Folyamatos funkció

Folyamatos függvény - olyan függvény , amely azonnali "ugrások" (úgynevezett breaks ) nélkül változik, vagyis olyan, amelynek az argumentumban bekövetkezett kis változásai kis mértékben változnak a függvény értékében. A folytonos függvény grafikonja egy folytonos egyenes .

A folytonos függvény általában a folytonos leképezés fogalmának szinonimája , de leggyakrabban ezt a kifejezést szűkebb értelemben használják - számterek közötti leképezésekre, például a valós egyenesen . Ez a cikk a valós számok részhalmazán meghatározott folytonos függvényekkel foglalkozik, és valós értékeket vesz fel. Ennek a koncepciónak az összetett változó függvényeire vonatkozó változatát a Komplex elemzés című cikkben találja .

Definíció

Hagyjuk és . Számos ekvivalens definíció létezik egy függvény folytonosságára egy pontban . $D\alhalmaz \mathbb {R}$ $f:D\to \mathbb {R}$ $x_{0}\in D$

Definíció határértékkel : egy függvény folytonos egy halmaz határpontjában , ha egy pontban van határértéke , és ez a határérték egybeesik a függvény értékével : $f$ $x_{0}$ $D$ $f$ $x_{0}$ $f(x_{0})$ $\lim _{x\to x_{0}}f(x)=f(x_{0})$
Definíció az ε-δ formalizmus használatával : Egy függvény folytonos egy pontban , ha bármelyikre létezik olyan, hogy bármely , $f$ $x_{0}\in D$ $\varepsilon >0$ $\delta>0$ $x\ in D$ $|x-x_{0}|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(x_{0})|<\varepsilon .$

Megjegyzés: A függvény határértékének Cauchy szerinti meghatározásához képest a folytonosság definíciójában nincs olyan követelmény, amely az argumentum összes értékét arra kötelezné, hogy teljesítse a feltételt , vagyis különbözzék a-tól.

x

0<\left\vert xa\right\vert

Definíció o-szimbólumokkal : egy függvény folytonos egy pontban , ha $f$ $x_{0}$ $f(x_{0}+\delta )=f(x_{0})+o(1)$ , at . $\delta \to 0$
Definíció ingadozásokon keresztül : egy függvény folytonos egy pontban, ha egy adott pontban a fluktuációja nulla.

Egy függvény akkor folytonos egy halmazon, ha az adott halmaz minden pontjában folytonos. $f$ $E$

Ebben az esetben azt mondják, hogy az osztály függvénye , és írja be: vagy, részletesebben, . $f$ $C^{0}$ $f\in C^{0}(E)$ $f\in C^{0}(E,\mathbb {R})$

Töréspontok

Ha egy függvény folytonosságának definíciójában szereplő feltétel valamikor megsérül, akkor azt mondják, hogy a vizsgált függvény ezen a ponton megszakadást szenved . Más szóval, ha a függvény értéke a pontban , akkor egy ilyen függvény határértéke (ha létezik) nem esik egybe a -val . A szomszédságok nyelvén egy függvénynek egy pontban a folytonossági feltételét úgy kapjuk meg, hogy az adott pontban vizsgált függvény folytonossági feltételét tagadjuk, nevezetesen: van a függvénytartomány pontjának olyan szomszédsága, hogy bárhogy is legyen . Ha közeledünk a függvénytartomány pontjához, mindig lesznek olyan pontok, amelyek képei a pont közelében lesznek . $A$ $f$ $a$ $A$ $f$ $a$ $A$ $f$ $a$ $f$ $A$

Az R¹ megszakítási pontjainak osztályozása

A függvények diszkontinuitásának osztályozása attól függ, hogy az X és Y halmazok hogyan vannak elrendezve . Itt van egy besorolás a legegyszerűbb esetre - . A szinguláris pontok (azok a pontok, ahol a függvény nincs definiálva) ugyanúgy vannak osztályozva . Érdemes megjegyezni, hogy a besorolás szerzőnként eltérő. $f:X\Y-ig$ $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ $\mathbb {R}$

Ha a függvénynek egy adott pontban megszakadása van (azaz a függvény határértéke egy adott pontban hiányzik, vagy nem egyezik a függvény adott pontban lévő értékével), akkor a numerikus függvényekhez két lehetséges opció van társítva. a numerikus függvények egyoldalú korlátaival :

ha mindkét egyoldalú határérték létezik és véges, akkor egy ilyen pontot az első típusú szakadási pontnak nevezünk . Az első típusú megszakítási pontok közé tartoznak az eltávolítható folytonossági pontok és az ugrások .
ha az egyoldali határértékek közül legalább az egyik nem létezik, vagy nem véges érték, akkor egy ilyen pontot nevezünk második típusú szakadási pontnak . A második típusú megszakítási pontok közé tartoznak a pólusok és a lényeges megszakítási pontok .

