s}$	${\frac {{\sqrt {2}}\sin {(ut)}}({\sqrt {\pi }}}}$	$0$	$\infty$	${\frac {{\sqrt {2}}\sin {(ut)}}({\sqrt {\pi }}}}$	$0$	$\infty$
Koszinusz Fourier transzformáció	${\mathcal {F}}_{c}$	${\frac {{\sqrt {2}}\cos {(ut)}}({\sqrt {\pi }}}}$	$0$	$\infty$	${\frac {{\sqrt {2}}\cos {(ut)}}({\sqrt {\pi }}}}$	$0$	$\infty$
Hartley átalakul	${\mathcal {H}}$	${\frac {\cos(ut)+\sin(ut)}{{\sqrt {2\pi ))))$	$-\infty$	$\infty$	${\frac {\cos(ut)+\sin(ut)}{{\sqrt {2\pi ))))$	$-\infty$	$\infty$
Mellin átalakul	${\mathcal {M}}$	$t^{u-1}$	$0$	$\infty$	${\frac {t^{-u}}{2\pi i}}$	$c\!-\!i\infty$	$c\!+\!i\infty$
Kétoldalú Laplace transzformáció	${\mathcal {B}}$	${\displaystyle e^{-ut))$	$-\infty$	$\infty$	${\frac {e^{{+ut}}}{2\pi i}}$	$c\!-\!i\infty$	$c\!+\!i\infty$
Laplace transzformáció	$\mathcal{L}$	${\displaystyle e^{-ut))$	$0$	$\infty$	${\frac {e^{{+ut}}}{2\pi i}}$	$c\!-\!i\infty$	$c\!+\!i\infty$
Weierstrass átalakulás	${\mathcal {W}}$	${\frac {e^{-(ut)^{2}/4}}{\sqrt {4\pi }}}$	$-\infty$	$\infty$	${\frac {e^{{+(ut)^{2}/4))}{i{\sqrt {4\pi ))))$	$c\!-\!i\infty$	$c\!+\!i\infty$
Hankel transzformáció		$t\,J_{\nu }(ut)$	$0$	$\infty$	$u\,J_{\nu }(ut)$	$0$	$\infty$
Ábel integrál transzformáció		${\frac {2t}{{\sqrt {t^{2}-u^{2))))}$	$u$	$\infty$	${\frac {-1}{\pi {\sqrt {u^{2}\!-\!t^{2))))}{\frac {d}{du))$	$t$	$\infty$
Hilbert átalakul	${\mathcal {H}}il$	${\frac {1}{\pi }}{\frac {1}{ut}}$	$-\infty$	$\infty$	$-{\frac {1}{\pi }}{\frac {1}{ut}}$	$-\infty$	$\infty$
Poisson kernel		${\frac {1-r^{2}}{1-2r\cos \theta +r^{2}}}$	$0$	$2\pi$
Azonos átalakulás		$\delta (ut)$	$t_{1}<u$	$t_{2}>u$	$\delta (tu)$	$u_{1}\!<\!t$	$u_{2}\!>\!t$

Integrált transzformációk listája

Irodalom

Ditkin V. A. , Prudnikov A. P. Integráltranszformációk és műveleti számítások. -M.: Fizmagiz, 1961.

Lásd még

Diszkrét transzformációk

Linkek

Integráltranszformációk táblázatai az EqWorlden: A MATEMATIKAI EGYENLETEK VILÁGA.

Integrált transzformációk
Ábel átalakul Bessel átalakul Bushman átalakulás Gegenbauer átalakulás Hilbert átalakul Kontorovics-Lebegyev átalakulás Laplace transzformáció Meyer átalakul Mehler-Fock átalakulás Mellin átalakul Nerain transzformáció Radon átalakulás Stieltjes átalakul Fourier transzformáció Hankel transzformáció Hartley átalakul