Komplex logaritmus

A komplex logaritmus egy analitikus függvény , amelyet úgy kapunk, hogy a valós logaritmust kiterjesztjük a teljes komplex síkra (a nulla kivételével). Az ilyen elosztásnak több egyenértékű módja van. Ezt a funkciót széles körben használják komplex elemzésben . A valós esettől eltérően a komplex logaritmusfüggvény többértékű .

Definíció és tulajdonságok

Komplex számok esetén a logaritmus ugyanúgy definiálható, mint a valós számoknál, azaz egy exponenciális függvény inverziójaként . A gyakorlatban szinte csak a természetes komplex logaritmust alkalmazzák, melynek alapja az Euler-szám : általában jelölik . $e$ $\mathrm {Ln} \,z$

Egy komplex szám természetes logaritmusát [1] az egyenlet megoldásaként definiáljuk $z$ $w$ $e^{w}=z.$

Más, ezzel egyenértékű definíciókat az alábbiakban adunk meg.

A komplex számok területén ennek az egyenletnek a megoldása a valós esettel ellentétben nem egyedileg meghatározott. Például az Euler-azonosság szerint ; ugyanakkor azt is . Ennek az az oka, hogy a képzeletbeli tengely mentén az exponenciális függvény periodikus (periódussal ) [2] , és a függvény végtelenül sokszor veszi fel ugyanazt az értéket. Így a komplex logaritmikus függvény többértékű . $e^{\pi i}=-1$ $e^{-\pi i}=e^{3\pi i}=e^{5\pi i}\dots =-1$ $2\pi$ $w=\mathrm {Ln} \,z$

A komplex nullának nincs logaritmusa, mert a komplex kitevő nem vesz fel nulla értéket. A nem nulla exponenciális formában is ábrázolható: $z$

z=r\cdot e^{{i(\varphi +2\pi k)}}\;\;,

ahol egy tetszőleges egész szám

k

Ezután a [3] képlettel találjuk meg : $\mathrm {Ln} \,z$

\mathrm {Ln} \,z=\ln r+i\left(\varphi +2\pi k\jobb)

Itt az igazi logaritmus. Ebből következik: $\ln \,r=\ln \,|z|$

A komplex logaritmus létezik bármelyik esetén, és valós része egyedileg meghatározott, míg a képzeletbeli rész végtelen számú értéket tartalmaz, amelyek egész szám többszörösével különböznek. $\mathrm {Ln} \,z$ $z\neq 0$ $2\pi .$

A képletből látható, hogy az értékek közül csak egynek van képzeletbeli része az intervallumban . Ezt az értéket nevezzük a komplex természetes logaritmus főértékének [1] . A megfelelő (már egyértékű) függvényt a logaritmus fő ágának nevezzük, és jelöléssel jelöljük . Néha a logaritmus értékét is jelöli, amely nem a fő ágon fekszik. Ha valós szám, akkor logaritmusának főértéke egybeesik a szokásos valós logaritmussal. $(-\pi ,\pi ]$ $\ln\,z$ $\ln\,z$ $z$

A fenti képletből az is következik, hogy a logaritmus valós részét a következőképpen határozzuk meg az argumentum összetevőin keresztül:

\operátornév {Re} (\ln(x+iy))={\frac {1}{2}}\ln(x^{2}+y^{2})

Az ábrán látható, hogy a valós rész a komponensek függvényében centrálisan szimmetrikus, és csak az origó távolságától függ. Ezt úgy kapjuk meg, hogy a valós logaritmus grafikonját a függőleges tengely körül elforgatjuk. Ahogy közeledik a nullához, a függvény hajlamos arra $-\infty .$

Egy negatív szám logaritmusát a [3] képlet határozza meg :

\mathrm {Ln} (-x)=\ln x+i\pi (2k+1)\qquad (x>0,\ k=0,\pm 1,\pm 2\pontok)

Példák az összetett logaritmus értékeire

Íme a logaritmus fő értéke ( ) és általános kifejezése ( ) néhány argumentumhoz: $\ln$ $\mathrm{Ln}$

\ln(1)=0;\;\mathrm {Ln} (1)=2k\pi i

\ln(-1)=i\pi ;\;\mathrm {Ln} (-1)=(2k+1)i\pi

\ln(i)=i{\frac {\pi }{2));\;\mathrm {Ln} (i)={\frac {1}{2}}i\pi (4k+1 )

Óvatosnak kell lennie az összetett logaritmusok konvertálásakor, figyelembe véve, hogy ezek többértékűek, ezért ezeknek a kifejezéseknek az egyenlősége nem következik egyetlen kifejezés logaritmusának egyenlőségéből sem. Példa a hibás érvelésre:

i\pi =\ln(-1)=\ln((-i)^{2})=2\ln(-i)=2(-i\pi /2)=-i\pi

nyilvánvaló hiba.

