Darboux integrál

A Darboux-integrál az egyik módja annak, hogy a Riemann-integrált egy intervallumra korlátos bármely függvényre általánosítsuk. Vannak felső és alsó Darboux integrálok. A Darboux integrálok geometriailag a gráf alatti felső és alsó területek.

Definíció

A Darboux integrálok meghatározásához először be kell vezetnünk a Darboux összegek segédfogalmát.

Legyen definiálva egy valós változó függvénye egy szegmensen . $[a,b]$ $f$

Egy szegmens partíciója ennek a szegmensnek véges ponthalmaza, amely tartalmazza a és a pontokat . [1] A további bejegyzések megkönnyítése érdekében bevezetjük a jelöléseket. A partíciós pontokat jelöljük , és növekvő sorrendben (nullától kezdve) számozzuk őket: $\tau$ $[a,b]$ $a$ $b$ $\tau$ $x_{i}$

\tau =\left\{{{x}_{0},\ldots {x}_{n}}\right\},\ a={{x}_{0}}<{{x }_{1}}<\ldots <{{x}_{n-1}}<{{x}_{n}}=b

A szegmens összes partíciójának halmazát jelöli . $[a;b]$ $T$

A partíció egy részleges szegmensét szegmensnek nevezzük . $\Delta _{i}$ $[x_{i-1},x_{i}]$

\Delta _{i}=[x_{i-1},x_{i}]

Jelöljük a partíció részszegmensének hosszát így . $\Delta x_{i}$

{\displaystyle \Delta x_{i}=x_{i}-x_{i-1))

A válaszfal átmérője a partíció egy részszakaszának maximális hossza . [2] $d$ $\Delta x_{i}$

{\displaystyle d=\max \Delta x_{i))

A függvény pontos lapjait a partíció részleges szegmenseiben és jelöli . $m_i$ $M_{i}$

{{m}_{i}}=\inf _{x\in \Delta _{i}}f(x)

{{M}_{i}}=\sup _{x\in \Delta _{i}}f(x)

Ezután egy partíción lévő függvény alsó Darboux összegét hívjuk meg $s(f,\tau )$ $f$ $\tau$

{\displaystyle s(f,\tau )=\sum _{i=1}^{n}m_{i}\Delta x_{i))

A felső Darboux összeget ún $S(f,\tau )$

S(f,\tau )=\sum _{i=1}^{n}M_{i}\Delta x_{i}

[3]

Ekkor az alsó Darboux integrál az $ÉN_*$

I_{*}=\sup _{\tau \in T}s(f,\tau )

A felső Darboux integrált ún $én^*$

I^{*}=\inf _{\tau \in T}S(f,\tau )

[négy]

Alternatív definíciók

A Darboux-integráloknak alternatív definíciói is vannak. Általában tulajdonságként bizonyítják.

Az alsó Darboux-integrál az alsó Darboux-összegek határa, mivel a partíció átmérője nullára hajlik, a felső pedig a felsők határa. [5]

I_{*}=\lim _{d(\tau )\to 0}s(f,\tau )

I^{*}=\lim _{d(\tau )\to 0}S(f,\tau )

Az alsó Darboux integrál az integrálösszegek alsó határa , mivel a partíció átmérője nullára hajlik, a felső pedig a felső határ. [6]

I_{*}=\varliminf _{d(\tau )\to 0}\sigma (f,\tau ,\xi )

I^{*}=\varlimsup _{d(\tau )\to 0}\sigma (f,\tau ,\xi )

Tulajdonságok

Darboux összegek tulajdonságai

Ugyanazon szegmens tetszőleges két partíciója esetén az egyik partíció alsó Darboux összege nem haladja meg a másik partíció felső Darboux összegét. [7]

\forall \tau _{1},\tau _{2}\in T\quad s(f,\tau _{1})\leq S(f,\tau _{2})

Az alsó Darboux összegek felülről, a felső összegek alulról korlátosak. [négy]

Amikor új pontokat adunk a meglévő partícióhoz, az alsó Darboux összeg semmiképpen nem csökkenhet, a felső pedig semmilyen módon nem nőhet. [7]

{\begin{aligned}s(f,\tau ')\geq s(f,\tau )\\S(f,\tau ')\leq S(f,\tau )\end{aligned} }\quad \tau '

- köszörülés .

\tau

Ezen túlmenően ezen összegek változása a következő becsléssel adható meg. Legyen d az átmérő , a finomítást úgy kapjuk meg , hogy a szakaszon a függvény legfeljebb pontját és pontos lapjait összeadjuk . Akkor

\tau

\tau '

l

\tau

M

m

f

[a;b]

s(f,\tau ')-s(f,\tau )\leq (Mm)ld

S(f,\tau )-S(f,\tau ')\leq (Mm)ld

[5]

Legyen az integrál összeg. Bármely tetszőleges, megjelölt pontokkal rendelkező partícióra igaz a következő egyenlőtlenség: $\sigma (f,\tau ,\xi )$ $(\tau ,\xi )$

s(f,\tau )\leq \sigma (f,\tau ,\xi )\leq S(f,\tau )

[nyolc]

A Darboux összegek egy adott partíción lévő integrál összegek pontos lapjai. [7] Legyen az összes lehetséges megjelölt pont halmaza a partíción . Akkor $\Xi$ $\tau$

s(f,\tau )=\inf _{\xi \in \Xi }\sigma (f,\tau ,\xi )

