Uniform folytonossági tétel

Az egyenletes folytonossági tétel vagy a Cantor - Heine tétel azt mondja, hogy egy kompakt halmazon meghatározott folytonos függvény egyenletesen folytonos rajta.

Megfogalmazás

Legyen adott két metrikus tér és legyen egy kompakt részhalmaz és egy rajta definiált folytonos függvény is akkor egyenletesen folytonos $(X,\rho _{X})$ $(Y,\rho _{Y}).$ $A\X részhalmaz$ $f\colon A\to Y.$ $f$ $A.$

Jegyzetek

Konkrétan egy szegmensen meghatározott folytonos valós értékű függvény egyenletesen folytonos azon. $f\colon [a,b]\subset \mathbb{R} \to \mathbb{R}$

A tétel feltételei szerint a kompakt halmaz nem helyettesíthető tetszőleges nyitott halmazzal. Például a függvény $f(x)={\frac {1}{x)),\;x\in (0,1)$

folytonos a teljes definíciós tartományban, de nem egyenletesen folytonos. Bizonyíték

Használjuk az ellentmondásos bizonyítást.

Legyen olyan függvény, amely megfelel a tétel feltételeinek (kompakt halmazon ), de nem egyenletesen folytonos rajta. Akkor létezik olyan , hogy mindenre létezik olyan és , amelyek közötti távolság kisebb, mint , de képeik távolsága nem kisebb, mint : $f(x)$ $A$ $\varepsilon$ $\delta>0$ $x$ $y$ $\delta$ $\varepsilon$

\exists \varepsilon >0\colon \quad \forall \delta >0\ \exists x_{{\delta )),y_({\delta }}\in A\colon \quad d(x,y)<\delta ,

d(f(x),f(y))\geqslant \varepsilon .

Vegyünk például egy 0-hoz konvergáló sorozatot , . Készítünk sorozatokat és így tovább $\{\delta _{k}\}$ $\left\{{\frac {1}{k}}\jobbra\}$ $x_k$ $y_{k}$

d(x_{k},y_{k})<{\frac {1}{k))

, de

d(f(x_{k}),f(y_{k}))\geqslant \varepsilon

$A$ kompakt, így kiválaszthatunk egy konvergens részsorozatot:

x_{k_{j}}\to {\bar {x}}\in A.

De mivel mindkét sorozat tagjai közötti távolság nullára hajlik, akkor a háromszög-egyenlőtlenség felhasználásával azt kapjuk, hogy a megfelelő részsorozatok egy pontra hajlanak: . És mivel folyamatos , ami ellentmond annak a feltételezésnek, hogy . ${\bar {x}}=\lim \limits _{j\to \infty }y_{k_{j}}=\zeta$ $f$ $f(x_{{k_{j}}})\to f(\zeta ),\quad f(y_{{k_{j}}})\to f(\zeta )\Jobbra d(f(x_{{ k_{j}}}),f(y_{{k_{j}}}))\0-ra$ $d(f(x_{k}),f(y_{k}))\geqslant \varepsilon$

Ezért egy kompakton folytonos függvény valóban egyenletesen folytonos rajta.

Történelem

Az egységes kontinuitás meghatározása Heine munkájában jelenik meg . [1] Két évvel később publikálja a tétel bizonyítását zárt korlátos intervallumon definiált függvényekre. [2] Ezekben a dolgozatokban nem adja ki magát az eredetinek, és bizonyítása gyakorlatilag megismétli Dirichlet 1854-es előadásaiban közölt bizonyítását.

Úgy tűnik, hogy a fő hozzájárulás Bolzanóból származik . [3]

Irodalom

↑ Heine, Über Trigonometrische Reihen, Journal für die Reine und Angewandte Mathematik, 71 (1870), pp. 353–365
↑ Heine, Die Elemente der Functionenlehre, Journal für die Reine und Angewandte Mathematik, 74 (1872), pp. 172–188.
↑ Rusnock, Paul és Angus Kerr-Lawson. – Bolzano és egységes folytonosság. Historia mathematica 32.3 (2005): 303-311.