Dirac mátrixok

A Dirac-mátrixok (más néven gammamátrixok ) olyan mátrixok halmaza, amelyek megfelelnek a speciális antikommutációs relációknak. Gyakran használják a relativisztikus kvantummechanikában.

Definíció

Dirac mátrixok bármely olyan mátrixhalmaz, amely kielégíti az egyenletet

\displaystyle \{\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu }\}=\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }+\gamma ^{\nu }\gamma ^ {\mu }=2\eta ^{\mu \nu }I,

ahol az aláírás Minkowski-metrikája I az identitásmátrix, a kapcsos kapcsos zárójelek az antikommutátort jelölik . ${\displaystyle \eta ^{\mu \nu ))$ $\left(+---\right),$

A Dirac-mátrixok 4D-s térben történő kiválasztásának egyik lehetséges módja a következő:

$\gamma ^{0}={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&1&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{bmátrix)),\quad \gamma ^{1}={\begin{ bmatrix}0&0&0&1\\0&0&1&0\\0&-1&0&0\\-1&0&0&0\end{bmátrix)),\quad \gamma ^{2}={\begin{bmatrix}0&0&0&-i\\0&0&i&0\\0&i&0&0&0 \end{bmatrix}},\quad \gamma ^{3}={\begin{bmatrix}0&0&1&0\\0&0&0&-1\\-1&0&0&0\\0&1&0&0\end{bmátrix}}$

(Dirac reprezentáció; Weyl és Majorana reprezentációkat is használnak ).

Fifth Gamma Matrix, $\gamma ^{5}$

Célszerű négy gamma-mátrix szorzatát a következőképpen definiálni:

\gamma ^{5}=i\gamma ^{0}\gamma ^{1}\gamma ^{2}\gamma ^{3}={\begin{bmatrix}0&0&1&0\\0&0&0&1\\1&0&0&0\ \0&1&0&0\end{bmátrix}}

(Dirac ábrázolásában).

$\gamma ^{5}$ más formában is felírható:

\gamma ^{5}={\frac {i}{4!}}\varepsilon _{\mu \nu \alpha \beta }\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\alpha }\gamma ^{\beta },

hol van a Levi-Civita tenzor . ${\displaystyle \varepsilon _{\mu \nu \alpha \beta ))$

Ez a mátrix hasznos, ha a kvantummechanikában a kiralitást tárgyaljuk. Így a Dirac spinor mező a bal vagy jobb komponensére vetíthető:

\psi _{L}={\frac {1-\gamma ^{5}}{2}}\psi ,\qquad \psi _{R}={\frac {1+\gamma ^{5 }}{2}}\psi

Néhány tulajdonság : $\gamma ^{5}$

Hermiticitás :

(\gamma ^{5})^{\dagger }=\gamma ^{5}.

A sajátértékek ±1, mert

(\gamma ^{5})^{2}=I.

Anticommutes négy másik gammamátrixszal:

\left\{\gamma ^{5},\gamma ^{\mu }\right\}=\gamma ^{5}\gamma ^{\mu }+\gamma ^{\mu }\gamma ^ {5}=0.

Blokkstruktúra

A Dirac-mátrixok tömören blokkmátrixként írhatók fel a σ 1 , σ 2 , σ 3 Pauli-mátrixok segítségével , kiegészítve az I identitásmátrixszal . Dirac szemében:

\gamma ^{0}={\begin{bmatrix}I&0\\0&-I\end{bmatrix)),\quad \gamma ^{1}={\begin{bmatrix}0&\sigma _{1 }\\-\sigma _{1}&0\end{bmatrix)),\quad \gamma ^{2}={\begin{bmatrix}0&\sigma _{2}\\-\sigma _{2}&0 \end{bmatrix}},\quad \gamma ^{3}={\begin{bmatrix}0&\sigma _{3}\\-\sigma _{3}&0\end{bmatrix}}.

A Weil -ábrázolásban ugyanazok maradnak, de különböznek, ezért változtak is: ${\displaystyle \gamma ^{k))$ $\gamma ^{0}$ $\gamma ^{5}$

\gamma ^{0}={\begin{bmatrix}0&I\\I&0\end{bmatrix)),\quad \gamma ^{k}={\begin{bmatrix}0&\sigma ^{k}\ \-\sigma ^{k}&0\end{bmátrix)),\quad \gamma ^{5}={\begin{bmatrix}-I&0\\0&I\end{bmátrix)).

