Logaritmikus azonosságok

Ez a cikk a logaritmusokhoz kapcsolódó különféle algebrai és analitikai azonosságok összefoglalását tartalmazza . Ezek az azonosságok különösen hasznosak a logaritmusokat tartalmazó algebrai és differenciálegyenletek megoldásában .

Továbbá minden változót valósnak feltételezünk , a logaritmus és a logaritmuskifejezések alapjai pozitívak, és a logaritmus alapja nem egyenlő 1-gyel. A komplex számokra vonatkozó általánosításhoz lásd a Komplex logaritmus című cikket .

Algebrai azonosságok

A logaritmus definíciójából következik az alapvető logaritmikus azonosság [1] :

a^{\log _{a}b}=b

Még néhány egyenlőség, ami nyilvánvaló a logaritmus definíciójából:

\log _{a}1=0

\log _{a}a=1

\log _{a}a^{b}=b

A hányados szorzatának, fokának és gyökérének logaritmusa

Az azonosságok összefoglalása [2] :

	Képlet	Példa	Bizonyíték
Munka	$\log _{a}(xy)=\log _{a}(x)+\log _{a}(y)$	$\log _{3}(243)=\log _{3}(9\cdot 27)=\log _{3}(9)+\log _{3}(27)=2+3= 5$
Az osztás hányadosa	$\log _{a}\!\left({\frac {x}{y}}\right)=\log _{a}(x)-\log _{a}(y)$	$\lg \left({\frac {1}{1000}}\right)=\lg(1)-\lg(1000)=0-3=-3$
Fokozat	$\log _{a}(x^{p})=p\log _{a}(x)$	$\log _{2}(64)=\log _{2}(2^{6})=6\log _{2}(2)=6$	Bizonyíték $\log _{a}{x^{p}}=y$ ${\displaystyle a^{y}=x^{p))$ $a^{\frac {y}{p}}=x$ $log_{a}{x}={\frac {y}{p}}$ $p\cdot log_{a}{x}=y$
Végzettség az alapnál	$\log _{(a^{p})}(x)={\frac {1}{p))\log _{a}(x)={\frac {\log _{a}( x)}{p}}$	$\log _{2^{10}}{\sin {({\frac {\pi }{6}})))={\frac {\log _{2}{\frac {1}{ 2}}}{10}}=-{\frac {1}{10}}=-0,1$	Bizonyíték $\log _{a^{p}}{x}=y$ $a^{y\cdot p}=x$ $log_{a}{x}=p\cdot y$ ${\frac {log_{a}{x}}{p}}=y$
Gyökér	$\log _{a}{\sqrt[{p}]{(x)}}={\frac {1}{p}}\log _{a}(x)={\frac {\log _{a}(x)}{p}}$	$\lg {\sqrt {1000}}={\frac {1}{2}}\lg 1000={\frac {3}{2}}=1,5$	Bizonyíték $\log _{a}{\sqrt[{p}]{x}}=y$ $a^{y}={\sqrt[{p}]{x))$ $a^{p\cdot y}=x$ $log_{a}{x}=p\cdot y$ ${\frac {log_{a}{x}}{p}}=y$
Gyökér a tövében	$\log _{\sqrt[{p}]{a}}(x)=p\log _{a}(x)$	$\log _{\sqrt {\pi }}{(4\cdot \arctan {1})}=2\cdot \log _{\pi }{(4\cdot {\frac {\pi }{ 4)))}=2\cdot \log _{\pi }{(\pi )}=2$	Bizonyíték $\log _{\sqrt[{p}]{a}}{x}=y$ $a^{\frac {y}{p}}=x$ ${\displaystyle a^{y}=x^{p))$ $a^{\frac {y}{p}}=x$ $log_{a}{x}={\frac {y}{p}}$ $p\cdot log_{a}{x}=y$

A fenti képletek nyilvánvaló általánosítása arra az esetre, amikor a változók negatív értékei megengedettek, például:

\log _{a}|xy|=\log _{a}|x|+\log _{a}|y|

\log _{a}\!\left|{\frac {x}{y}}\right|=\log _{a}|x|-\log _{a}|y|

A szorzat logaritmusának képlete könnyen általánosítható tetszőleges számú tényezőre:

\log _{a}(x_{1}x_{2}\dots x_{n})=\log _{a}(x_{1})+\log _{a}(x_{2})+\ pontok +\log _{a}(x_{n})

\log _{a}|x_{1}x_{2}\dots x_{n}|=\log _{a}|x_{1}|+\log _{a}|x_{2}|+\ pontok +\log _{a}|x_{n}|

Összeg és különbség logaritmusa

Bár az összeg (vagy különbség) logaritmusa nem a tagok logaritmusával van kifejezve, a következő képletek hasznosak lehetnek.

