Köztes érték tétel

A köztes érték tétel (vagy Bolzano-Cauchy tétel ) kimondja, hogy ha egy valós intervallumon definiált folytonos függvény két értéket vesz fel, akkor ezek között tetszőleges értéket vesz fel.

Megfogalmazás

Legyen adott egy folytonos függvény egy szakaszon Tegyük fel azt is az általánosság elvesztése nélkül, hogy Akkor bármelyikre létezik olyan, hogy . $f\in C{\bigl (}[a,b]{\bigr )}.$ $f(a)\neq f(b),$ $f(a)=A<B=f(b).$ $C\in [A,B]$ $c\in[a,b]$ $f(c)=C$

Bizonyíték

Tekintsük azt a függvényt , amely folytonos a szakaszon, és . kisebb, mint nulla a végén , jobbamint,nagyobb $g(x)=f(x)-C.$ $[a,b]$ $g(a)<0$ $g(b)>0.$ $c\in[a,b]$ $g(c)=0.$ $[a,b]$ $x_{0}$ $g(x_{0})=0$ ${\displaystyle c=x_{0))$ $g(x_{0})\neq 0$ $g(x)$

A kapott szegmenst jelölve ismét két egyenlő hosszúságú szegmensre osztjuk, stb. Ezután vagy véges számú lépés után elérkezünk a kívánt ponthoz , vagy kapunk egy olyan egymásba ágyazott szegmenssorozatot , amelynek hossza nulla lesz, és így $[a_{1},b_{1}]$ $c$ $[a_{n},b_{n}]$

$g(a_{n})<0<g(b_{n}).$

Legyen - minden szegmens közös pontja ( a Cantor-elv szerint létezik és egyedi) , Ekkor és a függvény folytonossága miatt $c$ $[a_{n},b_{n}]$ $n=1,2,...$ $c=\lim a_{n}=\lim b_{n},$ $g(x):$

$g(c)=\lim g(a_{n})=\lim g(b_{n}).$

Mert a

$\lim g(a_{n})\leq 0\leq \lim g(b_{n}),$

azt kapjuk $g(c)=0.$

Következmények

(A folytonos függvény nullára vonatkozó tétel.) Ha egy függvény folytonos egy bizonyos szakaszon, és ennek a szakasznak a végein ellentétes előjeleket vesz fel, akkor van egy pont, ahol egyenlő nullával . Formailag: legyen és Akkor olyan, hogy $f\in C{\bigl (}[a,b]{\bigr )},$ $\operatorname {sgn} (f(a))\neq \operatorname {sgn} (f(b)).$ $\exists c\in [a,b]$ $f(c)=0.$
Különösen minden páratlan fokú polinomnak van legalább egy nullája.

Megjegyzés

Néha (a képzéseken) a nullára vonatkozó állítást az első Bolzano - Cauchy-tételnek , az általános állítást pedig a második tételnek [1] nevezik . Valójában egyenértékűek. [2]

Általánosítás

A Bolzano-Cauchy-tétel általánosabb topológiai terekre is általánosítható . Bármely összefüggő topológiai téren meghatározott folytonos függvény , amely bármely két értéket felvesz, egyben tetszőleges értéket vesz fel közöttük. Formális jelölés: legyen adott egy összefüggő topológiai tér és egy függvény Let és Then $f\colon X\ to \mathbb{R}$ $(X,{\mathcal {T}}),$ $f\ in C(X).$ $x_{1},x_{2}\in X,\;f(x_{1})=y_{1},\;f(x_{2})=y_{2},$ $y_{1}<y_{2}.$

\all y\in [y_{1},y_{2}]\;\exists x\in X\;f(x)=y.

Ebben a megfogalmazásban a tétel egy speciális esete annak a tételnek, hogy egy összefüggő halmaz képe folyamatos leképezés alatt összefügg.

Történelem

A tételt egymástól függetlenül Bolzano 1817-ben és Cauchy 1821 - ben fogalmazta meg .

Lásd még

Jegyzetek

↑ Matematikai elemzés: Folyamatos függvények . Hozzáférés dátuma: 2010. január 24. Az eredetiből archiválva : 2010. november 24. (határozatlan)
↑ Shilov, 1969 , p. 163.

Irodalom

Shilov G.E. Matematikai elemzés (egy változó függvényei). - M. : Nauka, 1969. - 528 p.