Javítható rés
Szünet típusa "ugrás"
"pólus" típusú szinguláris pont. Ha újradefiniáljuk az x=2 függvényt, akkor „pólus” szakadást kapunk.
Jelentős töréspont

Eltávolítható töréspont

Ha a függvény határértéke létezik és véges , de a függvény ezen a ponton nincs definiálva, vagy a határérték nem egyezik a függvény értékével ezen a ponton:

\lim \limits _{x\to a}f(x)\neq f(a)

akkor a pontot a függvény eldobható szakadási pontjának nevezzük ( komplex elemzésben ez egy eldobható szinguláris pont ). $a$ $f$

Ha „javítjuk” a függvényt egy eltávolítható folytonossági pontnál, és feltesszük , akkor olyan függvényt kapunk, amely ezen a ponton folytonos. Egy függvényen végzett ilyen műveletet a függvény definíciójának folytonosra való kiterjesztésének vagy a függvény definíciójának a folytonosság általi kiterjesztésének nevezzük , ami igazolja a pont elnevezését egy eltávolítható szakadás pontjaként. $f$ $f(a)=\lim \limits _{x\to a}f(x)$

Törési pont "ugrás"

Megszakítási "ugrás" történik, ha

\lim \limits _{x\to a-0}f(x)\neq \lim \limits _{x\to a+0}f(x)

. Törési pont "pólus"

"Pólus" szakadás következik be, ha az egyoldali határértékek egyike végtelen.

\lim \limits _{x\to a-0}f(x)=\pm \infty

vagy .

\lim \limits _{x\to a+0}f(x)=\pm \infty

Alapvető töréspont

Jelentős megszakadás esetén az egyoldalú határok legalább egyike teljesen hiányzik.

Izolált szinguláris pontok osztályozása R n -ben, n>1

Függvényeknél nem kell töréspontokkal dolgozni, de gyakran szinguláris pontokkal kell dolgozni (olyan pontok, ahol a függvény nincs definiálva) . Az izolált szinguláris pontok osztályozása (vagyis azoké, ahol nincs más szinguláris pont valamelyik szomszédságban) hasonló. $f:\mathbb {R} ^{n}\ to \mathbb {R} ^{n}$ $f:\mathbb {C} \to \mathbb {C}$

Ha , akkor ez egy eltávolítható szinguláris pont (hasonlóan a valódi argumentumfüggvényhez). $\exists \lim \limits _{x\to a}f(x)$
A pólus definíciója: . Többdimenziós terekben, ha egy szám modulusa növekszik, úgy tekintjük, hogy nem számít, hogyan növekszik. $\lim \limits _{x\to a}f(x)=\infty$ $f(x)\ to \infty$
Ha a határ egyáltalán nem létezik, akkor ez egy lényeges szinguláris pont .

Az „ugrás” fogalma hiányzik. Amit ugrásnak tekintünk a magasabb dimenziójú terekben, az egy lényeges egyedi pont. $\mathbb {R}$

Tulajdonságok

Helyi

Egy pontban folytonos függvény ennek a pontnak valamely szomszédságában korlátos. $a$
Ha a függvény folytonos a pontban és (vagy ), akkor (vagy ) minden kellően közel a -hoz . $f$ $a$ $f(a)>0$ $f(a)<0$ $f(x)>0$ $f(x)<0$ $x$ $a$
Ha a és függvények folytonosak a pontban , akkor a és függvények is folytonosak a pontban . $f$ $g$ $a$ $f+g$ $f\cdot g$ $a$
Ha a és függvények folytonosak a és pontban , akkor a függvény a pontban is folytonos . $f$ $g$ $a$ $g(a)\neq 0$ $f/g$ $a$
Ha egy függvény folytonos egy pontban , és egy függvény folytonos egy pontban , akkor összetételük folytonos egy pontban . $f$ $a$ $g$ $b=f(a)$ $h=g\circ f$ $a$