S(f,\tau )=\sup _{\xi \in \Xi }\sigma (f,\tau ,\xi )

Darboux integrálok tulajdonságai

Bármely intervallumra korlátos függvényhez léteznek Darboux integrálok, és végesek. [9] Felülről korlátlan függvény esetén a felső integrál , alulról korlátlan függvénynél az alsó integrál . $+\infty$ $-\infty$
A következő egyenlőtlenségek összegekre és integrálokra érvényesek

s(f,\tau )\leq I_{*}\leq I^{*}\leq S(f,\tau )

[9]

Darboux fő lemmája. Az alsó Darboux összegek határa, mivel a partíció átmérője nullára hajlamos, minden korlátos függvénynél létezik, és egyenlő az alsó Darboux integrállal. A felső Darboux összegek korlátja minden korlátos függvénynél létezik, mivel a partíció átmérője nullára hajlik, és egyenlő a felső Darboux integrállal. [5]

\exists \lim _{d(\tau )\to 0}s(f,\tau )

és

I_{*}=\lim _{d(\tau )\to 0}s(f,\tau )

\exists \lim _{d(\tau )\to 0}S(f,\tau )

és

I^{*}=\lim _{d(\tau )\to 0}S(f,\tau )

Darboux fő lemmája megállapítja a Darboux integrálok első és második definíciójának egyenértékűségét.

Darboux-kritérium. A Riemann-integrálhatóság ezen az intervallumon korlátos függvényen ekvivalens az ezen az intervallumon lévő felső és alsó Darboux-integrálok egyenlőségével. $[a;b]$ $f$

f

– Riemann integrálható [10]

\Leftrightarrow I_{*}=I^{*}

Változatok és általánosítások

Több Darboux integrál

A többszörös Riemann-integrál analógiájára a többszörös Darboux-integrál is definiálható. Legyen egy Jordan mérhető halmaz, és legyen annak partíciója véges számú Jordan mérhető halmazsal. Jelöljük ennek a partíciónak a halmazait . $G$ $\tau$ $\Delta _{i}$

\tau =\left\{{{\Delta }_{1},\ldots {\Delta }_{n}}\jobbra\}

A Jordán mértéket jelöljük . $\Delta x_{i}$ $\Delta _{i}$

Az összes partíció halmazát jelöli . $G$ $T$

A válaszfalátmérő a válaszfalkészletek átmérőinek maximuma (a válaszfalkészlet átmérője a pontjai közötti távolságok legkisebb felső korlátja). $d$

\max _{i=1}^{n}\sup _{x,y\in \Delta _{i}}|xy|

A partíciókészleteken lévő függvények pontos lapjait és jelöli . $m_i$ $M_{i}$

{{m}_{i}}=\inf _{x\in \Delta _{i}}f(x)

{{M}_{i}}=\sup _{x\in \Delta _{i}}f(x)

Ezután egy partíción lévő függvény alsó Darboux összegét hívjuk meg $s(f,\tau )$ $f$ $\tau$

{\displaystyle s(f,\tau )=\sum _{i=1}^{n}m_{i}\Delta x_{i))

A felső Darboux összeget ún $S(f,\tau )$

S(f,\tau )=\sum _{i=1}^{n}M_{i}\Delta x_{i}

[tizenegy]

Ekkor az alsó Darboux integrál az $ÉN_*$

I_{*}=\sup _{\tau \in T}s(f,\tau )

A felső Darboux integrált ún $én^*$

I^{*}=\inf _{\tau \in T}S(f,\tau )

[12]

A Darboux összegek és Darboux integrálok összes fenti tulajdonsága, valamint az alternatív definíciók megmaradnak. [13]

Jegyzetek

↑ Iljin, 1985 , p. 330.
↑ Iljin, 1985 , p. 331.
↑ Arkhipov, 1999 , p. 190.
↑ 1 2 Iljin, 1985 , p. 337.
↑ 1 2 3 Iljin, 1985 , p. 338.
↑ Arkhipov, 1999 , p. 208.
↑ 1 2 3 Iljin, 1985 , p. 336.
↑ Iljin, 1985 , p. 335.
↑ 1 2 Arkhipov, 1999 , p. 191.
↑ Kudrjavcev, 2003 , p. 553.
↑ Arkhipov, 1999 , p. 559.
↑ Arkhipov, 1999 , p. 548.
↑ Arkhipov, 1999 , p. 550.

Irodalom

Iljin V. A., Sadovnichiy V. A., Sendov Bl. X. Matematikai elemzés. Kezdő tanfolyam. - 2. kiadás, átdolgozott .. - M . : MGU, 1985. - 662 p. Val vel.
Arkhipov G. I., Sadovnichiy V. A., Chubarikov V. N. Előadások a matematikai elemzésről: Tankönyv egyetemeknek és ped. egyetemek. - M . : Felsőiskola, 1999. - 695 p. Val vel. - ISBN 5-06-003596-4 .
Kudrjavcev L. D. Matematikai elemzés tanfolyam. 3 kötetben. 1. kötet. Több változós függvények differenciál- és integrálszámítása . - M . : Túzok, 2003. - 704 p. (Orosz)

Integrálszámítás

Fő

A Riemann-integrál általánosításai

Integrált
transzformációk

Numerikus
integráció

mértékelmélet

Kapcsolódó témák

Integrálok listái