Sorozatkorlát

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2021. szeptember 29-én felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 2 szerkesztést igényelnek .

A matematikában egy metrikus tér vagy topológiai tér elemsorozatának határa ugyanazon tér olyan eleme, amely egy adott sorozat elemeit "vonzza" . Egy topológiai tér elemsorozatának határa egy olyan pont, amelynek minden szomszédja a sorozat összes elemét tartalmazza, valamilyen számtól kezdve. A metrikus térben a szomszédságokat a távolságfüggvény segítségével határozzák meg , így a határ fogalma a távolságok nyelvén fogalmazódik meg. Történelmileg az első a numerikus sorozat határának fogalma volt , amely a matematikai elemzésben merül fel , ahol közelítési rendszer alapjául szolgál, és széles körben használják a differenciál- és integrálszámítások felépítésében .

Kijelölés: $\lim_{n \to \infty} x_n = a$

(ez így szól: az x nth as en sorozat végtelenbe hajló határa a [1] [2] )

Egy sorozatnak azt a tulajdonságát, hogy határa van, konvergenciának nevezzük : ha a sorozatnak van határa, akkor azt mondják, hogy az adott sorozat konvergál ; egyébként (ha a sorozatnak nincs határa) a sorozatról azt mondjuk, hogy eltér . Egy Hausdorff-térben és különösen egy metrikus térben [3] a konvergens sorozat minden részsorozata konvergál, és határértéke egybeesik az eredeti sorozat határértékével. Más szóval, egy Hausdorff-tér elemsorozatának nem lehet két különböző határértéke. Előfordulhat azonban, hogy a sorozatnak nincs határa, de van (az adott sorozatnak) egy részsorozata, amelynek van határa. Ha egy térben bármely pontsorozatnak van konvergens részsorozata, akkor az adott térről azt mondjuk, hogy rendelkezik a szekvenciális tömörség tulajdonságával (vagy egyszerűen tömörséggel, ha a tömörséget kizárólag sorozatok alapján határozzuk meg).

A megszámlálhatóság első axiómáját kielégítő topológiai terekben a sorozat határának fogalma közvetlenül kapcsolódik a határpont (halmaz) fogalmához: ha egy halmaznak van határpontja, akkor ennek van egy elemsora. meghatározott ponthoz konvergálva. Tetszőleges topológiai terek esetén előfordulhat, hogy nem létezik ilyen sorozat.

Definíció

Legyen adott egy topológiai tér és egy sorozat Akkor, ha létezik olyan elem , hogy $T$ $\{x_{n}\}.$ $x\in T$

\forall {\text{ }}U(x){\text{ }}\exists N:{\text{ }}\forall {\text{ }}n{\text{ }},n>N {\text{ }}\Jobbra x_{n}\in U(x)

ahol egy nyílt halmaz, amely tartalmazza a , akkor a sorozat határértékét . Ha a tér metrikus , akkor a határérték metrikával definiálható: ha létezik olyan elem , hogy $U(x)$ $x$ $x$ $x_n$ $x\in T$

\forall {\text{ }}\varepsilon >0{\text{ }}\exists N:{\text{ }}\forall {\text{ }}n,n>N{\text{ }} \Jobbra d(x_{n},x)<\varepszilon

ahol a metrika, akkor ezt határértéknek nevezzük . $d(x,y)$ $x$ $x_n$

Példák

Ha egy tér antidiszkrét topológiával rendelkezik , akkor bármely sorozat határa a tér bármely eleme.

Változatok és általánosítások

Egy tetszőleges részsorozat határértékét a sorozat részhatárának nevezzük.

Lásd még

Jegyzetek

↑ „A „lim” jel a latin limes szó első három betűje - határ, határ; de oroszul kell olvasni: „limit” ”( Khinchin A. Ya. Matematikai elemzés rövid kurzusa. - M . : GITTL , 1953. - S. 38. - 624 p. )
↑ „Ez a bejegyzés így hangzik:“ a végtelenre való hajlás határa egyenlő a „ ”-vel ( Shipachev V.S. Fundamentals of Higher Mathematics / Szerk.: A.N. Tikhonov akadémikus . - M .: Higher School , 1989. - C 121. - 479 pp. . - ISBN 5-06-000048-6 . ) $x_{n}$ $n$ $a$
↑ Minden metrikus tér automatikusan egyben Hausdorff is.