A Weyl-reprezentáció előnye, hogy a királis vetületek egyszerű formát öltenek:

\psi _{L}={\frac {1}{2}}(1-\gamma ^{5})\psi ={\begin{bmatrix}I&0\\0&0\end{bmatrix}}\ psi ,\quad \psi _{R}={\frac {1}{2}}(1+\gamma ^{5})\psi ={\begin{bmatrix}0&0\\0&I\end{bmátrix}} \psi.

Létezik Majorana ábrázolása is , amelyben minden gamma-mátrix képzeletbeli, a spinorok pedig valósak:

\gamma ^{0}={\begin{bmatrix}0&\sigma ^{2}\\\sigma ^{2}&0\end{bmatrix)),\quad \gamma ^{1}={\ kezdődik{bmatrix}i\sigma ^{3}&0\\0&i\sigma ^{3}\end{bmatrix}}

\gamma ^{2}={\begin{bmatrix}0&-\sigma ^{2}\\\sigma ^{2}&0\end{bmatrix)),\quad \gamma ^{3}={ \begin{bmatrix}-i\sigma ^{1}&0\\0&-i\sigma ^{1}\end{bmatrix}},\quad \gamma ^{5}={\begin{bmatrix}\sigma ^ {2}&0\\0&-\sigma ^{2}\end{bmatrix}}.

A modern tudományban a fő tulajdonság a gamma-mátrixok meghatározó tulajdonsága, nem pedig a numerikus ábrázolásuk.

Identitások

Nem.	Identitás
egy	$\displaystyle \gamma ^{\mu }\gamma _{\mu }=4I$
2	${\displaystyle \displaystyle \gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma _{\mu }=-2\gamma ^{\nu ))$
3	$\displaystyle \gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\gamma _{\mu }=4\eta ^{\nu \rho }I$
négy	${\displaystyle \displaystyle \gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\gamma ^{\sigma }\gamma _{\mu }=-2\gamma ^{\sigma } \gamma ^{\rho }\gamma ^{\nu ))$
5	$\displaystyle \gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\lambda }=\eta ^{\mu \nu }\gamma ^{\lambda }+\eta ^{\nu \lambda }\gamma ^{\mu }-\eta ^{\mu \lambda }\gamma ^{\nu }-i\epsilon ^{\sigma \mu \nu \lambda }\gamma _{\sigma }\ gamma ^{5}$

Nem.	Identitás
0	$\operatorname {tr} (\gamma ^{\mu })=0$
egy	Bármely páratlan szám szorzatának nulla a nyoma. ${\displaystyle \gamma _{\mu ))$
2	${\displaystyle \operatorname {tr} (\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu })=4\eta ^{\mu \nu ))$
3	$\operátornév {tr} (\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\gamma ^{\sigma })=4(\eta ^{\mu \nu } \eta ^{\rho \sigma }-\eta ^{\mu \rho }\eta ^{\nu \sigma }+\eta ^{\mu \sigma }\eta ^{\nu \rho })$
négy	$\operátornév {tr} (\gamma ^{5})=\operátornév {tr} (\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{5})=0$
5	$\operatorname {tr} (\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\gamma ^{\sigma }\gamma ^{5})=4i\epsilon ^{ \mu \nu \rho \sigma }$

A Firtz azonosságok a Dirac mátrixokra is érvényesek .

A gamma-mátrixok definícióját általánosítják más dimenziójú terekre, ahol számuk eltérhet.

Lásd még

Irodalom

Zee E. A kvantumtérelmélet dióhéjban. - Izhevsk: RHD, 2009. - 632 p.
Peskin M., Schroeder D. Bevezetés a kvantumtérelméletbe. - Izhevsk: RHD, 2002. - 784 p.
W. Pauli. Contributions mathématiques à la théorie des matrices de Dirac (francia) // Ann. Inst. Henri Poincare :magazin. - 1936. - 1. évf. 6 . — 109. o .