Hengeres koordinátarendszer

A hengeres koordinátarendszer egy háromdimenziós koordinátarendszer , amely a poláris koordinátarendszer kiterjesztése egy harmadik koordináta hozzáadásával (általában jelöléssel ), amely egy pont magasságát adja meg a sík felett. $z$

A pont így van megadva . A téglalap alakú koordinátarendszerben : $P$ $(\rho ,\;\varphi ,\;z)$

$\rho \geqslant 0$ a távolság -tól -ig , a pont ortogonális vetülete a síkra . Vagy megegyezik a távolsággal a tengelytől . $O$ $P'$ $P$ $XY$ $P$ $Z$
$0\leqslant \varphi <360^{\circ }$ a tengely és a szakasz közötti szög . $x$ $OP'$
$z$ egyenlő egy pont alkalmazásával . $P$

Fizikai tudományokban és mérnöki tudományokban az ISO 31-11 nemzetközi szabvány a jelölés használatát javasolja . $(\rho ,\;\varphi ,\;z)$

A hengeres koordináták kényelmesek olyan felületek elemzésekor, amelyek szimmetrikusak valamely tengelyre, ha a tengelyt vesszük szimmetriatengelynek. Például egy végtelenül hosszú kerek henger (hengeres felület) téglalap alakú koordinátákkal a következővel rendelkezik : , hengeres koordinátákban pedig egy nagyon egyszerű egyenlete . Innen származik ennek a koordinátarendszernek a „hengeres” elnevezése. $Z$ $x^{2}+y^{2}=c^{2}$ $\rho=c$

Átmenet más koordinátarendszerekre

Mivel a hengeres koordinátarendszer csak egy a sok háromdimenziós koordinátarendszer közül, törvények vonatkoznak a koordináták átalakítására a hengeres koordinátarendszer és más rendszerek között.

Derékszögű koordinátarendszer

A hengeres koordináta-rendszer ortjai a következő összefüggésekkel kapcsolódnak a derékszögű ortokhoz:

${\begin{cases}{\vec {e}}_{\rho }=\cos \varphi {\vec {e}}_{x}+\sin \varphi {\vec {e}}_ {y},\\{\vec {e}}_{\varphi }=-\sin \varphi {\vec {e}}_{x}+\cos \varphi {\vec {e}}_{y },\\{\vec {e}}_{z}={\vec {e}}_{z},\end{cases}}$

és alkotj egy jobboldali hármast:

${\begin{cases}{\vec {e}}_{\rho }\times {\vec {e}}_{\varphi }={\vec {e}}_{z},\\ {\vec {e}}_{z}\times {\vec {e}}_{\rho }={\vec {e}}_{\varphi },\\{\vec {e}}_{ \varphi }\times {\vec {e}}_{z}={\vec {e}}_{\rho }.\end{cases}}$

Az inverz relációk a következőképpen alakulnak:

${\begin{cases}{\vec {e}}_{x}=\cos \varphi {\vec {e}}_{\rho }-\sin \varphi {\vec {e}}_ {\varphi },\\{\vec {e}}_{y}=\sin \varphi {\vec {e}}_{\rho }+\cos \varphi {\vec {e}}_{\ varphi },\\{\vec {e}}_{z}={\vec {e}}_{z}.\end{cases}}$

A koordináták hengeresről derékszögűre transzformációjának törvénye:

{\begin{cases}x=\rho \cos \varphi ,\\y=\rho \sin \varphi ,\\z=z.\end{cases))

A koordináták derékszögűről hengeresre transzformációjának törvénye:

{\begin{cases}\rho ={\sqrt {x^{2}+y^{2}}},\\\varphi ={\mathrm {arctg}}\left({\dfrac {y}{x }}\jobbra),\\z=z.\end{cases}}

A jakobi a következő:

J=\rho .

Differenciál jellemzők

A hengeres koordináták merőlegesek, így a metrikus tenzornak átlós alakja van:

g_{{ij}}={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&\rho ^{2}&0\\0&0&1\end{pmatrix}},\quad g^{{ij}}={\begin{pmatrix} 1&0&0\\0&1/\rho ^{2}&0\\0&0&1\end{pmatrix}}.

Görbehossz differenciálnégyzet

ds^{2}=d\rho ^{2}+\rho ^{2}\,d\varphi ^{2}+dz^{2}.

