Kurzweil-Henstock integrál

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt hozzászólók, és jelentősen eltérhet a 2014. június 15-én felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 15 szerkesztést igényelnek .

A Kurzweil-Henstock integrál, a Riemann-integrál általánosítása , lehetővé teszi, hogy teljesen megoldja a differenciálható függvény deriváltjából való visszaállításának problémáját . Sem a Riemann-integrál (beleértve a nem megfelelőt is), sem a Lebesgue-integrál nem ad általános esetben megoldást erre a problémára.

Történelem

Az integrál első definícióját, amely lehetővé teszi a probléma általános megoldását, Arnaud Denjoy adta 1912-ben. Kísérletet tett egy olyan integrál definiálására, amely lehetővé tenné például egy nulla nullával definiált függvény deriváltjának integrálását. A függvény minden pontban definiált és véges, de Lebesgue nem integrálható nulla környezetében. Egy általános elmélet megalkotására tett kísérletben Denjoy transzfinit indukciót alkalmazott a szingularitások lehetséges típusaira, ami meglehetősen bonyolulttá tette a definíciót. Kicsit később Nikolai Luzin leegyszerűsítette Denjoy definícióját, de ez a definíció az egyszerűsítés után is technikailag igen bonyolult maradt. Oscar Perron 1914-ben egy másik definíciót adott az integrálnak, ami azt is lehetővé teszi, hogy teljesen megoldjuk a függvény deriváltjából való visszaállításának problémáját. 10 év után Pavel Aleksandrov és Robert Loman meghatározta a Denjoy és Perron integrálok azonosságát. $f(x)=x^{2}\cos \left({\frac {\pi }{x^{2))}\right)$ $\displaystyle f'(x)$

1957-ben Jaroslav Kurzweil cseh matematikus az integrál új definícióját javasolta, amely lehetővé tette a függvény deriváltjából való visszaállításának problémáját is. Definíciója a Riemann-integrál definíciójának módosítása volt. Ennek az integrálnak egy további elméletét Ralph Henstock dolgozta ki , munkája után a konstrukciót Kurzweil-Henstock integrálként ismerik . Ez az integrál is megegyezik a Denjoy és Perron integrálokkal, és így lefedi a Lebesgue integrált egydimenziós esetben.

A Henstock-Kurzweil integrál definíciójának egyszerűsége miatt egyes tanárok a matematikai elemzés kezdeti kurzusának programjába való beépítést javasolják , de ez az elképzelés eddig csak részben valósult meg a Moszkvai Állami Egyetem mechanika és matematika tanszékein. és a Szaratovi Állami Egyetemen .

Definíció

A Kurzweil-Henstock integrál meghatározásához számos köztes fogalmat vezetünk be:

a kalibrációs függvény (skála) tetszőleges függvény ; $\delta \colon [a,b]\to (0,\infty )$
a szegmens jelölt partíciója egy véges párok halmaza , ahol és ; $P$ $[a,b]$ $\displaystyle (\xi _{k},[x_{k-1},x_{k}])$ $a=x_{0}<x_{1}<\dots <x_{n}=b$ $\xi _{k}\in [x_{k-1},x_{k}]$
egy megjelölt partíciót -vékonynak mondunk (konzisztens -val ), ha mindenre -tól -ig ; $P$ $\delta$ $\delta$ $\xi _{k}-\delta (\xi _{k})<x_{k-1}\leqslant \xi _{k}\leqslant x_{k}<\xi _{k}+\ delta(\xi _{k})$ $k$ $egy$ $n$
a megjelölt partíció és függvény integrál összege a következő kifejezés: $P$ $f\colon [a,b]\to \mathbb {R}$ $S(P,f)=\sum _{k=1}^{n}(x_{k}-x_{k-1})f(\xi _{k})$ .

Egy függvényt Kurzweil-Henstock integrálhatónak nevezzük az intervallumban , ha létezik olyan szám (amelyet a függvény Kurzweil-Henstock integráljának nevezünk az intervallumon ), amely a következő tulajdonsággal rendelkezik: bármelyikhez létezik olyan mérőfüggvény , amely bármely partícióhoz kompatibilis a megjelölt partícióval . $f\colon [a,b]\to \mathbb {R}$ $[a,b]$ $én$ $f$ $[a,b]$ $\varepsilon >0$ ${\displaystyle \delta _{\varepsilon ))$ ${\displaystyle \delta _{\varepsilon ))$ $P$ $|S(P,f)-I|<\varepsilon$

A megjelölt partíciókkal kompatibilis partíciók létezése adott mérőfüggvényhez Cousin tételéből következik . $\delta$ $\delta$

A Riemann integrál a Kurzweil-Henstock integrál speciális esete, definíciójában csak állandó nyomtávú függvények megengedettek.

Irodalom

Lukasenko T. P., Skvorcov V. A., Solodov A. P. Általánosított integrálok 2010. 280 p. ISBN 978-5-397-00267-7

Linkek

Riemann helytelen integrálja és Henstock integrálja , P. Maldonia, VA Skvortsov $R^{n}$ Mat. jegyzetek, 2005, 78. kötet, 2. szám, 251-258. oldal
Általánosított integrálok és Fourier-sor IA Vinogradova, VA Skvortsov Itogi Nauki. Ser. Matematika. Mat. anális. 1970, 1971, 65-107

Integrálszámítás

Fő

A Riemann-integrál általánosításai

Integrált
transzformációk

Numerikus
integráció

mértékelmélet

Kapcsolódó témák

Integrálok listái