Párhuzamos vonalak

A párhuzamos egyenesek ( más görög παράλληλος szó szerint „egymás mellett haladva; a másik mentén haladva”) a planimetriában nem metsző egyenesek . A sztereometriában két egyenest párhuzamosnak nevezünk, ha ugyanabban a síkban fekszenek, és nem metszik egymást.

Az euklideszi geometriában

Az euklideszi geometriában a párhuzamos vonalak olyan egyenesek, amelyek ugyanabban a síkban fekszenek és nem metszik egymást [1] . A definíció másik változatában az egybeeső egyeneseket is párhuzamosnak tekintjük [2] [3] .

Ez utóbbi definíció előnye, hogy a párhuzamosság ekvivalenciarelációvá válik [4] .

A vonalak párhuzamossága, és általában a következőképpen jelöljük: $m$ $n$ $m\parallel n.$

Tulajdonságok

Bármely ponton keresztül, amely nem fekszik egy egyenesen, az adott ponttal párhuzamos egyenest lehet húzni, ráadásul csak egyet . Ennek az állításnak az utolsó része Eukleidész híres ötödik posztulátuma . Az ötödik posztulátum elutasítása Lobacsevszkij geometriájához vezet (lásd alább).
Ha egy egyenes metszi az egyik párhuzamos egyenest, akkor metszi a másikat is (az ilyen egyenest szekánsnak nevezzük ). Ebben az esetben 8 sarok alakul ki, amelyek néhány jellemző párja speciális elnevezéssel és tulajdonsággal rendelkezik:
- A megfelelő szögek egyenlőek (1. ábra).
- A keresztfekvési szögek egyenlőek (2. ábra).
- A belső egyoldali szögek 180°-ot adnak (3. ábra).


1. ábra: A megfelelő szögek egyenlőek, . ${\displaystyle \alpha =\alpha _{1))$	2. ábra: A belső keresztfekvési szögek egyenlőek, . ${\displaystyle \alpha =\gamma _{1))$	3. ábra: Az egyoldalas sarkok opcionálisak, . $\alpha +\delta _{1}=180^{\circ }$

Ha az egybeeső egyeneseket párhuzamosnak tekintjük, akkor a párhuzamosság bináris ekvivalencia reláció lesz , amely a teljes egyeneshalmazt egymással párhuzamos egyenesek osztályaira osztja.
Egy adott egyenestől bizonyos távolságra, annak egyik oldalán lévő síkban lévő pontok halmaza az adott egyenessel párhuzamos egyenes.

Párhuzamos egyenesek építése

Két párhuzamos vonal felépítése egy síkon iránytű és vonalzó segítségével több szakaszra osztható:

Olyan egyenes építése , amelyhez képest párhuzamos egyenest szeretne építeni. $a$
Egy egyenesre merőleges egyenes építése (lásd a merőleges szerkesztése ). $b$ $a$
A b egyenesre merőleges, az egyenessel nem egybeeső egyenes építése (hasonlóan a ) egyenes felépítéséhez. $c$ $a$ $b$

A sztereometriában

A planimetriában két különálló egyenes metszi egymást vagy párhuzamos. A sztereometriában egy harmadik lehetőség is lehetséges - a vonalak nem metszik egymást, mivel nem fekszenek ugyanabban a síkban. Az ilyen vonalakat ferde vonalaknak nevezzük .

Lobacsevszkij geometriájában

Lobacsevszkij geometriájában a síkban egy adott egyenesen kívüli ponton keresztül olyan végtelen vonalak halmaza halad át, amelyek nem metszik egymást . Az egyenest egyenlő szárú egyenesnek nevezzük a -tól irányig , ha: $C$ $AB$ $AB$ $CE$ $AB$ $A$ $B$

a pontok és a vonal ugyanazon az oldalán fekszenek ; $B$ $E$ $AC$
az egyenes nem metszi az egyenest , de minden szögön belül áthaladó sugár metszi a sugarat . $CE$ $AB$ $ÁSZ$ $AB$

Hasonlóképpen egy egyenest határozunk meg, amely egyenlő szárú a -tól -ig . $AB$ $B$ $A$

Az egyenlő oldalú egyeneseket aszimptotikusan párhuzamosnak vagy egyszerűen párhuzamosnak is nevezik . Az összes többi egyenest, amely ezt nem metszi, ultraparallelnek vagy divergensnek nevezzük [5] .

Tulajdonságok

Az eltérő párhuzamos egyeneseknek egyetlen közös merőlegesük van.
- Ez a merőleges köti össze ezeken az egyeneseken a legközelebbi pontpárt.

Annak ellenére, hogy az aszimptotikusan párhuzamos egyenesek nem metszik egymást, bármelyik aszimptotikusan párhuzamos egyenespáron választhatunk tetszőleges közeli pontokat.

Lásd még

Jegyzetek

↑ Párhuzamos vonalak // Nagy Szovjet Enciklopédia : [30 kötetben] / ch. szerk. A. M. Prohorov . - 3. kiadás - M . : Szovjet Enciklopédia, 1969-1978.
↑ Zemljakov A. N. A geometria axiomatikus megközelítése (tézis) // Matematikai oktatás. - 2001. - 3. szám (18) . - S. 4-21 .
↑ Hadamard J. Elemi geometria . - M. , 1948. - S. 52 .
↑ Shikhanovich Yu. A. Bevezetés a modern matematikába (kezdeti fogalmak). - M. : Nauka, 1965. - S. 259. - 376 p.
↑ Matematikai kézikönyv (elérhetetlen link) . Letöltve: 2016. július 8. Az eredetiből archiválva : 2016. szeptember 23.. (határozatlan)

Szótárak és enciklopédiák	Nagy norvég Nagy orosz