Globális

Egységes folytonossági tétel : Egy függvény, amely egy szakaszon (vagy bármely más kompakt halmazon ) folytonos, azon egyenletesen folytonos .
Weierstrass-tétel egy függvényre egy kompakton : egy függvény, amely folytonos egy szegmensen (vagy bármely más kompakt halmazon ), korlátos, és azon éri el maximális és minimális értékét.
Az intervallumon folytonos függvény tartománya az az intervallum, ahol a minimumot és a maximumot felvesszük az intervallum mentén . $f$ $[a,b]$ $[\min f,\ \max f],$ $[a,b]$
Ha a függvény folytonos az intervallumon , és akkor van egy pont , ahol . $f$ $[a,b]$ $f(a)\cdot f(b)<0,$ $\xi \in(a,b),$ $f(\xi )=0$
Köztes érték tétel : ha a függvény folytonos az intervallumon , és a szám kielégíti az egyenlőtlenséget vagy egyenlőtlenséget, akkor van egy pont , ahol . $f$ $[a,b]$ $\varphi$ $f(a)<\varphi <f(b)$ $f(a)>\varphi >f(b),$ $\xi \in(a,b),$ $f(\xi )=\varphi$
Egy szakaszról a valós egyenesre történő folyamatos leképezés akkor és csak akkor injektív , ha a szakaszon az adott függvény szigorúan monoton .
Egy szakaszon lévő monoton függvény akkor és csak akkor folytonos, ha a tartománya egy és végpontokkal rendelkező szakasz . $[a,b]$ $f(a)$ $f(b)$
Ha az és függvények folytonosak a , és és szakaszon , akkor van egy pont , ahol Ebből különösen az következik, hogy a szakasz bármely folytonos önmagába való leképezésének van legalább egy fix pontja . $f$ $g$ $[a,b]$ $f(a)<g(a)$ $f(b)>g(b),$ $\xi \in(a,b),$ $f(\xi )=g(\xi ).$

Példák

Elemi függvények

A tetszőleges polinomok , racionális függvények , exponenciális függvények , logaritmusok , trigonometrikus függvények (közvetlen és inverz) definíciós tartományukban mindenhol folytonosak.

Kivehető törés funkció

Képlet által adott függvény $f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} ,$

f(x)={\begin{cases}{\frac {\sin x}{x)),&x\neq 0\\0,&x=0\end{esetek))

tetszőleges pontban folytonos A pont egy megszakítási pont, mert a függvény határa $x\neq 0.$ $x=0$

\lim \limits _{x\to 0}f(x)=\lim \limits _{x\to 0}{\frac {\sin x}{x}}=1\neq f(0).

Sign függvény

Funkció

f(x)=\operátornév {sgn} x={\begin{cases}-1,&x<0\\0,&x=0\\1,&x>0\end{cases}},\quad x\in \mathbb {R}

előjelfüggvénynek nevezzük .

Ez a függvény minden pontban folyamatos . $x\neq 0$

A pont az első típusú megszakítási pont , és $x=0$

\lim \limits _{x\to 0-}f(x)=-1\neq 1=\lim \limits _{x\to 0+}f(x)

míg a függvény magán a ponton eltűnik.

Heaviside függvény

A Heaviside függvény , definíciója szerint

f(x)={\begin{cases}1,&x\geqslant 0\\0,&x<0\end{cases}},\quad x\in \mathbb {R}

mindenhol folytonos, kivéve azt a pontot, ahol a függvény első típusú megszakadást szenved el. A pontban azonban van egy jobb oldali határ, ami megegyezik a függvény értékével az adott pontban. Így ez a függvény egy példa egy jobbra-folytonos függvényre a teljes definíciós tartományban . $x=0$ $x=0$

Hasonlóképpen, a lépésfüggvény definíciója:

f(x)={\begin{cases}1,&x>0\\0,&x\leqslant 0\end{cases}},\quad x\in \mathbb {R}

egy példa egy balra folytonos függvényre a teljes tartományban .

Dirichlet függvény

Funkció

f(x)={\begin{cases}1,&x\in \mathbb {Q} \\0,&x\in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} \end{cases))

Dirichlet-függvénynek nevezzük . Lényegében a Dirichlet-függvény a racionális számok halmazának jellemző függvénye . Ez a függvény minden pontban nem folytonos , mivel bármely pont tetszőlegesen kis környezetében vannak racionális és irracionális számok is.