Ne feledje, hogy a logaritmus fő értéke a bal oldalon, a mögöttes ág értéke ( ) pedig a jobb oldalon található. A hiba oka a tulajdonság gondatlan használata , ami általában véve összetett esetben magában foglalja a logaritmus teljes végtelen értékkészletét, és nem csak a főértéket. $k=-1$ $\log _{a}{(b^{p})}=p~\log _{a}b$

A komplex logaritmikus függvény és a Riemann-felület

A komplex elemzés során a többértékű függvények komplex síkon történő figyelembevétele helyett más döntés született: a függvényt egyértékűnek tekintjük, de nem a síkon, hanem egy összetettebb sokaságon , amit Riemann -nak nevezünk. felület [4] . A komplex logaritmikus függvény is ebbe a kategóriába tartozik: képe (lásd az ábrát) végtelen számú spirálba csavart ágból áll. Ez a felület folyamatos és egyszerűen összekapcsolható . A függvény egyetlen nulláját (elsőrendű) kapjuk meg . Szinguláris pontok: és (végtelen rendű elágazási pontok) [5] . $z=1$ $z=0$ $z=\infty$

A logaritmus Riemann-felülete az egyszerű összekapcsolás révén univerzális lefedése [6] a pont nélküli összetett síknak . $0$

Analitikus folytatás

Egy komplex szám logaritmusa úgy is meghatározható, mint a valós logaritmus analitikus folytatása a teljes komplex síkra . A görbe kezdőpontja egyből, z-nél végződjön, ne menjen át nullán, és ne keresztezze a valós tengely negatív részét. Ekkor a logaritmus fő értéke a görbe végpontjában az [5] képlettel határozható meg : $\Gamma$ $w$ $\Gamma$

\ln z=\int \limits _{\Gamma }{du \over u}

Ha egy egyszerű görbe (önmetszetek nélkül), akkor a rajta fekvő számokra félelem nélkül logaritmikus azonosságokat lehet alkalmazni, pl. $\Gamma$

\ln(wz)=\ln w+\ln z,~\forall z,w\in \Gamma \colon zw\in \Gamma

A logaritmikus függvény fő ága folytonos és differenciálható a teljes komplex síkon , kivéve a valós tengely negatív részét, amelyen a képzetes rész -re ugrik . De ez a tény a főérték képzeletbeli részének intervallum általi mesterséges korlátozásának a következménye . Ha figyelembe vesszük a függvény összes ágát, akkor a folytonosság minden ponton megtörténik, kivéve a nullát, ahol a függvény nincs definiálva. Ha hagyjuk, hogy a görbe keresztezze a valós tengely negatív részét, akkor az első ilyen metszéspont az eredményt a főérték ágból átviszi a szomszédos ágba, és minden további metszéspont hasonló eltolódást okoz a logaritmikus függvény ágai mentén [5 ] (lásd az ábrát). $2\pi$ $(-\pi ,\pi ]$ $\Gamma$

Az analitikus folytatási képletből az következik, hogy a logaritmus [2] bármely ágán :

{\frac {d}{dz}}\ln z={1 \over z}

Minden olyan körre , amely egy pontot zár be : $S$ $0$

\oint \limits _{S}{dz \over z}=2\pi i

Az integrált pozitív irányban (az óramutató járásával ellentétes irányban ) vesszük. Ez az azonosság alapozza meg a maradékok elméletét .

A komplex logaritmus analitikus folytatása is meghatározható a Mercator sorozat valós esetre ismert változataival:

\ln(1+x)=x-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-{\frac {x^{4}} {4}}+\pontok

(1. sor)

\ln \left({\frac {1+x}{1-x}}\right)=2\left(x+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{ 5}}{5}}+{\frac {x^{7}}{7}}+\pontok \jobbra)

(2. sor)

E sorozatok alakjából azonban az következik, hogy egységnél a sorozat összege nullával egyenlő, vagyis a sorozat csak a komplex logaritmus többértékű függvényének fő ágára vonatkozik. Mindkét sorozat konvergencia sugara 1.

Kapcsolat inverz trigonometrikus és hiperbolikus függvényekkel

Mivel az összetett trigonometrikus függvények az exponenciálishoz kapcsolódnak ( Euler-képlet ), így a komplex logaritmus az exponenciális függvény inverzeként kapcsolódik az inverz trigonometrikus függvényekhez [7] [8] :

\operátornév {Arcsin} z=-i\operátornév {Ln} (iz+{\sqrt {1-z^{2}}})

\operátornév {Arccos} z=-i\operátornév {Ln} (z+i{\sqrt {1-z^{2}}})

\operátornév {Arctg} z=-{\frac {i}{2}}\ln {\frac {1+zi}{1-zi}}+k\pi \;(z\neq \pm i)

\operátornév {Arcctg} z=-{\frac {i}{2}}\ln {\frac {zi-1}{zi+1}}+k\pi \;(z\neq \pm i)

A komplex síkon lévő hiperbolikus függvények az imaginárius argumentum trigonometrikus függvényeinek tekinthetők, tehát itt van összefüggés a logaritmussal [8] :

