Hankel transzformáció

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2019. augusztus 13-án felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 12 szerkesztést igényelnek .

A matematikában a függvények sorrendjének Hankel-transzformációját a képlet adja meg $\nu$ $f(r)$

F_{\nu }(k)=\int \limits _{0}^{\infty }f(r)J_{\nu }(kr)r\,dr,

hol van az első típusú rend Bessel-függvénye és . Egy függvény inverz Hankel-transzformációja a kifejezés ${\displaystyle J_{\nu ))$ $\nu ,$ $\nu \geqslant -1/2$ $F_{\nu }(k)$

f(r)=\int \limits _{0}^{\infty }F_{\nu }(k)J_{\nu }(kr)k\,dk,

amely az alábbiakban ismertetett ortogonalitás segítségével ellenőrizhető.

A Hankel transzformáció egy integrál transzformáció . Hermann Hankel találta fel , és Bessel-Fourier transzformációként is ismert.

Hatókör

Egy függvény Hankel-transzformációja igaz az intervallum bármely pontjára , ahol a függvény folyamatos vagy darabonként folytonos véges ugrásokkal, és az integrál $f(r)$ $(0,\infty )$ $f(r)$

\int \limits _{0}^{\infty }|f(r)|\,r^{1/2}\,dr

véges.

Ez a definíció kibővíthető (hasonlóan a Fourier-transzformációhoz ) néhány olyan függvényre, amelyek integrálja végtelen (például ). $f(r)=r$

Ortogonalitás

A Bessel-függvények ortogonális alapot képeznek a súllyal : $r$

\int \limits _{0}^{\infty }J_{\nu }(kr)J_{\nu }(k'r)r\,dr={\frac {\delta (kk')} {k}}

számára . $k,k'>0$

Néhány függvény Hankel transzformációja

$f(r)$	$F_{0}(k)$
$egy$	$\delta (k)/k$
$r$	$-1/k^{3}$
$r^{3}$	$9/k^{5}$
${\displaystyle r^{m))$	${\frac {2^{m+1}\Gamma (m/2+1)}{k^{m+2}\Gamma (-m/2)))$ páratlan m -re , $0$ mert még m .
$e^{iar}$	${\displaystyle {\frac {-ia{\sqrt {k^{2}-a^{2)))){(k^{2}-a^{2})^{2))))$
${\displaystyle e^{a^{2}r^{2}/2))$	${\displaystyle {\frac {-e^{k^{2}/2a^{2))}{a^{2))))$

Lásd még

Fourier transzformáció

Linkek

Gaskill, Jack D., "Linear Systems, Fourier Transforms and Optics", John Wiley & Sons, New York, 1978. ISBN 0-471-29288-5 .
Polyanin, A. D. és Manzhirov, A. V., Handbook of Integral Equations , CRC Press, Boca Raton, 1998. ISBN 0-8493-2876-4 .

Integrált transzformációk
Ábel átalakul Bessel átalakul Bushman átalakulás Gegenbauer átalakulás Hilbert átalakul Kontorovics-Lebegyev átalakulás Laplace transzformáció Meyer átalakul Mehler-Fock átalakulás Mellin átalakul Nerain transzformáció Radon átalakulás Stieltjes átalakul Fourier transzformáció Hankel transzformáció Hartley átalakul