Riemann függvény

Funkció

f(x)={\begin{cases}{\frac {1}{n)),&x={\frac {m}{n))\in \mathbb {Q} ,\ {\text{ gcd}}(m,n)=1\\0,&x\in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} \end{cases}}

Riemann-függvénynek vagy "Thomas-függvénynek" nevezik .

Ez a függvény az irracionális számok halmazán ( ) folytonos, mivel a függvény határértéke minden irracionális pontban nulla (ha a sorozat , akkor szükségszerűen ). Minden racionális ponton nem folytonos. $\mathbb {R} \setminus \mathbb {Q}$ $x_{k}=m_{k}/n_{k}\to x\notin \mathbb {Q}$ $n_{k}\to \infty$

Változatok és általánosítások

Egységes folytonosság

Egy függvényt egyenletesen folytonosnak nevezünk , ha bármelyikre létezik olyan, hogy bármely két pontra és olyan, hogy , . $f$ $E$ $\varepsilon >0$ $\delta>0$ $x_{1}$ $x_{2}$ $|x_{1}-x_{2}|<\delta$ $|f(x_{1})-f(x_{2})|<\varepszilon$

Egy halmazon minden egyenletesen folytonos függvény nyilván folytonos is rajta. Ennek fordítva általában nem igaz. Ha azonban a definíciós tartomány kompakt, akkor a folytonos függvény is egyenletesen folytonosnak bizonyul az adott szakaszon. $E$

Félfolytonosság

Két tulajdonság van, amelyek szimmetrikusak egymással – az alsó félfolytonosság és a felső félfolytonosság :

egy függvényt alacsonyabb félfolytonosnak mondunk egy pontban , ha bármelyikhez létezik olyan szomszédság , amely bármelyikhez létezik ; $f$ $a$ $\varepsilon >0$ $U_{E}(a)$ $f(x)>f(a)-\varepszilon$ $x\in U_{E}(a)$
egy függvényt felső félfolytonosnak mondunk egy pontban , ha bármelyikhez létezik olyan szomszédság , amely bármely . $f$ $a$ $\varepsilon >0$ $U_{E}(a)$ $f(x)<f(a)+\varepszilon$ $x\in U_{E}(a)$

A folytonosság és a félfolytonosság között a következő kapcsolat van:

ha veszünk egy pontban folytonos függvényt és csökkentjük az értéket (véges értékkel), akkor a pontban alacsonyabb félfolyamatos függvényt kapunk ; $f$ $a$ $f(a)$ $a$
ha veszünk egy pontban folytonos függvényt és növeljük az értéket (véges mértékben), akkor egy olyan függvényt kapunk, amely a pontban felső félfolytonos . $f$ $a$ $f(a)$ $a$

Ennek megfelelően a félfolyamatos függvényekhez végtelen értékeket fogadhatunk el:

ha , akkor feltételezzük, hogy egy ilyen függvény alacsonyabb félfolyamatos a pontban ; $f(a)=-\infty$ $a$
ha , akkor feltételezzük, hogy egy ilyen függvény felső félfolytonos a pontban . $f(a)=+\infty$ $a$

Egyirányú folytonosság

Egy függvényt folytonosnak nevezünk a bal (jobb) oldalon a definíciós tartományának egy pontján, ha a következő egyenlőség teljesül az egyoldali határra : $f$ $x_{0}$ $f(x_{0})=\lim \limits _{x\to x_{0}-}f(x)$ $(f(x_{0})=\lim \limits _{x\to x_{0}+}f(x)).$

Folytonosság szinte mindenhol

A valódi vonalon az egyszerű lineáris Lebesgue mértéket szokták figyelembe venni . Ha egy függvény olyan, hogy mindenhol folytonos, kivéve talán egy nulla mértékhalmazt, akkor az ilyen függvényt szinte mindenhol folytonosnak mondjuk . $f$ $E$

Abban az esetben, ha egy függvény szakadási pontjainak halmaza legfeljebb megszámlálható, a Riemann-féle integrálható függvények osztályát kapjuk (lásd a függvény Riemann-integrálhatósági kritériumát).

Jegyzetek

Irodalom

Zorich V. A. Matematikai elemzés, I. rész - M. : Fizmatlit, 1984. - 544 p.