\operátornév {Arsh} z=\operátornév {Ln} (z+{\sqrt {z^{2}+1)))

- inverz hiperbolikus szinusz

\operátornév {Arch} z=\operátornév {Ln} \left(z+{\sqrt {z^{2}-1}}\jobb)

az inverz hiperbolikus koszinusz

\operátornév {Arth} z={\frac {1}{2}}\operátornév {Ln} \left({\frac {1+z}{1-z}}\jobb)

az inverz hiperbolikus tangens

\operátornév {Arcth} z={\frac {1}{2}}\operátornév {Ln} \left({\frac {z+1}{z-1}}\jobb)

az inverz hiperbolikus kotangens

Történelmi vázlat

Az első kísérleteket a logaritmus komplex számokra való kiterjesztésére a 17-18. század fordulóján Leibniz és Johann Bernoulli tette , de nem sikerült holisztikus elméletet alkotniuk, elsősorban azért, mert maga a logaritmus fogalma még nem volt világos. meghatározott [9] . Az erről szóló vita először Leibniz és Bernoulli, majd a 18. század közepén d'Alembert és Euler között zajlott. Bernoulli és d'Alembert úgy vélte, hogy definiálni kell , míg Leibniz azzal érvelt, hogy egy negatív szám logaritmusa képzeletbeli szám [9] . A negatív és komplex számok logaritmusának teljes elméletét Euler publikálta 1747-1751-ben, és lényegében nem különbözik a moderntől [10] . Bár a vita folytatódott (d'Alembert megvédte álláspontját, és részletesen kifejtette az Encyclopedia egyik cikkében és más munkákban), Euler megközelítése a 18. század végére egyetemes elismerést kapott. $\log(-x)=\log(x)$

A 19. században a komplex elemzés fejlődésével a komplex logaritmus tanulmányozása új felfedezéseket ösztönzött. Gauss 1811-ben kidolgozta a logaritmikus függvény poliszémiájának teljes elméletét [11] , amelyet az integráljaként határoztak meg . Riemann az erről és a hasonló funkciókról már ismert tényekre támaszkodva megalkotta a Riemann-felületek általános elméletét . ${\frac {1}{z))$

A konformális leképezések elméletének fejlődése megmutatta, hogy a Mercator-projekció a térképészetben , amely még a logaritmusok felfedezése (1550) előtt keletkezett, összetett logaritmusként írható le [12] .

Irodalom

A logaritmusok elmélete

Korn G., Korn T. Matematika kézikönyve (kutatóknak és mérnököknek) . - M . : Nauka, 1973. - 720 p.
Sveshnikov A. G., Tikhonov A. N. Egy komplex változó függvényeinek elmélete. — M .: Nauka, 1967. — 304 p.
Fikhtengol'ts G. M. A differenciál- és integrálszámítás menete. - szerk. 6. — M .: Nauka, 1966. — 680 p.

A logaritmusok története

A 18. század matematikája // A matematika története / Szerk.: A. P. Juskevics , három kötetben. - M . : Nauka, 1972. - T. III.
Kolmogorov A. N., Juskevics A. P. (szerk.). A 19. század matematikája. Geometria. Az analitikus függvények elmélete. - M . : Nauka, 1981. - T. II.

Jegyzetek

↑ 1 2 Logaritmikus függvény. // Matematikai enciklopédia (5 kötetben) . - M . : Szovjet Enciklopédia , 1982. - T. 3.
↑ 1 2 Fikhtengolts G. M. A differenciál- és integrálszámítás tanfolyama, 1966 , II. kötet, 520-522.
↑ 1 2 Korn G., Korn T. Matematika kézikönyve, 1973 , p. 623..
↑ Sveshnikov A. G., Tikhonov A. N. Egy komplex változó függvényeinek elmélete, 1967 , p. 92-94..
↑ 1 2 3 Sveshnikov A. G., Tikhonov A. N. Egy komplex változó függvényeinek elmélete, 1967 , p. 45-46, 99-100..
↑ Boltyansky V. G. , Efremovich V. A. Vizuális topológia . - M . : Nauka, 1982. - S. 112. - (Quantum Library, 21. szám).
↑ Fikhtengolts G. M. A differenciál- és integrálszámítás tanfolyama, 1966 , II. kötet, 522-526.
↑ 1 2 Korn G., Korn T. Matematika kézikönyve, 1973 , p. 624...
↑ 1 2 Matematika története, III. kötet, 1972 , p. 325-328..
↑ Rybnikov K. A. A matematika története. Két kötetben. - M . : Szerk. Moszkvai Állami Egyetem, 1963. - T. II. - S. 27, 230-231 ..
↑ A 19. század matematikája. II. kötet: Geometria. Az analitikus függvények elmélete, 1981 , p. 122-123..
↑ Klein F. Az elemi matematika magasabb nézőpontból . - M . : Nauka, 1987. - T. II. Geometria. - S. 159-161. — 416 p.