A Lame együtthatók alakja:

H_{\rho }=1,\quad H_{\varphi }=\rho ,\quad H_{z}=1.

Christoffel szimbólumok : ${\displaystyle \{\rho ,\;\varphi ,\;z\))$

\Gamma _{22}^{1}=-\rho ,\quad \Gamma _{21}^{2}=\Gamma _{12}^{2}={\frac {1}{\ rho }}.

A többi nulla.

Differenciális operátorok

Gradiens hengeres koordinátarendszerben:

{\mathrm {grad}}\,\psi ={\vec e}_{\rho }{\frac {\partial \psi }{\partial \rho }}+{\vec e}_{\varphi }{ \frac {1}{\rho }}{\frac {\partial \psi }{\partial \varphi }}+{\vec e}_{z}{\frac {\partial \psi }{\partial z} }.

Divergencia hengeres koordinátarendszerben:

{\mathrm {div}}\,{\vec a}={\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial \rho a_{\rho }}{\partial \rho }}+{\ frac {1}{\rho }}{\frac {\partial a_{\varphi }}{\partial \varphi }}+{\frac {\partial a_{z}}{\partial z}}.

Rotor hengeres koordinátarendszerben:

{\mathrm {rot}}\,{\vec a}={\mathrm {det}}{\begin{pmatrix}{\frac {1}{\rho }}{\vec e}_{\rho }& {\vec e}_{\varphi }&{\frac {1}{\rho }}{\vec e}_{z}\\{\frac {\partial }{\partial \rho }}&{\ frac {\partial }{\partial \varphi }}&{\frac {\partial }{\partial z}}\\a_{\rho }&\rho a_{\varphi }&\ a_{z}\end{ pmatrix}}={\vec e}_{\rho }\left({\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial a_{z}}{\partial \varphi }}-{\frac {\partial a_{\varphi }}{\partial z}}\right)+{\vec e}_{\varphi }\left({\frac {\partial a_{\rho }}{\partial z}} -{\frac {\partial a_{z}}{\partial \rho }}\right)+{\vec e}_{z}\left({\frac {1}{\rho }}{\frac { \partial \rho a_{\varphi }}{\partial \rho }}-{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial a_{\rho }}{\partial \varphi }}\right ).

A sugárvektor , a sebesség és a gyorsulás kifejezései hengeres koordinátákban

$r(t)=\rho {\vec {e}}_{\rho }+z{\vec {e}}_{z}$

${\pont {r}}(t)={\pont {\rho }}{\vec {e}}_{\rho }+\rho {\dot {\varphi }}{\vec {e ))_{\varphi }+{\pont {z}}{\vec {e}}_{z}$

${\ddot {r}}(t)=({\ddot {\rho }}-\rho {\pont {\varphi }}^{2}){\vec {e}}_{\rho }+(2{\pont {\rho }}{\pont {\varphi }}+{\ddot {\varphi }}\rho ){\vec {e}}_{\varphi }+{\ddot {z }}{\vec {e}}_{z}$

Lásd még

Irodalom

Khalilov V.R., Chizhov G.A., Klasszikus rendszerek dinamikája: Proc. juttatás. - M .: Moszkvai Állami Egyetem Kiadója, 1993. - 352 p.

Koordináta rendszerek
A koordináták neve	Abszcissza Ordináta Rátét
A koordinátarendszerek típusai	Egyenes koordinátarendszer Görbe vonalú koordinátarendszer
2D koordináták	Kétszög koordináták Bicentrikus koordináták Hiperbolikus koordináták Poláris koordináták Bipoláris koordináták Parabolikus koordináták Elliptikus koordináták Tetraciklikus koordináták Trilineáris koordináták
3D koordináták	Hengeres koordináták Gömb koordináták Biszférikus koordináták Toroidális koordináták Hengeres parabola koordináták Bicilinderes koordináták Ellipszoid koordináták Kúpos koordináták Pentaszférikus koordináták Dipoláris koordinátarendszer
$n$ - dimenziós koordináták	Derékszögű koordináták Affin koordináták Projektív koordináták Plücker koordináták baricentrikus koordináták
Fizikai koordináták	Rindler koordináták Született koordináták Égi koordináta-rendszer Földrajzi koordináták Fő ortodromikus koordinátarendszer
Kapcsolódó definíciók	Koordináta módszer Eredet Koordináta tengely Vektor Orth referenciarendszer Viszonyítási alap Béna együtthatók Metrikus tenzor