Harmonikus rezgések

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2020. április 4-én felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 3 szerkesztést igényelnek .

A harmonikus rezgések olyan rezgések , amelyekben a fizikai mennyiség egy harmonikus ( szinuszos , koszinuszos) törvény szerint változik az idő múlásával .

Matematikai leírás

A harmonikus rezgési egyenletnek megvan a formája

x(t)=A\sin(\omega t+\varphi _{0})

vagy

x(t)=A\cos(\omega t+\varphi _{0})

ahol

x - az oszcillációs érték eltérése az aktuális t időpontban az időszak átlagos értékétől (például a kinematikában - elmozdulás, az oszcillációs pont eltérése az egyensúlyi helyzettől);
A az oszcillációs amplitúdó, azaz. az ingadozó érték maximális eltérése az időszak átlagértékétől, az A dimenzió egybeesik az x dimenzióval ;
ω ( radián / s , fok / s) - ciklikus frekvencia, amely megmutatja, hogy hány radiánnal (fokkal) változik az oszcillációs fázis 1 s alatt;
$(\omega t+\varphi _{0})=\varphi$ (radián, fok) - az oszcilláció teljes fázisa (rövidítve fázis, nem tévesztendő össze a kezdeti fázissal);
$\varphi_{0}$ (radián, fok) az oszcilláció kezdeti fázisa, amely meghatározza a rezgés teljes fázisának (és magának x értéknek ) értékét a t = 0 időpontban.

A harmonikus rezgéseket leíró differenciálegyenlet alakja

{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+\omega ^{2}x=0.

Ennek a differenciálegyenletnek bármely nem triviális [1] megoldása ciklikus frekvenciájú harmonikus rezgés. $\omega .$

Példák

Egy pontnak egy kör mentén egyenletes mozgása esetén a harmonikus rezgés ezt a pontot vetíti (ortogonálisan) bármely , ugyanabban a síkban fekvő egyenesre [2] . A harmonikushoz közeli oszcillációkat a gravitáció hatására egy vékony, hosszú fonalra – egy matematikai ingára – felfüggesztett kis súly hozza létre, kis amplitúdókkal [3] . A rugalmas erő hatására fellépő harmonikus rezgéseket egy vízszintes vezetőre két rugó közé rögzített súly hajtja végre [4] . A felharmonikusok egy függőlegesen felfüggesztett súly torziós rezgései , amelyek rugalmas erő hatására felpörögnek, ugyanazokat a rezgéseket hajtja végre egy mechanikus óra egyensúlyrúdja [5] .

Általánosságban elmondható, hogy egy anyagi pont akkor hajt végre harmonikus rezgéseket, ha azok a lengéspont egyensúlyi helyzetéből való elmozdulásával arányos és ezzel az elmozdulással ellentétes irányú erőnek a pontra való becsapódása következtében lépnek fel.

Nemcsak a mechanikában vannak példák harmonikus rezgésekre - például egy LC áramkörben disszipatív veszteségek nélkül az áramkör kapacitásának , feszültségének és áramának töltése a harmonikus törvény szerint idővel változik.

A rezgések típusai

A szabad rezgések a rendszer belső erőinek hatására jönnek létre, miután a rendszer kikerült az egyensúlyi helyzetből. Ahhoz, hogy a szabad rezgések harmonikusak legyenek, az szükséges, hogy az oszcillációs rendszer lineáris legyen (lineáris mozgásegyenletekkel írja le), és ne legyen benne energiadisszipáció (nem nulla disszipáció esetén a gerjesztés után csillapított rezgések lépnek fel a rendszerben ).
A kényszerrezgések külső periodikus erő hatására jönnek létre. Ahhoz, hogy az erőltetett rezgések harmonikusak legyenek, elegendő, ha az oszcillációs rendszer lineáris (lineáris mozgásegyenletekkel írja le), és a külső erő (ütés) idővel harmonikus rezgésként változik (vagyis, hogy ennek az erőnek az időfüggősége , viszont szinuszos legyen).

Alkalmazás

A harmonikus rezgések a következő okok miatt tűnnek ki az összes többi rezgéstípus közül:

Nagyon gyakran [6] a valós rendszerekben előforduló kis, szabad és kényszerű rezgések harmonikus rezgések formájúnak vagy ahhoz nagyon közelinek tekinthetők.
Amint azt Fourier 1822 -ben megállapította , a periodikus függvények széles osztálya bővíthető trigonometrikus komponensek összegévé – egy Fourier-sorban . Más szavakkal, bármely periodikus rezgés ábrázolható harmonikus rezgések összegeként a megfelelő amplitúdókkal, frekvenciákkal és kezdeti fázisokkal. Ennek az összegnek a tagjai között van egy legalacsonyabb frekvenciájú harmonikus rezgés, amit alapfrekvenciának nevezünk, és ez a rezgés maga az első harmonikus vagy alaphang, míg az összes többi tag frekvenciája, a harmonikus rezgések többszörösei az alapfrekvencia, és ezeket az oszcillációkat magasabb harmonikusoknak vagy felhangoknak nevezzük - az első, a második stb. [7]
A rendszerek széles osztályánál a harmonikus hatásra adott válasz harmonikus rezgés (linearitási tulajdonság), míg a hatás és a válasz kapcsolata a rendszer stabil jellemzője. Az előző tulajdonságot figyelembe véve ez lehetővé teszi, hogy tanulmányozzuk tetszőleges alakú rezgések áthaladását a rendszereken.

Lásd még

Jegyzetek

↑ Vagyis nem egyenlő nullával.
↑ Landsberg, 2003 , p. 17.
↑ Landsberg, 2003 , p. 2.25.
↑ Landsberg, 2003 , p. 27-29.
↑ Landsberg, 2003 , p. 29-30.
↑ Itt az a feltételezett feltétel, hogy a rendszer tulajdonságainak időben állandónak kell lenniük (ami a valóságban gyakran igaz, legalábbis megközelítőleg).
↑ Landsberg, 2003 , p. 43.

Irodalom

Alapfokú fizika tankönyv / Szerk. G.S. Landsberg . - 13. kiadás - M. : FIZMATLIT , 2003. - T. 3. Rezgések és hullámok. Optika. Atom- és magfizika.
Khaikin S. E. A mechanika fizikai alapjai. - M. , 1963.
A. M. Afonin. A mechanika fizikai alapjai. - Szerk. MSTU im. Bauman, 2006.
Gorelik G.S. Oszcillációk és hullámok. Bevezetés az akusztikába, radiofizikába és optikába. - M. : Fizmatlit, 1959. - 572 p.