Sztochasztikus integrál

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2022. január 13-án felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 8 szerkesztést igényelnek .

A sztochasztikus integrál az alak integrálja , ahol egy véletlenszerű folyamat független normál növekményekkel. A sztochasztikus integrálokat széles körben használják a sztochasztikus differenciálegyenletekben . A sztochasztikus integrál nem számítható úgy, mint a szokásos Stieltjes-integrál [1] . $\int f(t)dy(t)$ ${y(t),t\in T}$

Determinisztikus függvény sztochasztikus integrálja

Vezessük be a valószínűségi változók Hilbert-terét , , a skalárszorzattal és a négyzetgyök-normával . Itt - a várható értéket jelöli. A Hilbert-tér keretein belül leírhatók a valószínűségi változók legfontosabb jellemzői, mint például a feltételes matematikai elvárások, feltételes valószínűségek stb. [2] $H$ $\xi$ $\mathbb {E} |\xi ^{2}|<\infty$ ${\displaystyle (\xi _{1},\xi _{2})=\mathbb {E} \xi _{1}{\bar {\xi _{2))))$ ${\displaystyle \left\|\xi _{1}\right\|=\left(\mathbb {E} \left|\xi \right|^{2}\right)^{1/2))$ ${\mathbb {E}}$

Legyen a valós egyenes véges vagy végtelen szakasza, és a forma félintervallumain adott egy sztochasztikus additív függvény a valószínűségi változók Hilbert-teréből merőleges értékekkel , amely a következő tulajdonságokkal rendelkezik: $T$ $\Delta =\left(s,t\right]\subseteq T$ $\eta (\Delta )$ $H$ $\xi$ $\mathbb {E} |\xi ^{2}|<\infty$

Bármely diszjunkt esetén a mennyiségek merőlegesek , azaz skaláris szorzatuk a Hilbert-térben egyenlő nullával: ${\displaystyle \Delta _{1))$ $\Delta _{2}$ $\eta (\Delta _{1})$ $\eta (\Delta _{2})$ $\left(\eta (\Delta _{1}),\eta (\Delta _{2})\right)=0$
Ha , nem metsző félintervallumok és félintervallumot alkot, akkor $\eta (\Delta _{1})$ $\eta (\Delta _{2})$ $\eta (\Delta _{1})\cup \eta (\Delta _{2})$ $\eta (\Delta _{1})\cup \eta (\Delta _{2})=\eta (\Delta _{1})+\eta (\Delta _{2})$
$\left\|\eta (\Delta )\right\|^{2}=\left|\Delta \right|$ . Itt van a norma a Hilbert térben, a . $\left\|\right\|$ $\left|\Delta \right|=ts$ $\Delta =\left(s,t\right]$

Legyen egy determinisztikus függvény, amely kielégíti a feltételt . Tekintsünk egy darabonkénti állandó függvénysorozatot , amely úgy közelíti a függvényt , hogy , $\varphi (t)$ $\int _{T}\left|\varphi (t)\right|^{2}dt<\infty$ $\varphi _{n}(t)$ $\varphi (t)$ $\lim _{n\to \infty }\int _{T}\left|\varphi (t)-\varphi _{n}(t)\right|^{2}dt\to 0$

Egy determinisztikus függvény sztochasztikus integrálja a határ [3] $\int _{T}\varphi (t)\eta (dt)$ $\varphi (t)$ $\int _{T}\varphi (t)\eta (dt)=\lim _{n\to \infty }\int _{T}\varphi _{n}(t)\eta (dt)$

Sztochasztikus folyamat sztochasztikus integrálja

Tekintsük az integrált

\int _{0}^{T}\omega (t)d\omega (t),

ahol egy Wiener-eljárás egységnyi diszperziós paraméterrel. Az intervallumot pontokkal részintervallumokra osztjuk . A determinisztikus függvény integráljának előző definícióját használva a sztochasztikus integrál két kifejezés valamelyikével definiálható [4] : ${\omega (t),t\in T}$ $[0; T]$ $0=t_{1},t_{2},...,t_{N},t_{{N+1}}=T$ $N$

I_{0}=\lim \sum _{{i=1}}^{{N}}\omega (t_{i})[\omega (t_{{i+1}})-\omega (t_{ én})]

vagy

I_{1}=\lim \sum _{i=1}^{N}\omega (t_{i+1})[\omega (t_{i+1})-\omega (t_{i })].