\log _{a}(b+c)=\log _{a}b+\log _{a}\left(1+{\frac {c}{b))\right)

\log _{a}(bc)=\log _{a}b+\log _{a}\left(1-{\frac {c}{b))\right),\quad

itt

b>c

Általánosítás:

\log _{a}\sum \limits _{k=1}^{N}b_{k}=\log _{a}b_{1}+\log _{a}\left(1+ \sum \limits _{k=2}^{N}{\frac {b_{k}}{b_{1}}}\right)=\log _{a}b_{1}+\log _{a }\left(1+\sum \limits _{k=2}^{N}a^{\left(\log _{a}b_{k}-\log _{a}b_{1}\right) }\jobb)

A logaritmus alapjának cseréje

A bázisra vonatkozó logaritmus átváltható [3] a logaritmusra egy másik bázisra : $\log _{a}b$ $a$ $c$

\log _{a}b={\frac {\log _{c}b}{\log _{c}a))

A következmény (when ) az alap és a logaritmuskifejezés permutációja: $b=c$

\log _{a}b={\frac {1}{\log _{b}a}}

Egyéb identitások

Ha a logaritmus alapja és a logaritmuskifejezés kifejezései hatványozást tartalmaznak, az egyszerűség kedvéért a következő azonosság alkalmazható:

{\log _{a^{q}}{b}}^{p}={\frac {p}{q}}\log _{a}{b}

Ezt az azonosságot azonnal megkapjuk, ha a bal oldali logaritmusban a bázist helyettesítjük a fenti bázisváltoztatási képlet szerint. Következmények: $a^{q}$ $a$

\log _{a^{k}}b={\frac {1}{k}}\log _{a}b;\quad \log _{\sqrt[{n}]{a}}b=n \log _{a}b;\quad \log _{a^{k}}b^{k}=\log _{a}b

Egy másik hasznos identitás:

c^{\log _{a}b}=b^{\log _{a}c}

Ennek bizonyítására megjegyezzük, hogy a bal és a jobb oldal logaritmusa alapban egybeesik (egyenlő ), majd a bal és a jobb oldal azonosan egyenlő. Az előző azonosság logaritmusát egy tetszőleges bázisban véve egy másik „báziscsere” azonosságot kapunk: $a$ $\log _{a}b\cdot \log _{a}c$ $d,$

\log _{a}b\cdot \log _{d}c=\log _{d}b\cdot \log _{a}c

Ez az azonosság könnyen kiterjeszthető számos tényezőre, például:

\log _{a}x\cdot \log _{b}y\cdot \log _{c}z\cdot \log _{d}w=\log _{b}x\cdot \log _ {d}y\cdot \log _{c}z\cdot \log _{a}w

Más szóval, egy ilyen szorzatban tetszőleges permutációt végezhetünk a logaritmusok alapjaiban.

x^{\frac {\log _{a}b}{\log _{a}x}}=b

Ezt az azonosságot úgy is könnyű bizonyítani, hogy mindkét oldal logaritmusát bázisra vesszük $x.$

\log _{xy}a={\frac {1}{{\frac {1}{\log _{x}a}}+{\frac {1}{\log _{y}a} }}}

Az azonosság bizonyításához kétszer kell alkalmaznunk a fenti permutációs szabályt:

{\frac {1}{\log _{x}a}}=\log _{a}x;\quad {\frac {1}{\log _{y}a}}=\log _ {a}y;\quad {\frac {1}{\log _{a}(xy)))=\log _{xy}a

Analitikus identitások

Határarányok

Íme néhány hasznos korlát a logaritmusokkal kapcsolatban [4] :