Ezek az integrálok nem egyenlőek, mert a Wiener-folyamat definíciója szerint [5]

I_{1}-I_{0}=\lim \sum _{i=1}^{N}[\omega (t_{i+1})-\omega (t_{i})]^{ 2}=t.

Az általánosított sztochasztikus integrál az integrálok paraméterekkel súlyozott összege és a következő képlet [5] definiálható : $\lambda$ $I_0$ $I_1$

I_{\lambda }=(1-\lambda )I_{0}+\lambda I_{1}=\lim \sum _{i=1}^{N}[(1-\lambda )\omega (t_{i})+\lambda \omega (t_{i+1})][\omega (t_{i+1})-\omega (t_{i})],

at . Az integrál megfelel az Itô integrálnak, és egybeesik a Stratonovich integrállal. $0\leqslant \lambda \leqslant 1$ $I_0$ $I_{{0,5}}$

A Stratonovich-integrál

A Stratonovich-integrál alakja [6]

I=\lim _{N\to \infty }{\dfrac {1}{2}}\sum _{i=1}^{N}[f(t_{i})+f(t_{ i+1})][y(t_{i+1})-y(t_{i})].

Itô integrál

Az Itô integrál alakja [5]

\int f(t)dy(t)=\lim _{N\to \infty }\sum _{i=1}^{N}f(t_{i})[y(t_{i+1 })-y(t_{i})].

Főbb tulajdonságai [5] :

$E\int f(t)dy(t)=\int {Ef(t)}dm(t).$
$cov\left[\int f(t)dy(t),\int g(t)dy(t)\right]=\int [Ef(t)g(t)]dr(t).$

Itt van az átlagérték függvény és a kovarianciafüggvény . $m(t)$ $r(t)$

Wiener integrál

Egy egydimenziós Wiener-folyamat minden pályájához rendeljünk egy bizonyos számot . Ekkor ez a pálya egy sztochasztikus függvény segítségével írható le . Az űrlap integrálja $\alpha$ $x(t,\alpha )$

\int \limits _{0}^{1}f(t)dx(t,\alpha )

Bécsi sztochasztikus integrálnak nevezzük. Ezt az integrált részenkénti integrálással számítjuk ki , figyelembe véve a [7] egyenlőséget : $x(0,\alpha )=0$

\int \limits _{0}^{1}f(t)dx(t,\alpha )=f(1)x(1,\alpha )-\int \limits _{0}^{1 }f'(t)x(t,\alpha )dt.

Fő tulajdonságai:

\int \limits _{0}^{1}d\alpha \int \limits _{0}^{1}f(t)dx(t,\alpha )=0

[8] .

\int \limits _{0}^{1}d\alpha \left[\int \limits _{0}^{1}f(t)dx(t,\alpha )\right]^{2 }=\int \limits _{0}^{1}f^{2}(t)dt

[9] .

Lásd még

Jegyzetek

↑ Ostrom, 1973 , p. 68.
↑ Rozanov, 1982 , p. 57.
↑ Rozanov, 1982 , p. 64.
↑ Ostrom, 1973 , p. 70.
↑ 1 2 3 4 Ostrom, 1973 , p. 71.
↑ Ostrom, 1973 , p. 72.
↑ Wiener, 1961 , p. húsz.
↑ Wiener, 1961 , p. 21.
↑ Wiener, 1961 , p. 24.

Irodalom

Ostrom, K. Yu. Bevezetés a sztochasztikus szabályozáselméletbe / ford. angolról. S. A. Anisismov, N. E. Arutyunova, A. L. Bunich; szerk. N. S. Raibman. - M .: Mir , 1973.
Wiener, N. Nemlineáris problémák a véletlenszerű folyamatok elméletében. -M .:Külföldi Irodalmi Kiadó, 1961.
Yu.A. Rozanov . Bevezetés a véletlenszerű folyamatok elméletébe. — M .: Nauka, 1982. — 128 p.

Integrálszámítás

Fő

A Riemann-integrál általánosításai

Integrált
transzformációk

Numerikus
integráció

mértékelmélet

Kapcsolódó témák

Integrálok listái