\lim _{x\to 0}{\frac {\log _{a}(1+x)}{x}}=\log _{a}e={\frac {1}{\ln a}}

\lim _{x\to 0^{+}}x^{b}\log _{a}x=0\quad (b>0)

\lim _{x\to \infty }{\frac {\log _{a}x}{x^{b))}=0\quad (b>0)

\ln x=\lim _{n\to \infty }n\left({\sqrt[{n}]{x}}-1\right)=\lim _{n\to \infty }n\left( 1-{\frac {1}{\sqrt[{n}]{x}}}\jobbra)

\ln x=\lim _{h\to 0}{\frac {x^{h}-1}{h}}

Derivált és integrál

A logaritmikus függvény deriváltját a következő képlettel számítjuk ki:

{d \over dx}\ln x={1 \over x},

{\displaystyle {d \over dx}\log _{a}x={1 \over x\ln a}={\log _{a}e \over x))

A logaritmus definíciója határozott integrálon keresztül :

\ln x=\int _{1}^{x}{\frac {1}{t}}dt

A logaritmus antideriváltája :

\int \log _{a}x\,dx=x(\log _{a}x-\log _{a}e)+C

\int \ln x\,dx=x(\ln x-1)+C

A magasrendű integrálok képleteinek megadásához jelöljük az e harmonikus szám sorrendjét : $H_{n}\ n-$

H_{n}={\frac {1}{1}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+\pontok +{\frac {1} {n}}

Ezután jelöljük:

x^{\left[0\right]}=\ln x

x^{\left[n\right]}=x^{n}(\ln x-H_{n});\quad

( )

n=1,2,3\pont

Kapunk egy függvénysorozatot:

x^{\left[1\right]}=x\ln xx

x^{\left[2\right]}=x^{2}\ln x-{\begin{mátrix}{\frac {3}{2}}\end{mátrix}}\,x^ {2}

x^{\left[3\right]}=x^{3}\ln x-{\begin{mátrix}{\frac {11}{6}}\end{mátrix}}\,x^ {3}

stb. Ekkor az identitások érvényesek:

{\frac {d}{dx}}\,x^{\left[n\right]}=n\,x^{\left[n-1\right]};\quad

( )

n=1,2,3\pont

\int x^{\left[n\right]}\,dx={\frac {x^{\left[n+1\right]}}{n+1}}+C;\quad

( )

n=0,1,2,3\pontok

Jegyzetek

↑ Algebra és az elemzés kezdete. Tankönyv 10-11. 12. kiadás, Moszkva: Enlightenment, 2002. o. 233.
↑ Vygodsky M. Ya. Handbook of elementary mathematics, 1978 , p. 187.
↑ Korn G., Korn T. Matematika kézikönyve, 1973 , p. 34.
↑ Fikhtengolts G. M. A differenciál- és integrálszámítás tanfolyama, 1966 , I. kötet, 164. o.

Irodalom

Vygodsky M. Ya. Az elemi matematika kézikönyve . - M .: Nauka, 1978.
- Újrakiadás: AST, 2003, ISBN 5-17-009554-6 .
Zajcev V. V., Ryzhkov V. V., Skanavi M. I. Alapfokú matematika. Ismételje meg a tanfolyamot. - Harmadik kiadás, sztereotip. — M .: Nauka, 1976. — 591 p.
Korn G., Korn T. Matematika kézikönyve (kutatóknak és mérnököknek) . - M . : Nauka, 1973. - 720 p.
Sveshnikov A. G., Tikhonov A. N. Egy komplex változó függvényeinek elmélete. — M .: Nauka, 1967. — 304 p.
Fikhtengol'ts G. M. A differenciál- és integrálszámítás menete. - szerk. 6. — M .: Nauka, 1966. — 680 p.
Shakhmeister A. Kh. Logaritmusok. Kézikönyv iskolásoknak, pályakezdőknek és tanároknak. - szerk. 5. - Szentpétervár. : MTSNMO, 2016. - 288 p. - ISBN 978-5-4439-0648-5 .

Linkek

Weisstein, Eric W. Logarithm (angol) a Wolfram MathWorld webhelyén .